线性代数知识点归纳.

1、线性代数复习要点第一部分行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行（列）展开法则3. 行列式的性质及行列式的计算行列式的定义1. 行列式的计算：a11a12a1n ( 定义法 ) Dna21a22a2 n( 1) ( j1 j 2jn ) a1 ja2 j2anjn1j1 j 2jnan1an 2ann （降阶法） 行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论 ：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.a AaAaAA , ij ,ijni1 j 12 j 2inj.0, i ( 化为三角型行列式) 上三角、

2、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.b11*A0b22*b11b22bnn0*00bnnAOAAOA BOB=BB 若 A与 B 都是方阵（不必同阶）O, 则AAO=( 1)mnABBOOBa1 nOa1na2n 1a2n1n ( n1) 关于副对角线：(1) 2a1 na2nan1an1Oan1O111x1x2xn 范德蒙德行列式：x12x22xn2xixj1 j i nx1n 1x2n 1xnn 1abbbbabb a b 型公式： bbab a(n1)b(an 1b)bbba ( 升阶法 ) 在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ( 递推公式法 )对 n 阶行列式

3、 D n 找出 Dn 与 Dn 1或 Dn 1 , Dn 2 之间的一种关系称为递推公式，其中D n , Dn 1 , Dn 2 等结构相同，再由递推公式求出Dn 的方法称为递推公式法 .(拆分法 )把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ( 数学归纳法 )n2.对于 n 阶行列式A ，恒有：EAn( 1)k Sknk ，其中 Sk 为 k 阶主子式；k13. 证明 A 0 的方法：、AA；、反证法；、构造齐次方程组Ax0 ，证明其有非零解；、利用秩，证明r ( A)n ；、证明0 是其特征值 .4.代数余子式和余子式的关系：

4、M ij( 1)i j AijAij( 1)i j M ij第二部分矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆3. 矩阵的秩的性质4. 矩阵方程的求解a11a12a1n1. 矩阵的定义由 ma21a22a2n称为 mn 矩阵 .n 个数排成的 m 行 n 列的表 Aam1am 2amn记作： Aaijm n或 Am n同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等.矩阵相等 :两个矩阵同型，且对应元素相等.矩阵运算a.矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b.数与矩阵相乘：数与矩阵 A 的乘积记作A 或 A，规定为 A( aij ) .c.矩阵与矩阵相乘：设A (aij ) m s , B

5、(bij ) s n , 则 CAB (cij )mn ，其中b1 jcij (ai1, ai 2 , , ais )b2 jai 2 b2 jais bsjai1b1 jbsj注： 矩阵乘法不满足：交换律、消去律,即公式 ABBA不成立 .AB0 A0或B=0a.分块对角阵相乘： AA11, BB11ABA11B11nA11n, AA22B22A22B22A22nb.用对角矩阵左乘一个矩阵 , 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行 向量；a1 00 b11b12b1na1b11a1b12a1b1nB0 a20 b21b22b2 na2b21a2b22a2b2n0 0ambm1bm2bm

6、nambm1ambm2ambmnc.乘一个矩阵 , 相当于用向量 .用对角矩阵右的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列b11b12b1na100a1b11a2b12amb1nBb21b22b2n0 a20a1b21a2 b22amb2nbm1bm 2bmn0 0ama1bm1a2bm 2ambmnd.两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. 方阵的幂的性质：Am AnAm n ， (Am )n( A) mn矩阵的转置：把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作AT .a.对称矩阵和反对称矩阵:A 是对称矩阵AAT.A 是反对称矩阵AAT .ABTATC Tb.分块

7、矩阵的转置矩阵：CDBTD TA11A21An1伴随矩阵：A*AijTA12A22An2， Aij 为 A 中各个元素的代数余子式 .A1nA2 nAnnAA*A*A AE, A*n 1, A 11AA .A*(1)mnA B分块对角阵的伴随矩阵：BA*ABAB*B( 1)mn B A矩阵转置的性质：(AT )TA( AB)TBT ATATA(A 1)T(AT) 1(AT)(A )T(A1) 1A(AB) 1B1A1A 11( A 1 )k( Ak ) 1A k矩阵可逆的性质：A伴随矩阵的性质：( A )n2A( AB)B AAn 1( A1)( A )1A( Ak )( A ) kAAAn若

8、 r ( A)nr ( A )1若r ( A)n1ABA BAkkAAA A A E （无条件恒成立）A0若 r ( A)n12.逆矩阵的求法方阵 A 可逆A0 .ab1db主换位 伴随矩阵法A 1A注：1cdad bcca副变号A 初等变换法(A E)初等行变换( E A1)A1 分块矩阵的逆矩阵A：BAC1AOBO11a1a1a21,a2a31a31A1B1B 1BA 11A1CB1AO11OABCBB1CA1B11a1a3a21a2a31a1配方法或者待定系数法（逆矩阵的定义A BB AE1 A）B3. 行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为 0 ；每个台阶只有一行，台阶数即是非零

9、行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0 时，称为 行最简形矩阵4. 初等变换与初等矩阵对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换初等变换初等矩阵初等矩阵的逆初等矩阵的行列式rirj ( cicj)E (i, j )E(i , j ) 1E(i, j )E(i , j )1rik ( cik )E ( i(k )Ei (k ) 1Ei ( k1 )E i (k)krirj k (cicjk )E ( i, j(k )Ei , j (k) 1Ei , j ( k)E i, j ( k)1? 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对 A 施

10、行一次初等 行 变换得到的矩阵 , 等于用相应的初等矩阵 左 乘 A ；对 A 施行一次初等 列 变换得到的矩阵 , 等于用相应的初等矩阵 右 乘 A .注意：初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.5. 矩阵的秩 关于 A 矩阵秩的描述：、 r ( A)r ， A 中有 r 阶子式不为0， r1 阶子式(存在的话 ) 全部为 0；、 r ( A)r ， A 的 r 阶子式全部为0；、 r ( A)r ， A 中存在 r 阶子式不为0；? 矩阵的秩的性质：AOr ( A) 1; AOr ( A)0 ; 0 r ( Am n ) min( m, n)r()(

11、AT)(T)ArrA Ar ( kA)r ( A)其中 k0若Am n , Bns ,若r ( AB)0r ( A)r ( B)n的列向量全部是Ax的解B0r ( AB) minr ( A), r (B)若 P 、 Q 可逆，则 r ( A)r (PA)r ( AQ)r ( PAQ ) ；即：可逆矩阵不影响矩阵的秩 .Ax只有零解若 r ( Am n )nr ( AB) r ( B)；在矩阵乘法中有左消去律ABOBOAABACBC若 r ( Bn s )nr ( AB) r ( B)在矩阵乘法中有右消去律 .B若 ()与唯一的ErOErO等价标准型 .等价，称为矩阵 的r ArAOOOOAr

12、( AB) r ( A)r (B) ,maxr ( A), r ( B) r ( A, B) r ( A)r (B)AOOA()( ),AC()()rOBBOrArBrBrArBO? 求矩阵的秩： 定义法和行阶梯形阵方法6 矩阵方程的解法 ( A0 ) ：设法化成 (I)AX B或(II)XA BAE(I) 的解法：构造 ( A B)初等行变换(E X)(II)的解法：构造初等列变换BX(II)的解法：将等式两边转置化为ATXTBT，用(I) 的方法求出 X T，再转置得 X第三部分线性方程组1. 向量组的线性表示2. 向量组的线性相关性3. 向量组的秩4. 向量空间5. 线性方程组的解的判定

13、6. 线性方程组的解的结构（通解）（ 1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）（ 2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）1. 线性表示： 对于给定向量组,1, 2, n ，若存在一组数 k1, k2 , kn 使得k1 1k2 2kn n ，则称是1,2,n 的线性组合，或称称可由1,2 , , n 的线性表示 .线性表示的判别定理:可由1, 2,n 的线性表示由 n 个未知数 m 个方程的方程组构成n 元线性方程：a11 x1a12 x2a1 n xnb1、 a21 x1a22 x2a2 n xnb2 有解am1 x1a m 2 x2a nm xnbna11a12a1 nx1b1

14、、a21a22a2 nx2b2Axam 1a m 2amnxmbmx1b1、 a1a2anx2（全部按列分块，其中b2）；xnbn、 a1 x1a2 x2an xn（线性表出）、有解的充要条件： r ( A)r ( A, )n （ n 为未知数的个数或维数）2. 设 Am n , Bn s, A 的列向量为1,2 ,n , B 的列向量为1, 2,s ，b11b12b1s则 AB Cm sb21b22b2sc1 , c2 , cs1 , 2 , , nbn1bn2bnsA ici， (i1,2 , s)i 为 Axci 的解A1,2 ,sA 1 , A 2 , A sc1 ,c2 ,csc1,

15、 c2 ,cs 可由1, 2 ,n 线性表 示 .即： C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵 .同理： C 的行向量能由B 的行向量线性表示，A 为系数矩阵 .a11a12a1n1c1a11 1a12 2a1 n 2c1a21a22a2 n2c2a21 1a22 2a2n 2c2即：an1an 2amnncmam1 1am 2 2amn 2cm3. 线性相关性判别方法：法 1法 2法 3推论? 线性相关性判别法（归纳）? 线性相关性的性质零向量是任何向量的线性组合, 零向量与任何同维实向量正交 .单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.部分相关 ,整体必相关；整体无关,部分必

16、无关 .（向量个数变动）原向量组无关 , 接长向量组无关；接长向量组相关, 原向量组相关 .（向量维数变动）两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.向量组1,2 , n 中任一向量i(1 i n) 都是此向量组的线性组合 .若 1,2 , n 线性无关，而1 ,2 , ,n , 线性相关 , 则 可由1 , 2 , , n 线性表示 , 且表示法唯一4. 最大无关组相关知识向量组的秩向量组1 , 2,n 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩. 记作 r ( 1,2 , n )矩阵等价A 经过有限次初等变换化为B .向量组等价1, 2,n 和1, 2,n 可以相互

17、线性表示 . 记作：1,2 , n1,2 , n矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩 .行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.矩阵的初等变换不改变矩阵的秩, 且不改变行（列）向量间的线性关系向量组1,2 ,s 可由向量组1 ,2 ,n 线性表示 , 且 s n ，则1 ,2 ,s 线性相关 .向量组1,2 ,s 线性无关 , 且可由1 ,2 , , n 线性表示 , 则 s n .向量组1,2 ,s 可由向量组1 ,2 ,n 线性表示 , 且 r ( 1 ,2 ,s )r (1 , 2 , , n ) , 则两向量组等价；任一向量组和它的极大无关组等价. 向量组的任意两个极大无关组等价.向量

18、组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.若两个线性无关的向量组等价, 则它们包含的向量个数相等 .设 A 是 mn 矩阵 , 若 r ( A)m ， A 的行向量线性无关；5. 线性方程组理论线性方程组的矩阵式Ax向量式x11x2 2xn na11a12a1 nx1b11 jAa21a22a2n, xx2,b2其中j2 j, j1, 2, , nam1am 2amnxnbmmj（ 1）解得判别定理(1)1, 2 是Ax的解 ,12也是它的解(2)是 Ax的解 , 对任意 k, k 也是它的解齐次方程组(3)1, 2,k是 Ax的解, 对任意 k个常数1, 2,k ,1 12 2

19、k k也是它的解（ 2）线性方程组解的性质：(4)是Ax的解 ,是其导出组 Ax的解 ,是Ax的解(5)1, 2是Ax的两个解 , 12是其导出组 Ax的解(6)2是 Ax的解 ,则 1也是它的解1 2是其导出组 Ax的解(7)1,2, ,k是 Ax的解 ,则1 122k k 也是 Ax(1) 将增广矩阵 ( A b)通过初等行变换化为阶梯形矩阵 ；(2) 当r ( A b)r ( A)1 122k k 是Axr n 时，把不是首非零元所在列对应的 nr个变量作为自由元；(3) 判断 1, 2, s 是 Ax的基础解系的条件：的解12k1的解12k00(3) 令所有自由元为零，求得Ax b 的

20、一个 特解0； 1 ,2 , s 线性无关；1，其余自由元(4) 不计最后一列，分别令一个自由元为为零，得到1,2Ax, 0s都的是基Ax础解系的解； 1 ,2 ,., n-r;(5) 写出非齐次线性方程组 Ax b 的通解 s n r ( A) 每个解向量中自由未知量的个数 .x 0k1 1 k2 2 . kn r n r其中 k1, k2 ,., kn r 为任意常数 .(4)求非齐次线性方程组Ax = b 的通解的步骤（ 5）其他性质一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. 若是 Ax的一个解， 1, , , s 是 Ax的一个解1, ,s ,线性无关 Ax与 Bx同解（ A, B 列向量个

21、数相同）A()(),且有结果：rrArBB 它们的极大无关组相对应, 从而秩相等； 它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系. 矩阵 Am n与 Bl n的行向量组等价齐次方程组 Ax与 Bx同解PA B （左乘可逆矩阵P ）；矩阵 Am n与 Bl n的列向量组等价AQ B （右乘可逆矩阵Q ） .第四部分方阵的特征值及特征向量1. 施密特正交化过程2. 特征值、特征向量的性质及计算3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化1.标准正交基n 个 n 维线性无关的向量, 两两正交 , 每个向量长度为1.TTnai bia1b1 a2b2anbn向量a1 , a2 ,

22、 , an 与b1, b2 , , bn 的内积 ( , )i 1与正交(,)0.记为：Tna1 , a2 ,(,)ai2a12a22an2 向量, an的长度i 1是单位向量(,).即长度为的向量 .112. 内积的性质 ： 正定性：(,)0,且( ,)0对称性：(,)(,) 线性性：(12 , )(1 ,) (2 , )(k,)k (,)3.设 A 是一个 n 阶方阵 ,若存在数和 n 维非零列向量x ,使得Axx ，则称是方阵 A 的一个特征值，x 为方阵 A 的对应于特征值的一个特征向量 .A 的特征矩阵EA0（或 AE0 ） .A 的特征多项式EA()（或 AE( )）.( ) 是矩

23、阵 A 的特征多项式( A)OntrA ， tr A 称为矩阵 A 的迹 .A1 2n1i 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素 . 若 A0, 则0 为 A 的特征值 , 且 Ax的基础解系即为属于0 的线性无关的特征向量 .a1 r ( A)1A 一定可分解为A =a2b1 ,b2 , bn、 A2(a1b1a2b2anbn ) A , 从而 A 的特征值an为： 1tr A a1b1a2b2an bn ,23n0 . a1, a2 , anTb1 , b2, ,bn为 A 各列的公比 .为 A 各行的公比，注 若 A 的全部特征值1,2, ,n ， f ( A)

24、是多项式 , 则 : 若 A 满足 f ( A)OA 的任何一个特征值必满足f ( i )0 f ( A) 的全部特征值为f ( 1 ), f ( 2 ), f (n ) ； f ( A)f ( 1) f ( 2 )f ( n ) .A 与 AT 有相同的特征值，但特征向量不一定相同.4. 特征值与特征向量的求法(1)写出矩阵A 的特征方程 AE0，求出特征值 i .(2)根据 (Ai E) x0 得到 A 对应于特征值i的特征向量 .设 ( Ai E) x0 的基础解系为1,2 ,nr , 其中 ri r ( Ai E) .i则 A 对应于特征值i 的全部特征向量为 k1 1k2 2kn r

25、n r ,ii其中 k1, k2 , , kn r为任意不全为零的数 .i5.A与 B相似P 1APB（ P 为可逆矩阵 ）A与 B 正交相似P 1APB（ P 为正交矩阵 ）A 可以相似对角化A 与对角阵相似. （称是 A 的相似标准形）6.相似矩阵的性质：EAEB , 从而 A, B 有相同的特征值, 但特征向量不一定相同.注0 的特征向量 , P1是 B关于0 的特征向量 . 是A关于 tr A tr B AB从而 A, B 同时可逆或不可逆 r ( A) r ( B)若 A 与 B 相似 , 则 A 的多项式f ( A) 与 B 的多项式f ( A) 相似 .7. 矩阵对角化的判定方法

26、 n 阶矩阵 A 可对角化 ( 即相似于对角阵 ) 的充分必要条件是A 有 n 个线性无关的特征向量 .这时 , P 为 A 的特征向量拼成的矩阵，P 1AP 为对角阵 , 主对角线上的元素为A 的特征值 .设 i 为对应于 i 的线性无关的特征向量, 则有：12.P 1APnA 可相似对角化n r ( i E A)ki ，其中 ki 为i 的重数A 恰有 n 个线性无关的特征向量 .注0为 A 的重的特征值时，A 可相似对角化i 的重数 n r ( A) Ax基础解系的个数 . ：当 i若 n 阶矩阵 A 有 n 个互异的特征值A 可相似对角化 .8. 实对称矩阵的性质： 特征值全是实数,

27、特征向量是实向量； 不同特征值对应的特征向量必定正交；注 ：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 一定有 n 个线性无关的特征向量.若 A 有重的特征值, 该特征值i 的重数 = nr ( i EA) ； 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； 两个实对称矩阵相似有相同的特征值.9.正交矩阵AATE正交矩阵的性质：ATA1；AATATAE； 正交阵的行列式等于1 或 -1 ； A 是正交阵 , 则 AT ， A 1 也是正交阵； 两个正交阵之积仍是正交阵； A 的行（列）向量都是单位正交向量组

28、 .10.11.施密特正交规范化1,2, 3线性无关 ,正交化单位化：112 23 3111(2 ,1)(1,11)(3,1)(3,2)(1,1) 1(2,2)2232323技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代入方程，确定其自由变量 .第四部分二次型1. 二次型及其矩阵形式2. 二次型向标准形转化的三种方式3. 正定矩阵的判定a11a12a1nx1nna21a22a2 nx21.二次型f (x1, x2 , xn )aij xi x j(x1, x2 , xn )i 1j 1an1an 2annxn其中 A 为对称矩阵，x( x1 , x2 , xn )TA与B合同T.（为实对称矩阵为可逆矩阵 ）C ACBA, B,C正惯性指数二次型的规范形中正项项数 p负惯性指数二次型的规范形中负项项数符号差2 pr ( r 为二次型的秩 ) 两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等. 两个矩阵合同的充分条件是：A与B等价xT Axrp 两个矩阵合同的必要条件是：r ( A)r ( B)2.f ( x1 , x2 , , xn ) xT Ax经过正交变