线代习题答案--陈万勇版.

1、线性代数习题解答陈万勇习题一1 1利用对角线法则计算下列三阶行列式.201(1)141183201解： 141 2(4)30(1)(1)1180132(1)81(4)(1)1832481644abc(2) bcacababc解： bcaacbbaccba bbb aaa ccc 3abca3 b3 c3cab111(3)abca 2b 2c2111解： abc bc2 ca2ab2ac2ba2cb2(ab)(b c)( ca)a 2b 2c2xyxy(4)yxyxxyxyxyxy解：yxyxx(xy)yyx(xy)( x y)yx y3 (xy)3 x3xyxy3xy(x y) y3 3x2

2、y x3y3 x32(x3 y3)1.2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 .(1)1234解：逆序数为0(2)4132解逆序数为441 43 42 32(3)3421解：逆序数为53 23 14 241,21(4)2413解：逆序数为32 14 14 3(5)1 3(2n1)24(2n)解：逆序数为 n(n1)232(1个)52 54(2个)72 74 76(3个)(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6(2n1)(2n 2) (n 1 个 )(6)1 3(2n1) (2n) (2n2)2解：逆序数为 n(n 1)32(1 个)52 54(2个)(2n1)2 (2n 1)4

3、 (2n 1)6(2n 1)(2n 2) (n 1 个 )42(1 个)626 4(2 个)(2n)2 (2n)4 (2n)6(2n)(2n 2) (n 1 个 )1.3 写出四阶行列式中含有因子a11a23 的项解：含因子 a11a23 的项的一般形式为： ( 1)ta11a23a3ra4s其中 r 、s 是 2 和 4 构成的排列这种排列共有两个即24和42所以含因子 a11a23 的项分别是(t(1a11a23a32a441) a11a23a32a441) a11a23a32a44(1)ta11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a421.4 计算下列各行

4、列式.41241202(1)1052001174124412101202c2c 31202解： 10520c 47 c3 1032140117001041104110c2c39910122( 1)431220020c121c 3103141031417171421413121(2)123250622141214021403121 c4c 2 3122 c4c2 312 2解： 123212301230506250625062214021402140c 4c2 3122 r4r 2 3122 r 4r2 312 2123012301230506221402140r 4r1214031220123

5、00000abacae(3)bdcddebfcfefabacaebce解： bdcddeadfbcebfcfefbce111adfbce1114 abcdef111a1001b10(4)01c1001da10001aba01 b10 r1ar 21b10解： 01c101c1001d001d1aba0c3dc 21 abaad( 1)( 1)2 11c11c1 cd01d010(1)(1)32 1abadabcdab cdad 111cd1.5证明 :a 2abb2(1) 2 aab2b(a b) 3;111a 2abb 2c 2c1a 2ab a 2b 2a 2证明： 2aab2b2 aba

6、2 b2 a111c3c11001)31 aba2b2a2aba(ba)( ba)2(a b)3ba2b2a1axbyaybzazbxxyz(2) aybzazbxaxby( a3b3 ) yzx ;azbxaxbyaybzzxyaxbyaybzazbx证明： aybzazbxaxbyazbxaxbyaybzxaybzazbxyaybzazbxa yazbxaxbyb zazbxaxbyzaxbyaybzxaxbyaybzxaybzzyzazbxa2 yazbxxb2zxaxbyzaxbyyxyaybzxyza3yzxzxyxyza3yzxzxyyzxb3zxyxyzxyzb3yzxzxyxy

7、z(a3b3 ) yzxzxya2( a1)2(a2)(3)b 2(b1)2(b2)c2(c1)2( c2)d2(d1)2( d2)2222(a3)2(b3)2(c3)20;2a2( a 1) 2( a 2) 2(a 3)2b 2(b 1)2(b 2)2(b 3)2证明：2( c1)2(c 2)2(c3)2 ( c4 c3 c3 c2 c2 c1 得 )cd 2(d 1) 2( d 2)2(d 3) 2a 22 a 1 2a 32 a 5b 22 b 1 2b 32b 5c 22 c 12c 32 c 5(c4 c3 c3 c2 得 )d 22 d 1 2 d 3 2 d 5a 22a122b

8、 22b122c 22c1202d 22 d1221111abcd(4) a 2b 2c2d 2(ab)( ac)( a d)( bc)( b d)(cd)(ab cd);a 4b 4c4d 411111111a b c d0b ac ad a证明： a 2b 2c2d 20b (ba )c (ca )d (d a)a 4b 4c4d 40 b 2 ( b 2a 2 ) c 2 ( c 2a 2 ) d 2 ( d 2a 2 )111( b a )( ca )( da )bcdb 2 ( b a )c 2 ( ca )d 2 ( da )111(ba )( ca )( da ) 0c bdb0

9、c ( c b )( cba ) d ( db )( d ba )(ba )( ca )( da )( cb )( d b )11ba)d ( dba )c( c=(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)( c d)( a b c d)x10000x100(5)00x1xn a1xn 1an 1x an0anan 1a n 2a2x a1证明：用数学归纳法证明当 n 2 时Dx1x 2axa命题成立21a2xa12假设对于 (n 1)阶行列式命题成立即D n 1 xn 1 a1 xn 2an 2x an 1则 Dn 按第一列展开有1000D nxD n 1a n ( 1) n 1x1

10、0011x1xD n 1 an xn a1xn 1an 1x an因此对于 n 阶行列式命题成立1.6 设 n 阶行列式D det(aij), 把 D 上下翻转、或逆时针旋转90 、或依副对角线翻转依次得an1anna1nannanna1nD1D 2D3a11a1na11an1an1a11n (n1)证明 D1D2(1)2 DD3D证明：因为 Ddet(aij ) 所以an 1anna11a1nan1annD1( 1) n 1a11a1na21a2 na11a1 na21a2 n(1)n1 (1) n2 an1anna31a3 n1)12(n2)(n 1) Dn( n1)(1)2D同理可证n

11、( n 1) a11an1n(n1)n( n 1)D 2( 1)2(1)2DT(1)2Da1nannn (n1)n(n 1)n (n 1)D ( 1)n (n 1) D DD3(1)2D2(1) 2(1)21.7计算下列各行列式(Dk 为 k 阶行列式 ).a1(1) Dn,其中对角线上元素都是a未写出的元素都是 01aa00010a00000a00解： D n（按第 n 行展开 )000a01000a00001a0000(1) n 10a000000a0 ( n 1) ( n 1)a(1) 2naa ( n 1 ) ( n 1)a( 1) n 1 ( 1) nanan an 2 an 2(a

12、2 1)a (n2 )( n 2 )xaaaxa(2) Dnaax解：将第一行乘( 1)分别加到其余各行得xaaaaxxa00D nax0xa0ax000xa再将各列都加到第一列上得x(n1) aaaa0xa00D n00xa0a)n 1x (n 1)a(x0000x aan( a1) n(an) n(3) Dnan 1(a 1)n 1(a n)n 11;aa1an111解：根据第6 题结果有111n( n1)aa1anD n1(1)2an 1(a 1)n 1( a n) n 1a n(a 1)n(a n)n此行列式为范德蒙德行列式n(n1)Dn1(1)2( a i1)(aj 1)n1 i j

13、 1n (n1)(1)2(ij )n 1i j1n (n1)(1) 2( 1)(ij )n ( n 1)1j )2(in 1 i j 1n 1 ij 1anbn(4) D2na1b1c1;d1cndnanbn解： D2na1b1c1(按第 1 行展开 )d1cndnan 1bn 100 an 1bn 1a1b1( 1) 2n 1bna1b1anc1d1c1d1cn 1dn 10cn 1d n 100dncn0再按最后一行展开得递推公式D 2n andnD2 n 2 bncnD2n 2 即 D 2n (andn bncn)D2n 2于是nD2 ni 2(ai dibi ci ) D2而D2a1b

14、1a1d1 b1c1c1d1所以nD2 n(ai dibi ci )i 1(5) D det(aij ) 其中 aij |i j|; 解： aij |i j|0123n11012n2D n2101n3det (a ij )210n43n1n2n3 n4011111r1r 21111111111r 2r311111n1n2n3n4010000c 2c11200012200c 3c112220n 1 2 n 3 2 n 4 2 n 5n 1( 1)n 1(n 1)2n 21a111(6) D n11a21, 其中 a1a2an 0111an1a111解： D n11a21111anc1c2c2c3

15、a1a2a1a2(a1a2a100001a2a200010a3a3001000an1an 110000an1 an10000a1111000a2101 100a31an00011an11000011an110000a1101000a2100100a31an00001an11n1000001aii1an )(1n1 )i 1ai1.8 用克莱姆法则解下列方程组.x1x2x3x 4 5x12 x 2x 34 x42(1) 2 x13 x2x35 x 423 x1x 22 x 311 x40解：因为11111214D31142253121151111511D 12214142D 2121423152

16、212845012113021111511115D 31224426D 4121223252311422310113120所以x1D11D22 x3D33 x4D41Dx2DDD5x16x21x15x26x30(2)x25x36x40x35x46x50x45x51解：因为56000160001560005600D01560665D 101560 15070015600156，000151001551000561001060015000D 2005601145D3010607 0 30015600056010150011556010560011560015600D 401500395D 5015

17、602 1 200106001500001500011所以 x115071145703395x4212x2x3x4665665665665665x1x 2x301.9 问取何值时齐次线性方程组x1x2x30 有非零解？x12 x2x30解：系数行列式为11D 11121令 D 0得0 或1于是 当0 或1 时该齐次线性方程组有非零解(1) x12 x24 x301.10 问 取何值时齐次线性方程组2 x1(3) x 2x30 有非零解？x1x2 (1) x30解：系数行列式为124134D231211111101(1)3(3) 4(1)2(1)(3 )(1)32(1)23令 D 0得02或3于

18、是当02 或3 时该齐次线性方程组有非零解习题二123143212.1 已知A0321， B53 01，求3A 2B4032125012314321解：3A-2B=30321-253014032125011055=101561104196312075242.2 已知A 15 79， B 51 97，且A 2XB，求 X24683216解：A+2X=B2X=B-AX=(B-A)/24644B-A= 442212722.3计算下列各题n（ 1）11；0 12323（3） 1121；3201解： (1)11 2=当 n=2 时10假设当 n=k 时11 k=01当 n=k+1时11 k+1 =11

19、k010111 n= 1n0101a1b1(2)a22322X= 22111/ 217 / 21ab11a2b2；（ 2）anbnn1（4）321221 20 21k01111k 101=10a1 b1b2a2b2=anbnanbn876(3)原式 =303579212n（ 4）原式 =6364242122636636=1891842412612212318918636=542754424361836212原式 =3n-163642412.4设 A104 ， B1A 是一个 13矩阵， B是 31矩阵，求 AB 与 BA及 AT BT 01解：AB= 1041101104BA110410400

20、001110TT0110000A B44402.5设 A、B 均为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，证明BT AB 也是对称矩阵证： ( BT AB )T=BTAT(BT)T=BTATB AT=A( BT AB )T=BTAB即 BT AB 也是对称矩阵2.6求下列矩阵的逆矩阵23;cossin（1）4（2）cos；5sin210012（3） 121；（4）1 1 1012242114343A-1A77解： (1)2A7 55277A-11 Acossin(2)sincosAA11A21A31A115 A122A131(3)AA12A22A32A13A23A33A212A224A232A311A322A33315