第一轮复习自己整理绝对经典2016向量--第一轮.

1、平面向量题型总结(2015 版)题型一 : 定义判断1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。2零向量：长度为0 的向量叫零向量，记作：0 ，注意零向量的方向是任意的；3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量( 与AB共线的单位向量是AB) ；|AB|4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量，记作：a b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个

2、向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！ （因为有 0 ) ；三点A、B、C共线AB、AC共线；6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是a 。向量的表示方法：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ， b ， c 等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i， j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为axiy jx, y，称x, y为向量a 的坐标，a x, y叫做

3、向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。例 1.平面向量 a, b 共线的充要条件是（）A. a, b 方向相 同B.a, b 两向量中至少有一个为零向量C. 存在R, baD 存在不全为零的实数1 , 2 , 1 a 2 b 0例 2.下列命题正确的是（）A、若 a b ，且 b c ，则 a c 。B、两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同。C、向量 AB 的长度与向量BA 的长度相等。D、若非零向量AB 与 CD 是共线向量，则A、 B、 C、D 四点共线。例 3. 给出下面四个命题：对于任意向量a、 b，都有 | a· b| a

4、83; b 成立；对于任意向量a、 b，若 a2=b2，则 a=b 或 a= - b；对于任意向量a、 b、 c，都有 a· ( b· c)=( b· c) · a 成立；对于任意向量a、 b、 c，都有 a· ( b· c)=( b· a) · c 成立 .其中错误的命题共有.例 4. 给出下列命题 :若 a2+b2=0, 则 a=b=0;已知A( x1 , y1 ), B (x2 , y2 ) , 则1x1x2y1y2);2AB (2,2已知 a, b, c 是三个非零向量 , 若 a+b=0, 则 | a&#

5、183;c|=| b· c|已知10,20 , e1, e2 是一组基底 , a=1e1 + 2e2 则 a 与 e1 不共线 , a 与 e2 也不共线 ;其中正确命题的序号是.例 5如果 e 、 e是平面 内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（）12 e 1 e2( , R) 可以表示平面 内的所有向量；对于平面 中的任一向量a, 使 a= e1 e2 的 , 有无数多对；若向量 1e1+ 1e2 与 2e1+ 2e2 共线 , 则有且只有一个实数k, 使 2e1+ 2e2=k( 1e1+ 1e2) ；若实数 ,使 e1 e2=0，则 = =0.A. BCD仅真题：（

6、2014 北京东城区统一检测）若 a， b 是两个非零向量，则|a+b| |a-b|是 ab的条件（ 2013 年高考广东卷（文） ）设 a 是已知的平面向量且a0 , 关于向量 a 的分解 , 有如下四个命题 :给定向量 b , 总存在向量 c , 使 abc ;给定向量 b 和 c, 总存在实数和, 使 ab c ;给定单位向量 b 和正数, 总存在单位向量c和实数, 使 ab c ;给定正数和, 总存在单位向量b 和单位向量 c , 使abc ;上述命题中的向量b , c 和 a 在同一平面内且两两不共线, 则真命题的个数是（）A 1B 2C 3D4（ 15 北京文科） 设 a ， b

7、是非零向量， “ a ba b ”是“ a /b ”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件（ 15 年安徽文科）ABC 是边长为2 的等边三角形，已知向量a、 b 满足 AB2a ， AC2ab ，则下列结论中正确的是。（写出所有正确结论得序号） a 为单位向量； b 为单位向量； ab ； b / BC ； (4a b)BC（ 15 年陕西理科） 对任意向量 a, b，下列关系式中不恒成立的是（）b)2222D(a b)(a b) abA | a b | | a |b |B | a b | | a | |b |C (a| a b |题型二：平面向量基本

8、定理及基底的相关应用平面向量的基本定理：如果e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1 、2 ，使 a= 1 e 1 2 e2向量中一些常用的结论：（ 1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（ 2） | a | |b | | a b | | a | | b |，特别地，当a、b 同向或有 0| ab | a | b|a | | b | | a b | ； 当 a、b 反 向 或 有 0| a b | | a |b| |a| b| |a | b； 当 a、b 不 共 线| |a|b| |a | b|a |(| 这b些和实数比较

9、类似).（ 3）向量 PA、PB、PC 中三终点 A、 B、 C 共线存在实数 、 使得 PAPB PC且1例 6. 如图 ,ABCD 是一个梯形 , AB / CD, AB2 CD , M 、 N 分别是 DC , AB 的中点 , 已知 AB a, ADb, 试用 a、b表示 DC,BC 和 MN .DMCABN1例 7. 在 OAB中，延长 BA到 C，使 ACBA，在 OB上取点 D，使 DB OB.DC与 OA交于 E，设 OA a， OB b，用3a， b 表示向量 OC， DC.例 8. 已知在 ABC中，BD2DA, 点E为AC的中点，与交于点，试用AB与AC表示AF .CD

10、BEF例 9. 在平行四边形ABCD 中， M, N分别为 DC ， BC 的中点，已知AMa, ANb ，试用 a,b 表示 AB, AD 。例 10. 在三角形 ABC中，点 D 在边 AB上， CD平分角CBa，CAb,a 1, b2, 则CD( )ACB,A.1 a2 b, B.2 a1 b, C.3 a4 b,D.4 a3 b,33335555三点共线定理的应用：例 11. 在平行四边形ABCD中， E,F分别是 BC,CD的中点， DE与 AF交于点 H,设 ABa, BC b, 则 AHA.2 a4 b, B.2 a4 b,C.2 a4 b, D.2 a4 b,55555555例

11、 12. 在 ABC中， AR2RB, CP2PR, 若 AP mABn AC,则m nA 2B. 7C 8D 13992 )例 13.若 A，B，C 是直线 l 上不同的三个点， 若 O 不在 l 上，存在实数 x 使得 x OA xOB BC 0，实数 x 为 (A 1B 0C.1 5D.1 522例 14.在平行四边形ABCD 中，AC 与 BD 交于 O，E 是线段OD 的中点， AE 的延长线与 CD 交于点 F，若AC a，)BD b，则 AF 等于 (11211112A. 4a2bB.3a3bC.2a4bD. 3a3b例15.在ABC 中， N 是 AC边上的一点，且 AN1 N

12、C ,P 是 BN上的一点，若 APm AB 2AC , 则实数 m的值29为.例 16. 已知 O是ABC 的外心， AB2, AC1, BAC1200 ，若 AO1AB 2AC，则 12 的值为（）A 2B 13C 7D 5632例 17. 若向量 a(3, 2), b ( 2,1), c (7, 4), 现用 a、b 表示 c, 则 c=.真题：（湖南六校联考2014）设 i、j 是平面直角坐标系(坐标原点为 O)内分别与 x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量， 4i3j，则 OAB 的面积等于 _且 OA 2i j，OB（ 2015 洛阳市统考）已知直角坐标系内的两个向量 a (1,

13、3),b (m,2m3) 使平面内的任意一个c 都可以唯一的表示成 cab ，则 m的取值范围是.题型三：向量的几何运算及三角形的四心向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用 “三角形法则” ：设 ABa, BCb ，那么向量 AC 叫做 a 与 b 的和，即 abABBCAC ；向量的减法：用“三角形法则”：设 ABa, ACb,那么 abABACCA ，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。在 ABC 中：若 A x1 , y1, B x2 , y2 ,Cx3 , y3 ，则其重心的坐标为G

14、x1x2x3 , y1y2y333 PG1 (PAPBPC)G 为 ABC 的重心，特别地PA PBPC0P 为ABC 的重心；3PA PBPB PCPC PAP 为ABC 的垂心；向量( ABAC )(0)所在直线过ABC 的内心 ( 是BAC 的角平分线所在直线) ；|AB|AC| AB|PC|BC|PA |CA|PB 0P ABC 的内心；例 18.若正方形 ABCD 的边长为1， ABa, BCb, ACc ，则 | ab c | _例 19.若 O是ABC 所在平面内一点，且满足OBOCOBOC 2OA ，则 ABC 的形状为 _内心例 20. O是ABC所在平面内一定点，动点P满足

15、 OPOA(ABAC ), 【0，）ABAC，则点P 的轨迹一定通过ABC的（）A.外心B. 内心C.重心D.垂心例 21. 已知非零向量AB与 AC满足 ( ABAC )BC0，且 ABAC1，则ABC为（）ABACABAC2A. 等边三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形D. 三边均不相等的三角形重心例 22. O是 ABC内一点， OCOAOB0 ，则为ABC的（）A. 外心B. 内心C. 重心D.垂心垂心例 23. O 是平面上一定点，A， B， C 是平面上不共线的三个点，动点P满足 OPOA(ABACR, 则点 P 的轨迹一定通过ABC的（),）AB COSBAC COSCA.

16、 外心B. 内心C.重心D. 垂心外心例 24. 已知点 O，N，P在ABC所在平面内，且 OAOBOC,0NANBNC ，PA PBPBPCPCPA ，则 O，N， P 依次是ABC的（）A. 重心、外心 、垂心B. 重心、外心、内心C.外心 、重心、垂心D. 外心 、重心、内心题型四：平面向量坐标运算及共线问题设 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) ，则： 向量的加减法运算： a b( xx， y1y2 ) 。12 实数与向量的积 ： ax1 , y1x1,y1 。若 A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) ，则 ABx 2x 1y, 2y 1，即一个向量

17、的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。 平面向量数量积 ： abx1x2y1y2 。 如： 向量的模 ： | a |x2y22| a |2x2y2 。 如, a 两点间的距离 ：若 Ax1, y1 , Bx2 , y2，则|AB|x2x12y12y2向量的运算律 ：1交换律： abba ，aa ， abba ；2结合律： abcabc, abcabc，ababab ；3分配律：aaa,abab ， abc acbc 。例 25. 设 A(2,3), B(1,5)，且 AC1AB ， AD 3AB ，则 C、D 的坐标分别是 _3=(12,5)平行的单位向量为例 26. 与向量

18、 a例 27. 已知 A(0,2) ， B(2, 2) ， C (3, 4) ，求证：A, B, C 三点共线。例28.设AB2 ( a 5b), BC2a 8b,CD 3(a b) ，求证： A、 B、 D 三点共线2真题：（ 2013 年高考辽宁卷（文） ）已知点 A 1,3 , B 4,1 ,则与向量 AB同方向的单位向量为（ 2014 滁州市统考） 已知向量 a （ sinx ， cosx ）,b（ sinx ， sinx ） ,c （ 1， 0）。（ 1）若 x，求向量 a 、 c 的夹角；（ 2）若 x 3, ，函数 f ( x)a b 的最大值为1 ，求的值。3842题型五：求参

19、量的值向量数量积的性质：设两个非零向量 a ， b ，其夹角为，则： a ba b0 ；当 a ， b 同向时， a2a aa22b a b ，特别地， a, aa ；当 a 与 b 反向时， a b a b ；当 为锐角时， ab 0，且 a、b 不同向， a b0 是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时， a b 0，且 a、b 不反向， ab0是 为钝角的必要非充分条件；非零向量 a ， b 夹角的计算公式： cosabb | a |b | 。； | aa b提醒：（ 1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同

20、乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除 ( 相约 ) ；（ 2）向量的“乘法”不满足结合律，即a(b c)(ab)c ，为什么？向量平行 ( 共线 ) 的充要条件： a / babx1 y2y1 x2 0。向量垂直的充要条件： a b a b0|ab | | ab |x1 x2 y1 y2 0 .例 29.已知向量a ( 3， 1) ， b (0 ， 1) ， c (k ， 3) 若 a 2b 与 c 共线，则 k _.例 30.已知向量a (1,2) ， b (1,0) ， c (3,4) 若 为实数， (a b) c，则 _.例 31.已知 a

21、与 b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a b 与向量 ka b 垂直，则 k _.例 32.已知 e ，e 是夹角为3 的两个单位向量， ae 2e ，bke e2,若 a·b0，则实数 k 的值为 _122121真题：（ 15 年福建文科） 设 a(1,2)， b (1,1) ， c a kb 若 bc ，则实数 k 的值等于（）A35C532B3D32（ 15 年新课标2 理科） 设向量 a ， b 不平行，向量ab 与 a2b 平行，则实数_题型六：模的相关运算1例 33. 设向量 a，b 满足 |a| |b| 1， a· b 2，则 |a 2b| _例

22、34.已知单位向量 e1， e2 的夹角为 60°，则 |2e 1 e2| _例 35.向量 a (x,1),b (1, 2), 且 ab ，则 | ab | _例 36.已知向量 a,b 夹角为 45 ，且 a1, 2a b10 ；则 b _例 37：已知 | a | 1，|b | 2 ， |3a 2b |3 ，则 | 3ab | 为 _题型七：求坐标、夹角、数量积及投影b 在 a 上的投影： 为 | b |cos，即它是一个实数，但不一定大于0。a b 的几何意义： 数量积 a b 等于 a 的模 | a |与 b 在 a 上的投影的积例 38. 设非零向量 a、 b、 c 满足

23、 | a| | b| | c| ，a b c，则 a 与 b 的夹角为 _例 39. 已知向量a， b 满足 (a 2b) · (a b) 6，且 |a | 1， |b| 2，则 a 与 b 的夹角为 _例 40. 若向量 a (1,2) ， b (1 ， 1) ，则 2a b 与 a b 的夹角等于 _例 41.已知两个单位向量e ， e 的夹角为3 ，若向量b e 2e2，b 3e 4e，则 b · b _.121121212例 42.已知 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投影为（）A.13B.13C.65D.6555例 43.设 a b4 ，

24、若 a 在b 方向上的投影为 2，且b 在 a 方向上的投影为 1，则 a 与b 的夹角等于（）A6BC 2D或 23333例 44. 如图所示，平行四边形ABCD中， AP BD，垂足为 P，且 AP=3，则 AP AC =_例 45. a,b, c 满足 abc0, a1, b2, c2, 则 a bb cc a例 46. 已知 a, b 是非零向量且满足abab , 则 a与ab 的夹角是a与ba b0,且ca(aa)b,则与的夹角是例 47.若向量不共线，a bac例 48.已知 a2, b1， a与b 的夹角为 45 0 ，求使向量 ab 与 ab 的夹角为锐角的的取值范围。例 49

25、. 已知 a1, b2, a 与 b 夹角为 120 ，abc0,则 a 与 c 的夹角为真题：（黄冈市二模） 知非零向量满足abc0 ，向量 a, b 的夹角为 60 ，且 ab1, 则向量 a 与 c 的夹角为（东北名校联考）已知 3 a4 b5 c0,且 abc1，则 a( bc ) =（ 15 年新课标 2 文科） 已知 a 1, 1, b1,2 ,则 (2a b) a （）A 1B0C1 D2（ 2015 郑州市一模） 已知 P 是边长为 )2 的正 ABC 边 BC 上的动点，则 AP·(AB AC)为 (A 最大值为 8B 最小值为 2C是定值 6D 与 P 的位置有关

26、题型八：向量的最值问题例 50.已知两向量 a (1,3), b (2,) ， a与b 的夹角 为锐角，则的范围例 51.已知平面向量 a,b ，且满足 a1, a b 2 ，则 b 的取值范围例 52.ab已知向量 p，其中 a 、 b 均为非零向量，则 | p |的取值范围是 ()| a |b |A. 0,2B. 0,1C.(0, 2D.0, 2 )例 53.在 ABC 中， D 为 BC 边中点，若 A 120°， AB·AC1，则 |AD|的最小值是 (13C. 2D.2A. 2B.22例 54. 已知 a、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c满足（ a-

27、 c）·（ b- c）=0，则 | c| 的最大值是.例 55. 已知单位向量a,b,c ，且 a b0 ， (ac) (bc)0,则 abc 的最大值为.例 56. 已知直角梯形ABCD中， AD/BC,ADC90 0,AD=2， BC=1， P 是腰 DC上的 动点，则 PA 3PB 的最小值为.224 , AB 2 ，设向量 PC 2PA PB，则 PC 的最小例 57.已知平面上的向量PA、 PB满足 PAPB值是例 58. 在ABC 中， D 为 BC边的中点， AD=1，点 P 在线段 AD上，则 PA(PBPC) 的最小值 _例 59. 在边长为1 的正三角形ABC中，

28、 BDx BA, CEyCA, x0, y0, xy1,则CD BE 的最大值为 _真题：（ 2014·湖南卷） 面直角坐标系中， O 为原点， A( 1，0)，B(0 ， 3)， C(3， 0)，动点 D 满足 |CD| 1，则 |OA OB OD|的最大值是 _（ 15 年天津理科） 在等腰梯形 ABCD中 ,已知 AB / /DC, AB 2,BC 1, ABC60 ,动点 E和 F分别在线段 BC 和 DC 上,且, BEBC, DF1 DC , 则 AE AF 的最小值为9（ 2013 年高考湖南（文） ）已知 a,b 是单位向量 ,a · b=0. 若向量 c

29、满足 |c-a-b|=1,则 |c| 的最大值为 ()A21B2C21D22题型九：图形类问题（向量相关的坐标解法）例 60：在 ABC中， M是 BC的中点， AM=3， BC=10，则 ABAC =_.例 61：在矩形 ABCD 中，AB2 ，BC 2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若 AB AF2，则 AE BF的值是 _. 例 62. 平面上有四个互异点 A、 B、 C、 D，已知 (DB DC2DA)· (AB AC) 0，则 ABC的形状是 _例 63.如图，一直线 EF 与平行四边形 ABCD 的两边 AB，AD 分别交于 E、F 两点， 且交其对角

30、线于K ，其中 AE1 1)AB， AF AD ， AK AC，则 的值为 (321B.1C.11A. 543D. 2 )例 64. 在 ABC 中， C 90°，且 CA CB 3，点 M 满足 BM 2MA，则 CM ·CB等于 (A 2B 3C 4D 6例 65.在正三角形ABC 中， D 是 BC 上的点， AB 3， BD 1，则 AB·AD _.例 66. 已知点 o 是边长为 1 的等边三角形ABC的中心，则(OA OB)(OA OC) 等于 _例67. 在 ABC中， AB=2， AC=4，若点 P 为 ABC的外心，则 AP BC 的值为 _例

31、68.已知： |OA| 1， |OB|3， OA·OB 0，点 C 在 AOB 内，且 AOC 30°，设 OC mOA nOB m(m，n R )，则 n _.真题：（ 2014·四川卷） 已知 F 为抛物线2A， B 在该抛物线上且位于 其中 Oy x 的焦点，点x 轴的两侧， OA· OB 2(为坐标原点 ) ，则 ABO与 AFO面积之和的最小值是()A 2B 3C.172D.108（15 北京理科） 在 ABC 中，点 M ， N 满足 AM2MC ， BNNC 若 MNxAB yAC ，则x； y（ 151t ， 若 P点是 ABC年福建理科

32、）已知 AB AC,AB,AC所在平面内一点，且tAPAB4 ACPB PC 的最大值等于（）AB，则ACA 13B 15C 19D 21（ 15年天津文科） 在等腰梯形ABCD 中,已知 ABDC,AB2, BC 1, ABC 60 , 点 E 和点 F 分别在线段21的值为BC和CD上且 BEBC,DFDC, 则AEAF,63（ 15 年山东理科） 已知菱形ABCD 的边长为 a ，ABC60 ，则 BD CD（）(A)3 a2(B)3 a2(C)3 a2(D)3 a22442题型十：平面向量在函数及三角函数中的应用例 69. 在ABC 中，已知 ABAC3BABC （ 1）求证： tan B3tan A ；（ 2）若 cosC5，求 A的值5例70. 已知 A， B，C 的坐标分别为A(3,0) ， B(0,3)，C(cos ，sin ) ， ，3.22(1)若 |AC| |BC| ，求角 的值；(2) 2sin 2 sin 2 的值若AC· BC 1，求1 tan例71.在ABC 中 , 已知内角A B C所对的边分别为 a、 b、 c,向量 m2sin B, 3 ,