高中数学 同步测控综合测评(B) 新人教A版选修2-1

1、综合测评(B)(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知命题p:xR,x2-x+>0,则􀱑p为().A.xR,x2-x+0B.xR,x2-x+0C.xR,x2-x+>0D.xR,x2-x+0答案:B2.双曲线=1的焦距是().A.4B.2C.8D.与m有关答案:C解析:依题意a2=m2+12,b2=4-m2,所以c=4.所以焦距2c=8.3.已知空间向量a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若2a-b与b垂直,则|a|等于().A.B.C.D.答案:D解析

2、:由已知可得2a-b=(2,2n,4)-(-2,1,2)=(4,2n-1,2).又(2a-b)b,-8+2n-1+4=0.2n=5,n=.|a|=.4.已知a,bR,则“ln a>ln b”是“”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:ln a>ln ba>b>0,a>b,而a>b>0是a>b的充分不必要条件,“ln a>ln b”是“”的充分不必要条件.5.椭圆=1上一点到两焦点的距离分别为d1,d2,焦距为2c,若d1,2c,d2成等差数列,则椭圆的离心率为().A.B.C.D.答案

3、:A解析:依题意d1+d2=2a.而d1,2c,d2成等差数列,所以d1+d2=4c.而2a=4c,所以e=.6.对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,有如下关系:6+2+3,则().A.四点O,A,B,C必共面B.四点P,A,B,C必共面C.四点O,P,B,C必共面D.五点O,P,A,B,C必共面答案:B解析:由已知得,而=1,四点P,A,B,C共面.7.若命题“xR,使x2+(a-1)x+1<0”是假命题,则实数a的取值范围为().A.1a3B.-1a3C.-3a3D.-1a1答案:B解析:根据题意可得xR,都有x2+(a-1)x+10,=(a-1)2-40,-1a3.8.已知

4、点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为().A.B.3C.D.答案:A解析:由抛物线的定义知,点P到该抛物线的准线的距离等于点P到其焦点的距离,因此点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和即为点P到点(0,2)的距离与点P到焦点的距离之和,显然当P,F,(0,2)三点共线时,距离之和取得最小值,最小值等于,故选A.9.如图,将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,若点P满足,则|2的值为().A.B.2C.D.答案:D解析:由题可知|=1,|=1,|=.<,>=45°,<,&g

5、t;=45°,<,>=60°.|2=···=+2-×1×1×+1×-1×.10.已知命题p:“若a>b>0,则loa<lob+1”,则命题p的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为().A.0B.1C.2D.4答案:B解析:对于命题p,当a>b>0时,有loa<lob,则必有loa<lob+1,因此原命题正确,逆否命题也正确;但当loa<lob+1时,得loa<lo,得a>>0,不一定有a>b>0,因此逆

6、命题不正确,故否命题也不正确,故选B.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为().A.B.C.D.答案:C解析:建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1).=(1,0,1),=(1,1,0),=(-1,0,1).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则n·=0,n·=0.令x=1,则n=(1,-1,-1),cos<n,>=.直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值为.直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为.12.过M(-2,0)

7、的直线m与椭圆+y2=1交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k10),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为().A.2B.-2C.D.-答案:D解析:设直线m:y=k1(x+2),代入+y2=1得:x2+2(x+2)2-2=0,整理,得(1+2)x2+8x+8-2=0,=(8)2-4(1+2)(8-2)>0,解得.设P1P2的中点P(x0,y0),则x0=,y0=k1(x0+2)=.k2=-.k1k2=-.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.在四面体OABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=.(用a,b,c表示)

8、 答案:a+b+c解析:()=a+b+c.14.命题p:若a,bR,则ab=0是a=0的充分条件,命题q:函数y=的定义域是3,+),则“pq”“pq”“􀱑p”中是真命题的有. 答案:pq,􀱑p解析:依题意可知p假,q真,所以“pq”为真,“pq”为假,“􀱑p”为真.15.设F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上一点,且|PF1|-|PF2|=1,则cosF1PF2=. 答案:解析:椭圆焦点在y轴上,a2=4,b2=3,c=1,又P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=4,因为|PF1|-|PF2|=1,所

9、以|PF1|=,|PF2|=.又|F1F2|=2c=2,所以cosF1PF2=.16.如图,已知A(-3p,0)(p>0),B,C两点分别在y轴和x轴上运动,并且满足=0,则动点Q的轨迹方程为. 答案:y2=4px(p>0)解析:设Q(x,y),因为,所以B.又A(-3p,0),所以,.由已知·=0,所以3px-y2=0,即y2=4px(p>0).三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)已知命题p:不等式|x-1|>m-1的解集为R,命题q:f(x)=-(5-2m)x是减函数,若p或q为真

10、命题,p且q为假命题,求实数m的取值范围.解:由于不等式|x-1|>m-1的解集为R,所以m-1<0,m<1;因为f(x)=-(5-2m)x是减函数,所以5-2m>1,m<2.即命题p:m<1,命题q:m<2.因为p或q为真,p且q为假,所以p和q中一真一假.当p真q假时应有m无解.当p假q真时应有1m<2.故实数m的取值范围是1m<2.18.(12分)已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),ab,bc.求:(1)a,b,c;(2)(a+c)与(b+c)所成角的余弦值.解:(1)因为ab,所以,解得x=2,y=

11、-4,这时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).又因为bc,所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,于是c=(3,-2,2).(2)由(1)得(a+c)=(5,2,3),(b+c)=(1,-6,1),因此(a+c)与(b+c)所成角的余弦值为cos =-.19.(12分)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,且a2=2b.(1)求椭圆的方程;(2)若直线l:x-y+m=0与椭圆交于A,B两点,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.解:(1)由题意得解得所以b2=a2-c2=1,故椭圆的方程为x2+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),

12、线段AB的中点为M(x0,y0).联立直线与椭圆的方程得即3x2+2mx+m2-2=0,所以x0=-,y0=x0+m=,即M.又因为M点在圆x2+y2=5上,所以=5,解得m=±3.20.(12分)如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,ABC=,OA底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点.(1)证明:直线MN平面OCD;(2)求异面直线AB与MD所成的角的大小.解:作APCD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),P,D,O(0,0,2),M(0,0,1),N.(1)

13、,设平面OCD的一个法向量为n=(x,y,z),则n·=0,n·=0,即取z=,解得n=(0,4,).·n=·(0,4,)=0.又MN平面OCD,MN平面OCD.(2)设异面直线AB与MD所成的角为,=(1,0,0),cos =.=,即异面直线AB与MD所成的角的大小为.21.(12分)已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求的最小值.解:(1)由|PM|-|PN|=2知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=.又因为半

14、焦距c=2,故虚半轴长b=,所以W的方程为=1,x.(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).当ABx轴时,x1=x2,y1=-y2,从而·=x1x2+y1y2=2.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m,与W的方程联立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,故x1+x2=,x1x2=,所以·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=+m2=2+.又因为x1x2>0,所以k2-1>0.从而·>2.综上,当ABx轴时,·取得最小值

15、2.22.(14分)如图,在四棱锥A-BCDE中,底面BCDE为矩形,侧面ABC底面BCDE,BC=2,CD=,AB=AC.(1)证明ADCE;(2)设CE与平面ABE所成的角为45°,求二面角C-AD-E的余弦值.(1)证明:作AOBC,垂足为O,则AO底面BCDE,且O为BC的中点.以O为坐标原点,射线OC为x轴正方向,建立如图所示的直角坐标系Oxyz.设A(0,0,t).由已知条件知C(1,0,0),D(1,0),E(-1,0),=(-2,0),=(1,-t),所以·=0,得ADCE.(2)解:作CFAB,垂足为F,连接FE,如图所示.设F(x,0,z),则=(x-1,0,z),=(0,0),&#