第四章 电路定理(Circuit Theorems)

1、第四章第四章 电路定理电路定理(Circuit Theorems) 4.1 叠加定理叠加定理 (Superposition Theorem) 4.2 替代定理替代定理 (Substitution Theorem) 4.3 戴维宁定理和诺顿定理戴维宁定理和诺顿定理 (Thevenin-Norton Theorem)重点重点掌握叠加定理和戴维宁定理掌握叠加定理和戴维宁定理下 页1. 叠加定理叠加定理 在线性电路中，任一支路的电流（或电压）可在线性电路中，任一支路的电流（或电压）可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流（或电压）

2、的代数和。在该支路产生的电流（或电压）的代数和。4.1 叠加定理叠加定理 (Superposition Theorem)2 .定理的证明定理的证明G1iS1G2uS2G3uS3i2i3+1用结点法：用结点法：13322132)(SSSniuGuGuGG 下 页上 页323332223211GGuGGGuGGGiuSSSn 或表示为：或表示为：3322111SsSnuauaiau 支路电流为：支路电流为： )(332322323213233313SSSSnuGGGGuGGGGiGGGGuui 332322323213222212)(SSSSnuGGGGuGGGGiGGGGuui G1iS1G2u

3、S2G3uS3i2i3+1)3(1)2(1)1(1nnnuuu )3(2)2(2)1(2332211iiiububibSSS )3(3)2(3)1(3iii 下 页上 页结点电压和支路电流均为各电源的一结点电压和支路电流均为各电源的一次函数，均可看成各独立电源单独作次函数，均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。用时，产生的响应之叠加。 3. 几点说明几点说明1. 叠加定理只适用于线性电路。叠加定理只适用于线性电路。2. 分电路中不作用的独立源要置零分电路中不作用的独立源要置零电压源为零电压源为零 短路。短路。电流源为零电流源为零 开路。开路。=+uS3G1iS1G2uS2G3i2i3

4、+1nuiS1)1(2i)1(3iG1G2G3)1(1nuus2+)2(3i)2(2i)2(1nuG1G2G3us3+)3(2i)3(3iG3G2G1)3(1nu下 页上 页3. 计算功率时，不可以在各分电路中求出每个元件的功率，计算功率时，不可以在各分电路中求出每个元件的功率，然后利用叠加定理进行叠加（功率为电压和电流的乘积，然后利用叠加定理进行叠加（功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数）。为电源的二次函数）。4. u , i 叠加时要注意各分电路中电压、电流的参考方向。叠加时要注意各分电路中电压、电流的参考方向。5. 含受控源（线性）电路亦可用叠加定理，但只能画出含受控源（线性）电路亦

5、可用叠加定理，但只能画出独立源单独作用的分电路，受控源应保留在每个分电独立源单独作用的分电路，受控源应保留在每个分电路中。路中。注意注意（1）必须画出独立源单独作用的分电路；）必须画出独立源单独作用的分电路；（2）不作用的电源如何置零；）不作用的电源如何置零；（3）受控源不能单独作用。）受控源不能单独作用。下 页上 页4. 叠加定理的应用叠加定理的应用例例1求电压求电压U.6 8 12V3A+3 2 +U8 3A6 3 2 +U(2)画出分画出分电路图电路图12V电源作用：电源作用：VU43912)1( 3A电源作用：电源作用：VU63)3/6()2( VU264 解解8 12V+6 3 2

6、+U(1)下 页上 页例例210V2Au2 3 3 2 求电流源的电压和发出的功率求电流源的电压和发出的功率10Vu（1）2 3 3 2 Vu210521053)1( Vu84225322.)( Vuuu8 . 6)2()1( WP613286. 画出分画出分电路图电路图10V电源作用：电源作用：2A电源作用：电源作用：解解下 页上 页2Au（2）2 3 3 2 例例3u12V2A1 3A3 6 6V计算电压计算电压u。画出分画出分电路图电路图1 3A3 6 u(1)Vu931361 )/()(Viu8)12(66)2()2( Ai2361262 )/()()(Vuuu178921 )()(说

7、明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。3A电流源作用：电流源作用：其余电源作用：其余电源作用：12V2A1 3 6 6Vu (2)i (2)解解下 页上 页例例4计算电压计算电压u电流电流i。u (1)10V2i (1)1 2 i (1)102)12()1()1( iiViiiu6321)1()1()1()1( Ai2)1( Vu826 u10V2i1 i2 5Au(2)2i (2)1 i (2)2 5A 02)5(12)2()

8、2()2( iiiAi12 )(Viu212222 )()()(Ai112 )(受控源始受控源始终保留终保留10V电源作用：电源作用：5A电源作用：电源作用：解解下 页上 页例例5无源无源线性线性网络网络uSiiS封装好的电路如图，已知下列封装好的电路如图，已知下列实验数据：实验数据：AiAiVuSS211 , 响应响应时，时，当当AiAiVuSS121 , 响应响应时，时，当当？响应响应时，时，求求 iAiVuSS , 53解解 根据叠加定理，有：根据叠加定理，有：SSukiki21 代入实验数据，得：代入实验数据，得：221 kk1221 kk1121 kkAiuiSS253 下 页上 页

9、例例6.采用倒推法：设采用倒推法：设i=1A。则则求电流求电流 i 。RL=2 R1=1 R2=1 us=51V+2V2A+3V+8V+21V+us=34V3A8A21A5A13AiR1R1R1R2RL+usR2R2i =1A sSuuii 解解5. 齐性原理（齐性原理（Homogeneity Property)AiuuiS5 . 113451 s 即即线性电路中，所有激励线性电路中，所有激励(独立源独立源)都增大都增大(或减小或减小)同样同样的倍数，则电路中响应的倍数，则电路中响应(电压或电流电压或电流)也增大也增大(或减小或减小)同样同样的倍数。的倍数。当激励只有一个时，则响应与激励成正比

10、。当激励只有一个时，则响应与激励成正比。下 页上 页4. 2 替代定理替代定理 (Substitution Theorem)对于给定的任意一个电路，若某一支路电压为对于给定的任意一个电路，若某一支路电压为uk、电流为电流为ik，那么这条支路就可以用一个电压等于，那么这条支路就可以用一个电压等于uk的独的独立电压源，或者用一个电流等于立电压源，或者用一个电流等于ik的独立电流源，或用的独立电流源，或用一一R=uk/ik的电阻来替代，替代后电路中全部电压和电的电阻来替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原有值流均保持原有值(解答唯一解答唯一)。ik 1.替代定理替代定理支支路路 k ik+uk+u

11、kik+ukR=uk/ik下 页上 页例例求图示电路的支路电压求图示电路的支路电压和电流。和电流。i310 5 5 110V10 i2i1u解解 Ai10 10/)105(5/1101 Aii65/312 Aii45/213 Viu60102 替替代代i310 5 5 110Vi2i160V替代以后有：替代以后有：Ai105/ )60110(1 Ai415/603 替代后各支路电压和电流完全不变。替代后各支路电压和电流完全不变。下 页上 页Aiii6312 注注1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。3.替代后其余支路及参数不能改变。替代

12、后其余支路及参数不能改变。2. 替代后电路必须有唯一解替代后电路必须有唯一解无纯电压源回路；无纯电压源回路；无纯电流源节点无纯电流源节点(含广义节点含广义节点)。1.5A10V5V2 5 2.5A1A 5V+？下 页上 页例例1若要使若要使试求试求Rx。,IIx81 3. 替代定理的应用替代定理的应用0.5 0.5 10V3 1 RxIx+UI0.5 解解用替代定理：用替代定理：=+0.5 0.5 1 +UI0.5 I810.5 0.5 1 +UI0.5 0.5 0.5 1 +U0.5 I81IIIU1 .05 .05 .215 .05 .25 .1 IIU075. 0815 . 25 . 1

13、 xIIUUU2 .0025.0 2 .0 xxIUR下 页上 页例例22V电压源用多大的电电压源用多大的电阻置换而不影响电路阻置换而不影响电路的工作状态。的工作状态。4 4V10 3A2 +2V2 10 解解IVun41 AI1 21/2R应用结点电压法得：应用结点电压法得：Iuuunnn 34121)4110110121( 312Iuunn 2341)4121( Vuunn232 下 页上 页4.3 戴维宁定理和诺顿定理戴维宁定理和诺顿定理 (Thevenin-Norton Theorem) 工程应用中，常常遇到只需研究某一支路的工程应用中，常常遇到只需研究某一支路的电压、电流或功率的问题

14、。另外，电路中还经常电压、电流或功率的问题。另外，电路中还经常包含非线性电路元件。包含非线性电路元件。 对所关心的支路来说，电路的其余部分就成对所关心的支路来说，电路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变换为较简单的含为一个有源二端网络，可等效变换为较简单的含源支路源支路(电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路路)，使分析和计算简化。戴维宁定理和诺顿定理，使分析和计算简化。戴维宁定理和诺顿定理给出了等效含源支路及其计算方法。给出了等效含源支路及其计算方法。下 页上 页1. 戴维宁定理戴维宁定理任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可任何一个线性含源

15、一端口网络，对外电路来说，总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换； 此电压源此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压的电压等于外电路断开时端口处的开路电压uOC，而电阻，而电阻等于一端口的输入电阻（或等效电阻等于一端口的输入电阻（或等效电阻Req）。）。含源含源网络网络abiuiabReqUOCu下 页上 页例例(1) 求开路电压求开路电压UOC(2) 求等效电阻求等效电阻ReqAI5 . 0201020 510/10 eqRVUOC1510105 . 0 1A5 2A+UabI10 10 +20V+ab+10VUab+5 15V+U下 页

16、上 页2. 定理的证明定理的证明+abAi+uN则则替代替代叠加叠加OCuu iRueq iRuuuueqOC abAi+uabA+uA0Reqabi+uiuOC+uNab+ReqA中中独独立立源源置置零零下 页上 页3. 定理的应用定理的应用(1) 开路电压开路电压UOC 的计算的计算a、利用、利用KCL、KVL列方程；列方程； 戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压时的开路电压UOC ，电压源方向与所求开路电压方向，电压源方向与所求开路电压方向一致。计算一致。计算UOC的方法根据电路形式选择前面学过的任的方法根据电路形式选择前面学过

17、的任意方法，使易于计算。意方法，使易于计算。b、利用等效变换方法（分压、分流、电源等效变、利用等效变换方法（分压、分流、电源等效变换法）；换法）；c、利用电路一般分析方法（支路电流法、网孔电流、利用电路一般分析方法（支路电流法、网孔电流法、结点电压法）；法、结点电压法）；d、利用叠加定理和替代定理。、利用叠加定理和替代定理。下 页上 页 等效电阻等效电阻Req为将含源一端口内所有独立电源置零（电为将含源一端口内所有独立电源置零（电压源短路，电流源开路）后，所得到的无源一端口网络的压源短路，电流源开路）后，所得到的无源一端口网络的输入电阻。常用下列方法计算：输入电阻。常用下列方法计算：（2）等效

18、电阻的计算）等效电阻的计算a、当无源一端口内部不含有受控源时可采用电阻串、并、当无源一端口内部不含有受控源时可采用电阻串、并联和联和Y 等效变换的方法计算等效电阻；等效变换的方法计算等效电阻；b、含有受控源时采用外加电源法（加压求流或加流求压）；、含有受控源时采用外加电源法（加压求流或加流求压）；iuReq abAi+uReq下 页上 页方法方法 b 和和 c 更具有一般性更具有一般性SCOCeqiuR c、开路电压，短路电流法。、开路电压，短路电流法。(1) 外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变发生改变时

19、，含源一端口网络的等效电路不变(伏伏安特性等效安特性等效)。(2) 当一端口内部含有受控源时，控制量支路与受控当一端口内部含有受控源时，控制量支路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中。源必须包含在被化简的同一部分电路中。注注iSCUOCab+Req下 页上 页例例1计算计算Rx分别为分别为1.2 、 5.2 时的时的I。IRxab+10V4 6 6 4 解解由于由于Rx 取不同值，要想取不同值，要想得到电流得到电流 I，需两次对方程组，需两次对方程组求解。求解。保留保留Rx 支路，将其余一支路，将其余一端口网络化为戴维宁等效电端口网络化为戴维宁等效电路，然后再计算电流。路，然后再计算电流。

20、下 页上 页ab+10V4 6 6 +U24 +U1IRxIabUOC+RxReq(1) 求开路电压求开路电压UOC(2) 求等效电阻求等效电阻Req(3) Rx =1.2 时时Rx =5.2 时时21 UUuOC 6641046410 V2 8 . 44/66/4 eqRARRUIxeqOC33. 0 ARRUIxeqOC2 . 0 下 页上 页求求U0 。3 3 6 I1+9V+U0ab+6I1例例2解解(1) 求开路电压求开路电压UOC+UOC(2) 求等效电阻求等效电阻Req方法方法1：加压求流：加压求流111936 IIIUOC AI1369 1 VUOC9 3 6 I1+U0ab+

21、6I1I01110936 IIIU 11105 . 163 IIII 6 00IUReq下 页上 页方法方法2：开路电压、短路电流：开路电压、短路电流3 6 I1+9VISCab+6I1I2独立源保留独立源保留VUOC9 93612 II 03611 II 01 IAII ISC5 . 112 AI5 . 12 6SCOCeqIU R3 6 I1+9VIab+6I1I2+u方法方法3：端口伏安特性关系法：端口伏安特性关系法独立源保留独立源保留93612 II uII 1136II I 12I u69 VUOC9 6eq R下 页上 页(3) 利用等效电路求利用等效电路求U0V393630 U计

22、算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计算最简便为好。端口短路法，要具体问题具体分析，以计算最简便为好。端口伏安特性法在分析含有受控源电路时有较大优势。伏安特性法在分析含有受控源电路时有较大优势。9Vab+6 3 U0+下 页上 页求求负载负载RL消耗的功率。消耗的功率。例例3解解(1) 求开路电压求开路电压UOC4010050200501111 IIIIAI1 . 01 VIUOC101001 100 50 +40VabI14I150 +UOCRL+50V5 100 50 +40VabI14I150 1

23、00 50 +40VabI1200I150 +UOC+下 页上 页(2) 求等效电阻求等效电阻Req用开路电压、短路电流法用开路电压、短路电流法50 +40VabISC50 AISC4 . 0100/40 254 . 0/10SCOCeqIUR100 50 +40VabI1200I150 +Uoc+VIUOC101001 ISCabUOC+Req5 25 10V50VILAUIOCL2306052550 WIPLL204552 下 页上 页已知开关已知开关S例例41 A 2A2 V 4V求开关求开关 S 打向打向3，电压，电压 U 等于多少？等于多少？解解VUAiOCSC4 , 2 2eqRV

24、U1141)52( 线性线性含源含源网络网络AV5 U+S1321A4V2 下 页上 页任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，可以任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，可以用一个电流源和电导用一个电流源和电导(电阻电阻)的并联组合来等效置换；电流的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流，而电导源的电流等于该一端口的短路电流，而电导(电阻电阻)等于把等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电导该一端口的全部独立电源置零后的输入电导(电阻电阻)。4. 诺顿定理诺顿定理诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到。诺顿等效电路可采用

25、与戴维宁定理类似的变换得到。诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明。方法证明。AababGeq(Req)ISC下 页上 页例例1求电流求电流I 。12V2 10 +24Vab4 I+(1) 求短路电流求短路电流ISC解解I1 I2(2) 求等效电阻求等效电阻Req(3) 诺顿等效电路诺顿等效电路应用分流公式应用分流公式ISCAI62/121 AI6 . 310/ )1224(2 AIIISC6 . 9)(21 67. 12/10eqRAI83. 2 4 Iab-9.6A1.67 Req2 10 ab下 页上 页例例2求电压求电压U。3 6 +24Vab1A3 +U6 6 6 (1) 求短

26、路电流求短路电流ISC解解本题用诺顿定理求本题用诺顿定理求比较方便。因比较方便。因a、b处的短路电流比开处的短路电流比开路电压容易求。路电压容易求。AISC363366/3242136/624 (2) 求等效电阻求等效电阻Req 466/3/63/6eqR(3) 诺顿等效电路诺顿等效电路VU164)13( ISCab1A4 UIscReq下 页上 页4.4 最大功率传输定理最大功率传输定理 一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的。程意义的。应用戴维应用戴维宁定理宁定理iUOC+u+ReqRLi+u负载负载A下 页上 页2)( LeqOCLRRuRP RL P0P max0)()(2)( 422 LeqLeqLLeqOCLRRRRRRR