第四章动能和势能

1、第四章第四章 动能和势能动能和势能 这一章研究力学中另一个极其重要的问题这一章研究力学中另一个极其重要的问题能量和能量守恒定律。重点研究功能关系能量和能量守恒定律。重点研究功能关系以及动能势能，并将其应用于碰撞问题。以及动能势能，并将其应用于碰撞问题。 请特别注意概念和定律建立过程中的推理请特别注意概念和定律建立过程中的推理逻辑。逻辑。 4.2 力的元功力的元功 用线积分表示功用线积分表示功 4.3 质点与质点系动能定理质点与质点系动能定理 4.4 保守力与非保守力保守力与非保守力 势能势能 4.5 功能原理和机械能守恒功能原理和机械能守恒 4.6 对心碰撞对心碰撞 4.7 非对心碰撞非对心碰

2、撞 4.8 质心参考系的运用质心参考系的运用粒子的对撞粒子的对撞 4.1 能量能量另一个守恒量另一个守恒量 第四章小结第四章小结 1. 能量概念能量概念 4.1 能量能量另一个守恒量另一个守恒量 1)1)运动物体的运动物体的“功效功效” 2)2)科学抽象的过程科学抽象的过程 伽利略的伽利略的“动量动量”莱布尼兹莱布尼兹的的“运动的量运动的量”科里奥利的科里奥利的“活力活力”(1695年年) )托马斯托马斯杨的杨的“能能”（1801年）年） 2.能量守恒能量守恒 在力学中能量守恒（机械能守恒）在力学中能量守恒（机械能守恒）已有雏型，焦耳和迈尔研究了热功当量已有雏型，焦耳和迈尔研究了热功当量和能量

3、守恒，直到和能量守恒，直到1847年，亥姆霍兹研年，亥姆霍兹研究了涉及电磁与热现象的能量守恒，历究了涉及电磁与热现象的能量守恒，历时时160年才建立能量守恒定律。年才建立能量守恒定律。 在量子力学和相对论中能量和能量在量子力学和相对论中能量和能量 守恒都处于关键地位。守恒都处于关键地位。 4.2 力的元功力的元功 用线积分表示功用线积分表示功 1力的元功和功率力的元功和功率 1）元功）元功 cosdAF drFdsAB drF单位：单位：1焦耳焦耳=107尔格尔格 2) 合力的功合力的功 ()()iiAFrFr 3) 3) 功率功率 ANt0limtAdANtdt F drNFdt2利用不同坐

4、标系表示元功利用不同坐标系表示元功 1）平面直角坐标系）平面直角坐标系 xyxydAF iF jdxidy jF dxF dy2) 平面自然坐标平面自然坐标 ndAFF ndsF ds3) 极坐标系极坐标系 rdAF drF rd3.力在有限路径上的功力在有限路径上的功 101limoinrrrinAF drF dr (1)直角坐标系直角坐标系 0101,yyxyxxAF dxF dy直线运动直线运动 10 xxxAF dx(2)自然坐标系自然坐标系 10ssAF ds(3)极坐标系极坐标系 1100( ,)(,)rrrAF drF rd例题例题1 弹簧力的功弹簧力的功 例题例题2 摩擦力的功

5、摩擦力的功1022011122xxAkxdxkxkx 0BLAANdsNNL 4. 3 质点与质点系动能定理质点与质点系动能定理 1.质点的动能定理质点的动能定理 设质量为设质量为 m的质点在合力的质点在合力F的作用下沿某一曲线运动，取的作用下沿某一曲线运动，取自然坐标系，所做的元功自然坐标系，所做的元功 21()2ddAF dsmdsm ddmdt 定义定义 为质点的动能，就得到质点的动能定理：为质点的动能，就得到质点的动能定理：。 212KEm动能定理的积分形式为动能定理的积分形式为 102220111()222Admmm即，质点动能的增量等于作用于即，质点动能的增量等于作用于质点的合力所

6、做的功。质点的合力所做的功。 ，不要混淆动，不要混淆动能和功的概念。能和功的概念。 2质点系内力的功质点系内力的功 二质点间相互作用力所做元功之和二质点间相互作用力所做元功之和 2211()dAF drFdrFdrdrF dr cos( ,)rdAF drFdrF drF dr也可写作也可写作 这说明，二质点间相互作用力所做功的代数和决定于力这说明，二质点间相互作用力所做功的代数和决定于力与质点间相对距离的改变。与质点间相对距离的改变。 3质点系的动能定理质点系的动能定理 设系统内有设系统内有n个质点，作用于各质点合力的功分别为个质点，作用于各质点合力的功分别为A1，A2，A3，An结果使各个

7、质点动能从结果使各个质点动能从 变为变为 ，由质点动能定理，得，由质点动能定理，得 10200,KKKiEEE12,KKKiEEE0111nnniKiKiiiiAEE即，作用于质点系的力所做的功等于该质点系的动能增量。即，作用于质点系的力所做的功等于该质点系的动能增量。 由于内力的功不为零，上式可写为由于内力的功不为零，上式可写为 0kkAAEE外内 这就是质点系的动能定理：这就是质点系的动能定理：质点系动能的增量在数值上质点系动能的增量在数值上等于一切外力和一切内力所做的功的代数和。等于一切外力和一切内力所做的功的代数和。 例题1 求刹车后车和木箱的滑行求刹车后车和木箱的滑行距离距离L和和l

8、。 解 1）用质点动能定理）用质点动能定理21121211102102WWWLMvW Llmv可解出可解出221212MvLMmm gvlLg2）用质点系动能定理）用质点系动能定理21221112102mglMm gLMm vW Llmv （对木箱）（对木箱）（车子加木箱）（车子加木箱）4. 4 保守力与非保守力保守力与非保守力 势能势能 1. 力场力场 若质点所受的力仅与质点位置有关若质点所受的力仅与质点位置有关 ，则称作场力，则称作场力，存在场力的空间称为力场。例如，引力场、电力场、磁力场等。存在场力的空间称为力场。例如，引力场、电力场、磁力场等。 ( )FF r2保守力与非保守力保守力与

9、非保守力 1) 1) 重力做的功重力做的功 ()bahyabhacbAF dymgdymg hh 结论：重力做功只与质点的起始和终了位置有关，而与经结论：重力做功只与质点的起始和终了位置有关，而与经过的路径无关。过的路径无关。 2)2)万有引力做的功万有引力做的功 11()baAGMmrr 结论：当牛顿引力常量结论：当牛顿引力常量G及质点及质点M和和m均给定时，万有引力作均给定时，万有引力作的功只取决于在质点的起始和终了的位置，而与所经过路径无关。的功只取决于在质点的起始和终了的位置，而与所经过路径无关。 3) 3) 静电力做的功静电力做的功 0002000111()44rrq qqqAdrr

10、rr4）弹性力做的功）弹性力做的功 2112221122xxAkxdxkxkx 重力、万有引力、电场力、弹性力作功有以下特点：重力、万有引力、电场力、弹性力作功有以下特点： t t 力所做的功仅依赖于物体（或弹簧）始末位置，而与力所做的功仅依赖于物体（或弹簧）始末位置，而与路径无关，我们把这种力叫做保守力。路径无关，我们把这种力叫做保守力。0lF drt t 保守力沿闭合路径做功，则保守力沿闭合路径做功，则若某力沿闭合路径所做的功为，就叫保守力。若某力沿闭合路径所做的功为，就叫保守力。t t 沿闭合曲径积分，力所做的功与路径有关，称该力为沿闭合曲径积分，力所做的功与路径有关，称该力为非保守力。

11、非保守力。3势能势能 重力的功重力的功 1221()Amgymgymgymgy 引力的功引力的功 ()()baMmMmAGGrr 弹性力弹性力的功的功222111()22Akxkx 静电力静电力的功的功0000011()44qqqqArr 由以上结果可看到：保守力做功，其效果仅与始末位置由以上结果可看到：保守力做功，其效果仅与始末位置坐标变化有关坐标变化有关,而与路径无关而与路径无关,是位置坐标函数。这个与位置坐是位置坐标函数。这个与位置坐标有关的函数就叫势能函数。标有关的函数就叫势能函数。 重力势能重力势能 pEmgy引力势能引力势能 pMmEGr 弹性势能弹性势能 212pEkx静电势能静

12、电势能 0014pqqEr1 1）势能是状态的函数）势能是状态的函数 4. 4. 势能是物体相对位置的函数势能是物体相对位置的函数( , , )ppEEx y z2 2）势能的相对性）势能的相对性 3 3）势能属于系统）势能属于系统 pEA 内保4.5 功能原理和机械能守恒功能原理和机械能守恒 1.质点系的功能原理质点系的功能原理 由质点系动能定理，有由质点系动能定理，有 0KKAAEE外内而而 AAA内内非内保代入前式得代入前式得 0KKAAAEE外内非内保又因一切保守力所做之功的和的负值等于该质点系势能的增量又因一切保守力所做之功的和的负值等于该质点系势能的增量 0 pppEEEA 内保所

13、以所以 00KpKpKpAAEEEEEE 外内非上式就是质点系的功能原理，它表明：上式就是质点系的功能原理，它表明：质点系的机械能（动能质点系的机械能（动能和势能统称为机械能）的增量等于所有外力和内非保守力所做和势能统称为机械能）的增量等于所有外力和内非保守力所做的功的代数和。的功的代数和。 ：t t 只有外力和内非保守力才会引起质点系的机械能的改变。只有外力和内非保守力才会引起质点系的机械能的改变。t t 内保守力做功会引起质点系动能的改变，但不会引起质点系内保守力做功会引起质点系动能的改变，但不会引起质点系机械能的改变。机械能的改变。t t 功能原理和动能定理是一致的，它们的区别仅在于功能

14、原理功能原理和动能定理是一致的，它们的区别仅在于功能原理中引入了势能而无须考虑内保守力的功。中引入了势能而无须考虑内保守力的功。2质点系机械能守恒质点系机械能守恒 当当 ， 时，有时，有 0A 外0A内非kPEE恒量即，当作用于质点系的外力和内非保守力不做功时，质点系即，当作用于质点系的外力和内非保守力不做功时，质点系的总机械能是守恒的，这就是质点系的机械能守恒定律。的总机械能是守恒的，这就是质点系的机械能守恒定律。 机械能守恒定律也可表示为机械能守恒定律也可表示为 KpEE 即，在满足机械能守恒的条件下，质点系的动能和势能是即，在满足机械能守恒的条件下，质点系的动能和势能是可以相互在转换的，

15、且转换的量值是相等，即动能的增加可以相互在转换的，且转换的量值是相等，即动能的增加量等于势能的减少量，这种转换是通过质点系内的保守力量等于势能的减少量，这种转换是通过质点系内的保守力做功来实现。做功来实现。 例题例题1 一轻弹簧与质量为一轻弹簧与质量为m1和和m2的两个物体相连接。的两个物体相连接。问用多大的力向下压问用多大的力向下压m1才能在此力撤消后使弹簧把下面的才能在此力撤消后使弹簧把下面的物体带离地面？物体带离地面？ 解解 对对m2，当，当N=0时与桌面脱离，条件为时与桌面脱离，条件为20fW向向y轴投影，得轴投影，得320kym g对对m1，有，有10fFW向向y轴投影，得轴投影，得

16、210kyFm g由机械能守恒得由机械能守恒得223132121122kym gykym gy联立以上三式可解得联立以上三式可解得12Fmmg4.6 对心碰撞对心碰撞 碰撞是物理学中常见的现象，碰撞的特点是作用的时间很短，碰撞是物理学中常见的现象，碰撞的特点是作用的时间很短，但作用前后状态变化很明显，利用碰撞可以研究微观粒子间的相但作用前后状态变化很明显，利用碰撞可以研究微观粒子间的相互作用和物质结构。互作用和物质结构。 对心碰撞是指碰撞前后两球体的速度矢量都沿着连心线的方向。对心碰撞是指碰撞前后两球体的速度矢量都沿着连心线的方向。 1. 1. 关于对心碰撞的基本公式关于对心碰撞的基本公式 设

17、两球的质量分别为设两球的质量分别为m1 1和和m2 2，碰撞前后的速度分别为，碰撞前后的速度分别为v1010，v2020和和v1 1，v2 2，则由动量守恒定律，有，则由动量守恒定律，有1 1221 10220m vm vm vm v由实验可测定碰撞前后相对速度的比值由实验可测定碰撞前后相对速度的比值 211020vvevv将以上两式联立，可求出将以上两式联立，可求出 21101020121mvvevvmm 12201020121mvvevvmm2. 完全弹性碰撞完全弹性碰撞查德威克发现中子查德威克发现中子 若若e=1e=1，则有，则有 220110vvvv22201110mvvm vv由动量

18、守恒有由动量守恒有两式相乘得两式相乘得 22221 12 21 102 2011112222mvm vmvm v即，碰撞前后质点系的总动能不变，这种碰撞叫即，碰撞前后质点系的总动能不变，这种碰撞叫完全弹性碰撞完全弹性碰撞。 将动量守恒和总动能不变联立得将动量守恒和总动能不变联立得 1221102012122mmmvvvmmmm1212102012122mmmvvvmmmm讨论：讨论： 1）m1=m2，这时可得这时可得v1=v20，v2=v10， 2） 有有 3） 有有 12200mmv且1102,0vvv 12200mmv且110210,2vvvv中子的发现中子的发现完全弹性碰撞的实际应用完全

19、弹性碰撞的实际应用 以以m、mp、和和mN分别表示中子、质子和氮原子质量，设碰撞分别表示中子、质子和氮原子质量，设碰撞前中子速度为前中子速度为v0，质子和氮原子为静止。碰撞后中子速率为，质子和氮原子为静止。碰撞后中子速率为v1和和v2，质子和氮原子的速率为质子和氮原子的速率为vp和和vN。对中子质子系有。对中子质子系有 10ppmvm vmv22210111222ppmvm vmv对中子氮原子质点系有对中子氮原子质点系有 20NNmvm vmv22220111222NNmvm vmv由此可解出由此可解出 0022,pNpNmmvvvvmmmm两式相除并注意两式相除并注意 14ppNpvmmvm

20、m最后得到最后得到 1.16pmm考虑到实验误差为考虑到实验误差为10%，查德威克认为中子质量为查德威克认为中子质量为质子的质子的1.005-1.008倍。倍。 14Npmm例题例题1 中子和其他原子核的碰撞中子和其他原子核的碰撞 p132 1）中子与静止的原子核完全弹性碰撞能量损失的比率）中子与静止的原子核完全弹性碰撞能量损失的比率2221 101 11221 10101mvmvvEEmvv 而而1211012mmvvmm得到得到12122121241mmm mEEmmmm 2）中子与铅、碳、氢原子核碰撞能量损失的比率）中子与铅、碳、氢原子核碰撞能量损失的比率铅铅21206mm1222124

21、4 2060.02206 1m mEEmm碳碳2112mm24 120.2812 1EE氢氢21mm24 111 1EE3完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞 若若e=0，则，则v2=v1，两球碰撞后不分开，以同一速度运动，两球碰撞后不分开，以同一速度运动，叫作叫作完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞。这时动量守恒为。这时动量守恒为 121 10220mmvmvm v式中式中v为碰撞后的共同速度。若为碰撞后的共同速度。若v20=0，有，有 1 1012mvvmm动能损失为动能损失为 222221 10121 1001212111222kkmmEmvmmvmvEmmmm显然，若显然，若m2m1，则动能完全损失；

22、反之，若，则动能完全损失；反之，若m1m2则则动能几乎不损失。动能几乎不损失。 例题例题2 冲击摆冲击摆 p134 解解 1）视木块与子弹为质点系，）视木块与子弹为质点系， 发生完全非弹性碰撞，发生完全非弹性碰撞， 有有xMm vmv2）视木块与子弹为一质点，）视木块与子弹为一质点， 由机械能守恒，有由机械能守恒，有2101 cos02xMm vMm gl解得解得21 cos21 cosMmMvglglmm4非完全弹性碰撞非完全弹性碰撞 碰撞后彼此分开，机械能又有一定损失的碰撞叫作非完全碰撞后彼此分开，机械能又有一定损失的碰撞叫作非完全弹性碰撞。其末速度由（弹性碰撞。其末速度由（4.6.3），

23、），(4.6.4)给出。给出。 4.7 非对心碰撞非对心碰撞 非对心碰撞也叫斜碰，我们只研究运动小球和静止小球非对心碰撞也叫斜碰，我们只研究运动小球和静止小球的二维斜碰。的二维斜碰。 设碰撞时小球连心线沿设碰撞时小球连心线沿y轴，球面光滑，根据动量守恒定律，轴，球面光滑，根据动量守恒定律，有有 1 1221 10 xxxmvm vmv1 12 21 10yyymvm vmv 由于球面光滑，由于球面光滑，v2x=0，又因又因m2最初静止，最初静止，v20y=0，恢复系数恢复系数 2110yyyvvev注意，注意，v10 x= v0cos v10y= v0sin，得到，得到 120112sinym

24、emvvmm1 02121sinye mvvmm10cos ,xvv20,xv讨论几种完全弹性碰撞的特殊情况：讨论几种完全弹性碰撞的特殊情况： 1）m1=m2 10122010cos ,00,sinxyxyyvvvvvvv2）m1m2 , 这时这时m2将始终不动，而将始终不动，而 1010cos ,sinxyvvvv 3 3）m1 1= =m2 2时，有一个很有趣的性质，即不管碰撞后如何运动，时，有一个很有趣的性质，即不管碰撞后如何运动，两个小球运动的两个小球运动的 方向的夹角总成直角。这可由方向的夹角总成直角。这可由1 1）的结果得到，）的结果得到，也可以证明如下：也可以证明如下： 由动量守

25、恒和动能不变，有由动量守恒和动能不变，有 12102221210,111222mvmvmvmvmvmv可解出可解出 2221210vvv即，速度三角形是以即，速度三角形是以v10为弦为弦的直角三角形，也即的直角三角形，也即v1和和v2成直角。成直角。 4.8 质心参考系的运用质心参考系的运用粒子的对撞粒子的对撞 1. 质心参考系中的动能质心参考系中的动能克尼希定理克尼希定理 考虑质点系相对基本参考系的动能考虑质点系相对基本参考系的动能 2221122CiiCkiiCiiEm vvm vvm vv由于由于 22110,22iiiCCm vmvmv得到得到 221122kCiiEmvmv这就是克尼

26、希定理，它表明这就是克尼希定理，它表明质点系相对基本参考系的动能质点系相对基本参考系的动能等于质点系质心动能和诸质点相对质心参考系的动能之和等于质点系质心动能和诸质点相对质心参考系的动能之和。 2. 用质心系研究粒子对撞用质心系研究粒子对撞 用用u表示相对速度，即有表示相对速度，即有 121212CCuvvvvvvvv1211m vvm u或或对于质心参考系又有对于质心参考系又有 12120m vm v可解出可解出 21121212,m um uvvmmmm 代入相对动能代入相对动能 221 1221122kEm vm v可得可得 21,2kEu其中其中1212m mmm为折合质量为折合质量221122kCEmvu于是于是 在用碰撞研究微观结构时，有用的是相对动能，若用在用碰撞研究微观结构时，有用的是相对动能，若用运动粒子打固定靶，在粒子质量相同时，运动粒子动能为运动粒子打固定靶，在粒子质量相同时，运动粒子动能为mv2/2，有效能量为，有效能量为222211122 24muvm