第四节相互独立的随机变量

1、概率统计两事件两事件A, B独立的定义是：独立的定义是：若若P (AB) = P (A) P(B)则称事件则称事件 A, B相互独立相互独立 .第四节第四节 相互独立的随机变量相互独立的随机变量 两随机变量独立概念的引出两随机变量独立概念的引出 问：问： 若若 X, Y 是两个随机变量，若对任意的是两个随机变量，若对任意的x, y,有有)()(),(yYPxXPyYxXP则能否得出则能否得出 X, Y 相互相互独立独立 ？概率统计一一. 随机变量相互独立的定义随机变量相互独立的定义设设 (X,Y) 的的 联合分布函数及边缘分布函数联合分布函数及边缘分布函数为为F(x,y) ).(),(yFxF

2、YX及及若对任意的若对任意的 x, y都有都有:(,)()()P Xx YyP XxP Yy( , )( )( )XYF x yFxFy即即则则 称称 随机变量随机变量 X和和 Y是是相互独立的相互独立的.二二. 当当 (X,Y) 为离散型随机变量为离散型随机变量X和和Y相互独立相互独立)()(),(jijiyYPxXPyYxXP (,)ijxy(,)X Y是是的所有可能的取值的所有可能的取值概率统计例例1. 设设 X,Y 相互独立，它们的分布律分别为相互独立，它们的分布律分别为:10X3132P321Y414241P求求: (X,Y) 的联合分布律的联合分布律.解解:(,)i jijPP X

3、x Yy2123412 ()()ijP XxP Yy01(0,1)PP XY ,X Y相互独立相互独立(0)(1)P XP Y从而：从而：概率统计依次可得依次可得 (X,Y) 的联合分布律为的联合分布律为:XY32112212412201211221211从此例可得出：对离散型随机变量而言，已知联合分布律从此例可得出：对离散型随机变量而言，已知联合分布律可求出其相应的边缘分布律，但反之则不然。而一旦已知可求出其相应的边缘分布律，但反之则不然。而一旦已知 X,Y 相互独立条件后，则可由边缘分布律直接求得其联合相互独立条件后，则可由边缘分布律直接求得其联合分布律。分布律。11(1,1)PP XY(

4、1)(1)P XP Y1113412概率统计 三三. 当当 (X,Y) 为连续型随机变量为连续型随机变量相互独立相互独立和和YX)()(),(yfxfyxfYX 设设 (X,Y) 服从正态分布，其边缘分布密度为：服从正态分布，其边缘分布密度为：例例2.2121()211( ),2xXfxe 2222()221( )2yYfye x y 概率统计问问: X 和和 Y 相互独立的充分必要条件是什么相互独立的充分必要条件是什么?解解:22112212()()2212( )( )11() ()22XYxyfxfyee )()(21212222212121 yxe( )( )( , )XYfxfyf x

5、 y要要 则比较可知其充分必要条件是：则比较可知其充分必要条件是：0 概率统计(1) 联合概率密度及边缘概率密度联合概率密度及边缘概率密度(2) 检验检验 X 和和 Y 是否相互独立是否相互独立(3) (X,Y) 的联合分布函数的联合分布函数(4)2,(dcYbXP 例例3.求求:解解: (1). 设随机变量设随机变量 (X,Y) 在矩形域在矩形域: 内服从均匀分布内服从均匀分布dycbxa ,(X,Y) 服从均匀分布服从均匀分布由题意在由题意在区域内区域内dycbxa ,概率统计1,()()( , )0axb cydba dcf x y 其其它它在矩形在矩形 上上:dycbxa ,( )(

6、, )Xfxf x y dy ( )( , )Yfyf x y dx 所以，其联合概率密度为：所以，其联合概率密度为：1()()dcdyba dcba 1()()badxba dcdc 概率统计在其它域上在其它域上:0)(,0)( yfxfYX1( )0Xaxbfxba 其其它它1( )0Ycydfydc 其其它它(2).11,( )( )0XYaxb cydfxfyba dc 其其它它),(yxf 所以得其边缘概率密度分别为：所以得其边缘概率密度分别为：与与XY和和相互独立相互独立概率统计(3).:时时或或当当cyax ( , )( , )xyF x yf x y dxdy 0 视它为不视它

7、为不可能事件可能事件( , )( , )xyF x yf x y dxdy 1()()xyacdxdyba dc )()(cdabcyax abcd oxyabcd oyxxyo dxdy :时时且且当当dycbxa 概率统计:,时时当当dycbx ( , )( , )xyF x yf x y dxdy 1()()byacdxdyba dc ()()ycdc :,时时当当bxady ( , )( , )xyF x yf x y dxdy 1()()dxcadxdyba dc )()(abax abcd oxyabcd oyx概率统计:,时时当当dybx xydxdyyxfyxF),(),(dx

8、dycdabbadc )(11 0()(),()()( , ),1xaxaycaxb cydba dcycF x yxb cyddcxayd axbbaxbyd 或或ycyc或或abcd xyo故故(X,Y)的联合分的联合分布函数为布函数为概率统计(4).(,)2cdP Xb Y ()()2()()cdbacba dc 甲乙两人约定中午甲乙两人约定中午12时时30分在某地会面。分在某地会面。设甲在时间设甲在时间12:15到到12:45之间到达某地之间到达某地是均匀分布；乙独立地到达，而且到达是均匀分布；乙独立地到达，而且到达时间在时间在12:00到到13:00之间也是均匀分布之间也是均匀分布.

9、 试求：试求：(1) 先到的人等待另一人到达的先到的人等待另一人到达的 时间不超过时间不超过5分钟的概率分钟的概率. (2) 甲先到的概率甲先到的概率( ,)2cdF b 12 例例4.概率统计设设 X：甲到达时刻，甲到达时刻， Y：乙到达时刻：乙到达时刻若以若以12时为起点，以分为单位，依题意：时为起点，以分为单位，依题意：X U ( 15, 45 ), Y U ( 0, 60 )1,1545( )300,Xxfx 其其它它1,060( )600,Yxfy 其其它它1,1545,060( , )18000,xyf x y 其其它它先到的人等待另一人先到的人等待另一人到达的时间不超过到达的时间

10、不超过5分钟分钟的概率的概率甲先到甲先到的概率的概率解解:且有：且有： 所求为所求为 ：P( |X - Y | 5 ) 及及 P( X Y ) 概率统计45515511800 xxdy dx P(| X-Y| 5) 1040 xy01545605xy 5xy =1/6=1/2x1545xy y0106040 P ( X Y )45601511800 xdy dx 解解:= P( -5 X -Y 5 ) 概率统计类似的问题如：类似的问题如： 甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独 立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达

11、是等可 能的能的 . 若甲船需停泊若甲船需停泊1小时，乙船需停泊小时，乙船需停泊 2小时小时 而该码头只能停泊一艘船而该码头只能停泊一艘船 试求：其中一艘船要等待码头空出的概率试求：其中一艘船要等待码头空出的概率.概率统计 在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可能的能的. 若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔小于小于0.5 秒，则信号将产生互相干扰秒，则信号将产生互相干扰. 求：发生两信号互相干扰的概率求：发生两信号互相干扰的概率.把长度为把长度为a 的线段在任意两点折断成为三线段的线段在任意两点折断成为三线

12、段求：它们可以构成三角形的概率求：它们可以构成三角形的概率.长度为长度为a概率统计 四四. 个随机变量相互独立的概念个随机变量相互独立的概念n定义定义1.121212(,)()()()nnXXXnF xxxFxFxFx12,nXXX则称则称是相互独立的。是相互独立的。定义定义2.1212,;,mnxxxyyy若对所有的若对所有的有：有：若对所有的若对所有的有：有：12,nxxx1212112212(,;,)(,)(,)mnmnF xxxyyyF xxxFyyy12,F F F1212(, ,), ( , , , )mnX XXY YY其中其中依次为随机变量依次为随机变量1212(,;,)mnX

13、XXY YY和和的分布函数。则称的分布函数。则称12(, ,)mX XX12( , , , )nY YY和和是相互独立的。是相互独立的。关于关于 的边缘的边缘分布函数分布函数 iX概率统计若连续型随机向量（若连续型随机向量（X1, ,Xn）的概率密度）的概率密度函数函数 f (x1, , xn)可表示为可表示为 n 个函数个函数 g1, ,gn 之积，其中之积，其中gi 只依赖于只依赖于 xi，即，即 f (x1, ,xn) = g1(x1) gn(xn) 则则 X1, , Xn 相互独立，且相互独立，且 Xi 的边缘密度的边缘密度fi ( xi ) 与与 gi ( xi ) 只相差一个常数因子只相差一个常数因子.关于独立性的三个结果：关于独立性的三个结果：定理定理1概率统计 若若 X1, , Xn 相互独立，而：相互独立，而： Y1