高二数学双曲线及其标准方程知识精讲

1、高二数学双曲线及其标准方程知识精讲【自学导引】1双曲线的标准方程形式为或2求双曲线的标准方程就是根据题目条件求出a、b的值，并由焦点所在的坐标轴确定方程形式【思考导学】求双曲线的标准方程的常用方法是待定系数法，常通过列方程、解方程(组)解决【典例剖析】例1若一个动点P(x，y)到两个定点A(1，0)、A(1，0)的距离差的绝对值为定值a，求点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状解：AA2，(1)当a2时，轨迹方程是y0(x1或x1)，轨迹是两条射线(2)当a0时，轨迹是线段AA的垂直平分线x0(3)当0a2时，轨迹方程是1，轨迹是双曲线点评：注意定值的取值范围不同，所得轨迹方程不同例2一炮弹在某处爆

2、炸，在F1(5000，0)处听到爆炸声的时间比在F2(5000，0)处晚秒，已知坐标轴的单位长度为1米，声速为340米/秒，爆炸点应在什么样的曲线上?并求爆炸点所在的曲线方程解：由声速为340米秒可知F1、F2两处与爆炸点的距离差为340×6000(米)，因此爆炸点在以F1、F2为焦点的双曲线上因为爆炸点离F1处比F2处更远，所以爆炸点应在靠近F2处的一支上设爆炸点P的坐标为(x，y)，则PF1PF26000，即2a6000，a3000而c5000，b2500023000240002，PF1PF260000，x0，所求双曲线方程为1(x0)点评：在F1处听到爆炸声比F2处晚秒，相当于

3、爆炸点离F1的距离比F2远6000米，这是解应用题的第一关审题关；根据审题结合数学知识知爆炸点所在的曲线是双曲线，这是解应用题的第二关文化关(用数学文化反映实际问题)借助双曲线的标准方程写出爆炸点的轨迹方程是解决应用题的第三关数学关(用数学知识解决第二关提出的问题)例3在面积为1的PMN中，tanPMN，tanMNP2，建立适当坐标系，求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程解：以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立直角坐标系，设P(x0，y0)，M(c，0)，N(c，0)，(y00，c0)(如图86)则，解得设双曲线方程为将点P()代入，可得a2所求双曲线方程为点评：选择坐标系应使双曲线方

4、程为标准形式，然后采用待定系数法求出方程【随堂训练】1“ab0”是“方程ax2by2c表示双曲线”的( )A必要但不充分条件B充分但不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：若ax2by2c表示双曲线，即1表示双曲线，则0，这就是说“ab0”是必要条件，然而若ab0，c可以等于0，即“ab0”不是充分条件答案：A2方程1表示双曲线，则k( )A(5，10)B(，5)C(10，)D(，5)(10，)解析：方程1表示双曲线，(10k)(5k)0，5k10答案：A3在双曲线中，且双曲线与椭圆4x29y236有公共焦点，则双曲线的方程是( )Ax21By21Cx21Dy21解析：把椭圆的方程

5、写成标准方程1，椭圆的焦点坐标是(±，0)双曲线与椭圆有相同的焦点，双曲线的焦点在x轴上，且c，a2，b2c2a21，双曲线的方程为y21答案：B4过(1，1)点且的双曲线的标准方程为( )Ay21Bx21Cx21D y21或x21解析：当双曲线的焦点在x轴上时，则双曲线的方程为1，点(1，1)在双曲线上，1，a2，b22a21，双曲线的方程为y21，当双曲线的焦点在y轴上时，同样可求得双曲线的方程为x21答案：D5焦点在x轴上，中心在原点且经过点P(2，3)和Q(7，6)的双曲线方程是_解析：依题意可设双曲线方程为：1(a>0，b>0)，即，解得双曲线的方程为1答案：1

6、6P是双曲线x2y216的左支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，则|PF1|PF2|_解析：由x2y216知a4又P在双曲线x2y216的左支上|PF1|PF2|2a8即|PF1|PF2|8答案：8【强化训练】1已知双曲线的焦距为26，则双曲线的标准方程是( )A1B1C1D1或1解析：2c26，c13，a225b213225144双曲线的标准方程为1或1答案：D2F1、F2为双曲线y21的两个焦点，点P在双曲线上，且F1PF290°，则F1PF2的面积是( )A2B4C8D16解析：双曲线y21的两个焦点是F1(0，)、F2(0，)，F1PF290°，PF12PF22F

7、1F22即PF12PF2220 PF1PF2±2，PF122PF2·PF1PF224 得2PF1·PF216，PF1·PF24答案：B3双曲线的焦点在y轴上，且它的一个焦点在直线5x2y200上，两焦点关于原点对称，则此双曲线的方程是( )A1B1C1D1解析：在方程5x2y200中，令x0得：y10，双曲线的一个焦点在直线5x2y200上又在y轴上，且两焦点关于原点对称，c10，a6，b2c2a21003664双曲线的方程为1，即1答案：D4椭圆1与双曲线1有相同焦点，则a的值是_解析：椭圆1与双曲线1有相同的焦点即a224a2，a21，即a±

8、;1答案：a±15已知F1、F2是双曲线1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，那么|PF2|QF2|PQ|的值是_解析：双曲线方程为12a8由双曲线的定义得|PF2|PF1|2a8 |QF2|QF1|2a8 得|PF2|QF2|(|PF1|QF1|)16|PF2|QF2|PQ|16答案：166求与圆A：(x5)2y249和圆B：(x5)2y21都外切的圆的圆心P的轨迹方程解：PAPB716点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的一支设P点的坐标为(x，y)，2a6，c5，b4故点P的轨迹方程是1(x0)7已知曲线C：x2y21及直线l：ykx1(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围

9、；(2)若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值解：(1)由消y，得(1k2)x22kx20由得k的取值范围为(，1)(1，1)(1，)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)得x1x2，x1x2又l过点D(0，1)OABOADOBDx1x2x1x2(x1x2)2(2)2即()2k0或k±8已知双曲线的焦点为F1(c，0)、F2(c，0)，过F2且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点，若OPOQ，PQ，求双曲线的方程解：设此双曲线的方程为1将代入并整理得：(5b23a2)x26a2cx(3a2c25a2b2)0 设P(x1，y1)，Q(x2，y2) OPOQ，1即化简得3c(x1x2)x1x23c20 将、及c2a2b2代入式并整理得3a4a2b23b40即(a23b2)(3a2b2)0但a23b20，b23a2从而c2a由PQ得(x1x2)2(x2c)(x1c)22整理得：(x1x2)2x1x2100 将、式及b23a2，c2a代入式解得a21同时b23a23所以所求双曲线的