线性代数——矩阵

1、矩阵考试内容：矩阵的概念；矩阵的线性运算、矩阵的乘法，方阵的幂，方阵乘积的行列式，矩阵的转置，逆矩阵的概念和性质；矩阵可逆的充要条件，伴随矩阵，初等矩阵、矩阵的秩、矩阵的等价，分块矩阵及其运算。考试要求：理解矩阵的概念，了解单位矩阵数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及他们的性质。掌握矩阵的线性运算、矩阵的乘法转置以及他们的运算规律，了解方阵的幂与乘积的行列式的性质。理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆矩阵。理解初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵秩的概念，掌握用初等变换求矩阵秩的方法。了

2、解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则。一 内容概要1 矩阵的概念注意它和行列式的区别：1）表现形式上的差别；2）表现本质上的差别，一个是数（行列式是数），而矩阵是一个符号；3）一般地当A是一个方阵时候，才有意义，但是；此外当A是长方形矩阵时没有意义。2矩阵的运算及其运算律（1） 矩阵的相等；（2） 矩阵的线性运算：a) 矩阵的和：A+B 注意A和B要是阶数一致的矩阵（或称同型矩阵）；b) 矩阵的数乘（或称数乘矩阵） ；c) 一般地，若有意义，称为矩阵的一个线性运算；3矩阵的转置将矩阵A的行列互换，得到新的矩阵，称为矩阵A的转置。4 矩阵的乘法矩阵乘法的定义：注意指出：在定义中，第一个矩阵的

3、列数等于第二个矩阵的行数，而5关于矩阵运算的运算律要注意的问题：1） 一般地原因是a)AB与BA不一定同时有意义；b)即使AB与BA都有意义，AB与BA的阶数也未必一致；例如；c)即使AB与BA其阶数相同，但AB与BA也未必相同；如果AB=BA，则称A与B是可以交换的。例如2） 矩阵的乘法不满足消去律，即一般地若3） 若3 几种特殊类型的矩阵（1）0矩阵；（2）单位矩阵；（3）对角矩阵；数量矩阵；（4）三角矩阵；上三角、下三角矩阵；（5） 对称矩阵：若；（6） 反对称矩阵：若；关于反对称矩阵常用的结论：1）A的主对角线上的元素全是0；2）若A是奇数阶行列式，则;(7) 正交矩阵：若，则称A是正

4、交矩阵。关于正交矩阵与对称矩阵的关系有：若A是一个实对称矩阵，则存在一个正交矩阵T使得：；（8） 阶梯形矩阵若A满足：0行全在非0行的下方，非0行的第一个非0的数它的下面的数全是0（若有的话）；关于阶梯形矩阵：任意一个矩阵A都可以通过初等变换化为阶梯形矩阵；（9） 分块矩阵；对一个矩阵进行适当的分快，可以带来很多方便，它有很多的应用；（10） 初等矩阵：初等矩阵与矩阵的初等变换关系非常密切，要充分理解它的概念和它的作用。4 分块矩阵当一个矩阵的阶数较高时，对此矩阵进行恰当的分块，更能容易看清其矩阵的规律和问题的结构特点。矩阵分块的原则：在同一行中，其各个块矩阵的行数一致，在同一列中，其块矩阵列

5、数一致；分块矩阵运算的原则：（1） 分块矩阵的加法：若A+B,其对矩阵A,B的分块方法完全一致；（2） 分块矩阵的乘法：若AB，其对第一个矩阵的列的分法同第二个矩阵行的分法完全一致。5初等矩阵、矩阵的初等变换、矩阵的等价（1） 初等矩阵的定义：对单位矩阵进行一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵；用四阶单位矩阵来说明初等矩阵的几种形式。（2） 初等变换初等行变换、初等列变换；（3） 初等变换与初等矩阵之间的关系对矩阵A做一次初等行变换成为B，则B=PA（其中P是与行变换相对应的初等矩阵）举例说明：对于矩阵A作一次初等列变换成为B，则B=AP（其中P是与上述列变换相对应的初等矩阵）。举例说明(4)

6、 矩阵A与B等价如果A能够通过初等变换变为B则称A与B等价，用式子表示就是：是初等矩阵每一个矩阵A都与矩阵等价，其中r是矩阵A的秩，即存在6 关于n阶矩阵的逆矩阵（1）逆矩阵的定义：设A是一个n阶矩阵，若有n阶方阵B使得AB=E或BA=E则称矩阵A是可逆的；（2） n阶方阵A可逆的充要条件1） 用矩阵的方式描述：存在矩阵B使得 AB=E或BA=E(即定义）；2） 用A的行列式;3） 用矩阵的秩来描述：4） 用向量的观点来描述：矩阵A的行向量组（或列向量组）线性无关；5） 用方程组的观点来描述：方程组AX=0仅有0解；6） 用矩阵A的特征值来描述：A的特征值全不0；（3） 逆矩阵的性质1） 若A

7、有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的；2） 若A,B是同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且;3） ;4）（4） 逆矩阵的求法1） 具体的数字矩阵常用的方法是用伴随矩阵的方法；或用初等变换的方法。这是两种最基本的方法，应该熟练，特别是对于三阶矩阵；初等变换求逆矩阵的方法：2） 对于抽象的矩阵A,求此逆矩阵，常用的方法是想办法找到矩阵B使得：AB=E，或BA=E，此时的B就是所求的逆矩阵；3） 如果要判断矩阵A是否可逆，就考虑上述的矩阵可逆的充要条件；（5） 关于伴随矩阵1) 伴随矩阵的定义，强调伴随矩阵中元素的构成规律；2) 伴随矩阵常用的性质 对于任意的方阵A均有此伴随矩阵当对于一般地方阵A，其伴随矩阵的秩为

8、：当。（6） 关于矩阵的秩1） 矩阵秩的定义：在矩阵A中，有一个不等于0的r阶子式，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么r称为矩阵A的秩，称为矩阵A的最高阶非0子式。规定0矩阵的秩是0。2） 矩阵的秩与初等变换的关系：对矩阵A实行初等变换其秩不变3） 矩阵秩的求法 应用上面的结论，求矩阵A的秩其一般方法是4） 有关矩阵秩的重要结论若P、Q分别是可逆矩阵，且下列运算有意义，则若A为矩阵，B为矩阵，且AB=0，则：此外，矩阵的秩常常和向量组的秩联系起来，注意和向量组的秩的关系。二 常见题型题型一：有关矩阵运算律的考察和相关概念的考查例 设A,B,C为n阶方阵，若AB=BA,AC=CA,

9、则ABC等于（a) ACB; (b)CBA; (c)BCA; (d) CAB.例2 已知A,B是n阶矩阵，且证明：由条件易得到：AB+BA=0 (1)对（1）式左乘以一个A，由条件得到：;对（1）式右乘以一个A则得到：；由上面的结果立即可得：AB=BA.故结论成立。例 3 若对任意的从而：A=0或者：因为。在本题中，我们要充分注意条件中AX=0里X的任意性。例4 已知A是对称矩阵，则当A可逆时，是反对称矩阵时，当A是可逆阵时，也是反对称矩阵。这里我们要充分注意对称矩阵、反对称矩阵以及逆矩阵的性质。（具体证明略）。例5 选择已知ABC=E，则必有(1)CBA=E,(2)BCA=E;(3)BAC=

10、E;(4)ACB=E.在考虑矩阵的乘积可交换时，常常利用来进行。题型二 矩阵可逆的计算与证明（1） 对于具体的三阶、四阶的数字矩阵求此逆，初等变换的方法一定要会，用伴随矩阵的方法要基本清楚；（2） 如果给定了抽象的条件，要求，此时注意将条件转化为AB=E，或BA=E,此时的B就是要求的。在处理有关矩阵逆的问题的时候，注意逆矩阵的性质以及前面所讲的矩阵可逆的充要条件。例1 设A、B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知且,求。方法一 将条件转化为（A+2E)C=E或C(A+2E)=E，则此时的。由条件可得：方法二 易知故。从而。例2 已知n阶方阵A,B满足：AB=A+2B,求证明：，由上面的结果立

11、即可得：例3 已知X,Y是两个n维列向量，且证明：设例 A,B是n阶方阵，证明：方法一 再由条件：方法二 利用方程组AX=0仅有0解的充要条件是A可逆来进行；假若非0解，令是其非0解，则可以得到：又因为；这就是说，是方程组这与矩阵可逆相矛盾。题型三 关于伴随矩阵逆矩阵常常与伴随矩阵相联系，此外伴随矩阵也是多年来考察的热点。这类问题多注意伴随矩阵的定义以及与逆矩阵的关系。例1 设矩阵A的伴随矩阵且.解 由，而.，则分块的伴随矩阵为：解 方法1 因为，从而根据此结果，对所给定的四个矩阵直接检验那一个满足与；这里要注意分块矩阵方法2 根据伴随矩阵的性质，求出由条件可得这里充分利用的关系例3 设A为n

12、阶非0的实矩阵，证明：当时，矩阵A可逆。证明：因为方法一 ，这与A是非0的矩阵相矛盾。故矩阵A的行列式，从而矩阵A可逆。方法二 由上面得到，从而A是0矩阵，与条件相矛盾。下同方法一。题型四 有关初等矩阵及其初等变换的问题例1 设A是3阶矩阵，将A的第一列与第2列交换，得到B，再把B的第2列加到第3列得到C，求满足AQ=C的可逆矩阵Q。解 根据条件可得：；易知注意在上面的矩阵Q中，可以按照矩阵的乘法得到；也可以按照矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系来得到。例2 设A为n阶可逆矩阵，交换A的第一行与第二行得到矩阵B，求与的关系。解 设P是交换单位矩阵的第1、2行所得到的初等矩阵，则,从而可得到：在

13、上面注意矩阵。由上面的关系式：的第1、2列，即是矩阵。在这里注意对矩阵A左乘以一个初等矩阵、右乘以一个初等矩阵与矩阵A的初等变换之间的关系。题型五 解矩阵方程将所给的条件转化为矩阵方程：的矩阵A,C一般地都是可逆矩阵。对于矩阵方程，则这里的矩阵；或者先求出。对于其他类型的矩阵方程类似地可以给出求解方法。例1 设矩阵求X。解 根据条件可得：故所给的条件转化为：例2 设矩阵A满足方程：解 由条件可得：，显然A-E可逆，从而X=A+E。例3 设三阶方阵A,B满足关系式：，求B。其中解 由条件可得：，例4 已知解 注意这里A是三阶矩阵，且4,此外有条件将数值代进去具体计算可得：注意：如果直接计算这不是

14、此题的本意，且计算量较大，这里需要充分利用伴随矩阵的性质来进行。题型5 关于矩阵的秩1 具体的数字矩阵求秩，用初等变换进行，对矩阵A实行初等变换使之称为阶梯形矩阵T,由此可求出矩阵A的秩（在初等变换下，矩阵的秩不变）；2 利用矩阵的秩，等于矩阵A的行向量组的秩，等于矩阵A的列向量组的秩等性质。3 注意矩阵秩的有关不等式。例1 设，证明：（1）（2） 若线性相关，则。解 （1） 因为（2） 若从而注意：这里应用性质：例2 已知(1) 当t=6，必有r(P)=1； （2）t=6时，必有r(P)=2；(3) （4）。解 由条件知：,因此可得 易见 当；故当1。例3 设A是。证明 方法一 因为，故方法二 由条件可得：是一个n阶方阵，从而它是可逆的，故必有B=E。例4 设A为矩阵，证明（1） 方程；（2） 方程。证明 只要证明其中之一即可，为此证明第一个问题。充分性：因为r(A)=m，故存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q使得：令。必要性：由条件可得，故可得。例5 设A为，若AB=E,则：（1）r(A)=m,r(B)=m; （2）r(A)=n,r(B)=m（3）r(A)=m,r