2020高考数学冲刺大题专题训练汇总

1、2020高考冲刺大题专题训练汇总高三冲刺解析大题专题题型训练（一）一、中点弦问题典型例遇：证明在椭圆 餐+1=1（">方）0）中，若龙中点为时，O为坐标原点.证明：设月（小乂）、B（牛耳），则中点必立士工，巫正），于是有斗+ 4 = 1, 1 1* *22/ 方4 yi 1次 a t；f y?-y 小 刖（e ->Xv. + b2 ?r+T = i +相 温：得 7 r+ 7 ? =0 ，即 上 1乙一=r，而a ba b（x -.vn+M） 口k 一二为 k J+多优入？”,k 一匕Kb _* *（7M ，八人-> ,X2 - XjX + x2lCY1*T&quo

2、t; 廿-这他,把点4a,M）、3（3,）代人方杜号+鼻=1,=十二二i,然后相减得 cr "） b2222»二人+ "二"=口 *这个变形过程形速的称为，代点相减”.仃的书中称为“点差法”，iC 力二、对称问题时称间题的处理方法：点产（占,必）、0，,为）关如11线八41+” +。= 0对称,尸。的中点M在/上则列方程招/ J，二或独立返用“25勺中点M在/上"厂号=-.注意,代理出=-1这里的一般直线指八种特殊直线以外的直线，关于八种特殊直践的对称用函数对称定理处理,T典型例题：已知椭圆土+匕=1,试确定旧的范围，使椭圆上存在小同的两点看、

3、R美43J白：线v = 4.v + m对卷:,解：山题意，设44:x + 4p + 6 = 0,且设力（西,弘）、8（占,匕），则1、3的中点坐标x + 4y + b = 0为M(）,联立J/2得 13/ +班+ -48 = 0,一+ = 143则由A0得一2析/）2而；又X +居=一笠，），+）,= 一丝；点a«-9,-迎） ,-13-131313在白线y = 4x +，上，得出=£（三.线段比问题线段比问题的条件般为：过定点。（汽,打）的亢戌"N交二次曲线于、N,且诉二7两或幺.如图:.%一拓=/（七 一4） 玉+七=?.V/2 =?解决这类问题，先设例（凡,

4、凹）、N（z，朽），一般有两种处理方法：一是用常规处理方（Ax Bv + C = 0法，联立方科组.八，用电向小求，韦达代换，列方程组l/Uy）=0盟一乂 =（v2-y0）或,乂+%=?再消元|帅2 = ?二是用“代点”处理方法,直接列方程组/一玉=A(x2-x0)再消元/(Xp v,) = 0/。2，%)=。典型例题L C刻厂是抛物线/二心的焦点，MN是焦点弦，谀MF=2FN ,当 5八日出，/时，求力的取值范围.解法L (常规方法)设M(X，m)、N(x29y2),若MN_Lx轴，S朴 =2,这时4 = 1.y = k(x-l)若MV小垂直Jr轴，则设MV:y = A(x-l),联立方程纠

5、 4，得y. =4x k一乂 二力24烟2一4)，-44=0,当4 = 0时，S*”、小存在；当AwO时，由遮意有，+.匕=%,)'必=-4消元得，=。？；故 Sacmn = gJi + gJ+ie'L =71+-,k 4a2 k X k sk-+1 VAK H/t因为S-gV2,V5,所以 C +忑&亚，解得求2的取值范国为3-752<<3 +后21-玉=/-1)解法2.(代点法)设区，必)、阳超上)，则(-乂=也才2 /，不妨设M当，M = 4只=44消元得匕=号,乂=20；故阴色W=C+'，其他同上注意：任意线段比还可以转化为坐标轴上凶线段比，

6、如直线/F交1轴、V轴于町“ N的比例转化式为幽='；已=+1MB y: M| 三线交双曲战于两点以不）,坑工，心）蚂_旦旦阿 | ffl yj具中川修,凶h刷小»j/如过分热点广；的ti.交双曲线行准战于。，则比例转化式为典空例客2.设过点/（4,0）的自线/渊阅巨+匕=1相交于M、*两点1点财在 434N两点之间）.F是椭圆侏点，若FAA/EM的面积相等，试求汽线/的方程.解：易知直线的斜率存在，设/的方程为 = *" 4）,N（不，必），联在y - k（x - 4）方程组/泊去y整理，得（3 + 4F）/- 32公工+ 64工- 12 = 0,由A0,得-I

7、= 143一（ A 彳；又得x +2 =j必为'.二小由义泌=S.M = 14Ml=1MM Z 1j + 4ftj + 4k彳麦7又汽巧+以二jL-14k36A2,M_y, t3 + 4F 一一 3 + 4K,由5%iw - §吊忏汽->%=23=.匕=2乂，故列方程组4/十八=三乂，消工修、y, .得k = 土好.所以直线，的方- - 3 + 4二-八636k2科 V% =r3 + 4KJ7和为 v - ±（X - 4） < 6高三冲刺解析大题专题题型训练（二）四、垂直与等腰问题曲线上两点M、曲与另外 点发形成直角三角形、等腰三角形等有关的问题,常用转

8、 化思想来处理.一股来说，若/A/PN = 90'（即以MN为宜径的帙I过点P）,则常转化为 由而=0或kw卜叩=一1 若PM = PN, MN N点为G ,则常转化为G_LA",然 后再转化为所而 =0或MKx-l.g型例题；双曲线/一 = 1，（1）是否存在斜率为2的直线交曲线于两点A，、N , 3旦以.HN为内径的圆过原点。.（2）是否存在斜率为2的比线交曲线两点M、N ,且涉 fl AM = AN t 足中射（0,2）.3x?-】户=3解：设存在H线y = 2x + 6满足翘意，河（凡,%）、Na,也），联立，得y = 2xbX、+4示 + 力、+3 = 0 ,则八=

9、12必一 12>（） = />'1 ,斗 +工？ =Tb , xx7 =8、+3 ,+为二-6%，yy2 =12-3/）2.（1）由题意OM_LON,则中二+凡1，2=0.解得炉=J，4/>1不矛盾，故存在直线y = 2.r士亭.（2） MN的中点G（-2人,一3。），由题意,4G_LMN,则K次皿=一】，解得力=一1，这与/>1矛盾,故不存在这样的仃线.五、平行与共线问题证明百线平行（向最共线），一般先证明有线的斜率相等.22 .2典型例题L已知椭圆工+斗一二1的弦尸B过其中心O,点才是椭圆的九顶点,满足 44P4PB = 0.PC PD|所卜2|卜若椭恻卜.

10、存在异于4、8两点C、O ,使万i （3 + 空）=0 .PCPD间7万、丽是否共线.解：设4/,），由题意,4（2,0） J而卜2 j所卜2痂 .由 而卜21力 得Pd| = |P1|,1 ，一 '-H fj故加二1：由P4PB;U得H4PO=U,故-=-1,则二±1：所以户点坐标为m m - 2（I，士 1）.由5（段 + 段）=0得：次垂直于NC"）的角平分线，则心.=-4所；PC PD不妨取P（IJ）,设则直线PC方程为直线P。方程为联立方程组，y- =(.r-l) x2+3r =4，易得C（3 公+61 -35-2： + 13 代+ 1 ' -3公

11、+1 -）：同y- =-k（x-）3k2 -6k- -3A2 +2A + 1理，联0方程组一，,易得0（, 一, ：）；贝L r£的斜x2 + 3/=43 炉+13必+1率&e=l： rllP（Ll）得8（7,7）,则直线力的斜率右8='；故41=公/）,即4用|。,亦即方、而共线.典型例跑2.已知"、N分别是椭圆+ F=i的相邻顶点,是否存在经过点,4（0,后）斜率为左的巨线与椭圆右两个不同的交点P和。，且使得向量而+而与加共线？如果 存在，求出攵的值：如果不存在，请说明理由.典型例题匕已知内分别是柚园= 1的相邻顶点.也否存在经过点力（0,无）斜率为上的

12、宜线与椭圆有两个不同的交点?利？，且使得向量。尸十。与wy共线？如果 存在，求出出的值：如果不存在，请说明理由.二 h+於X 7.+ y 1I 2 1匕或k叵,II4亚 k 141k1+2专上“1 + 2后”:解,假设存在，设尸（演/1）,。（/.刈），克线P。方程为y二依十.联立方程组1得+2*联工 + = 0 ,则 A 二 4r - 2 > 0 叩 A <yJy %十干下定'"必=71 则OP + CQ =（M+/，M+乃）=（ I r JfC根据椭圆的对称性，不妨设班（应，0）、N（0,土 1）,所以砺 二（-0,土 1）；由丽+丽根据械圆的对称性，不妨设。

13、），MU.±1）,所以何一（72±1）；由Qp + O0一4 而r- 272417241与M?V共线，得土二f 二一灰J.解得4二±二一：这与或上?_矛后,1 + 2 t1 + 2K222所以不存在这杆的门:线使得向曷方+而与前八线， 高三冲刺解析大题专题题型训练（三）六、最值问题般来说解决最值问题,要用函数思想.化为求困数的最值M逝主要是化为一次函数.，+ 1形式的函数，如枭设券数0就化为三市函数. i典型例题:椭圆三+ /=1,若、N是杯圆L两点且/MON = g 求的最大值与最小值.解：先求最人值，设H卬乂）、%MV的斜率不存在即WY L,轴时，得&

14、X史N1 + 3公 1+3小3哈黑十小+4<2,即最大值为2.9A、6 + 4v = kx + b当初；的斜率存在时，设MN:叩h + b,联立， 得x2+3v2=34/A(1+3/)/ + 6a及 +3b23 = 0；则%+占=, XX, =-4；由 ZMON = C 得 1- 1+3K1 1+3*2玉玉+乂)'2=。.则)2=3公+3；所以因M =(-冉求最小值，设 M(/; cos，,4 sin 0)、N(-4 sin O.r2 cos。)或 N(r2 sin 一一4 cos0),其中 |CW| = r、ON = g，则 Y(C0S 4-sin2 例=1,- + cos2

15、6/) = 1,从曲!+，= 3 ：33,，、31122乂 "： + )(-+,)=2 +与+与2 4 ,则lAWf = Y +片2 3即最小伯为.此题有若干变形，在求判别式、弦长时也可以直接川结论(模型).比如：已知直线 )，=仙+ 与椭圆：+ /=1交于力、B两点,若坐标原点0到直线y = & + 7的距离为 当求S”前的最大值.解：由原点O到百线y = h + m的距离为 W，得=字，即加2=：（1 +公）V = Aa+ ni,，由直线交椭圆于网点的模型直接存x2+3/ =3 = 12（1+3 公一/）= 27*+3 , 仍=41+ 公= + 公力74：3 :所以1+3

16、 公1+3-/至 J |(1 + -1) =3 愣4+1伙2+12 I 42 1 1 2 4 V 。+3y)4、%4+6A=+1 4 9k 6+12当且仅当£ = 土无即直线为P = 土且X+1时J。也的最大值为巫.33皿历2七、求参数的取值范围问题一曲线中的参数很多,简单的如a、b、c、p、e、k、机等，复杂的可以以各种 形式出现.求参数的取值范围,需要要列不等式（组）,而列不等式（组）则借助于题目给出 的不等式或者椭圆中陷含的不弱式.22典型例题：过椭圆C:上+匕=1的右焦点且斜率为左的宜线与椭圆交两点”、N, 43求MN的中垂线与k轴的交点的横坐标1的取值范围. 解：粒M区,乂

17、）、%（七,%），直线MN方程为y = A（x-l）,联立方程组y = kx-k, ）,8公< ,，消去p得（3 + 4公）/-8内+ 4严 12 = 0,则玉+=r -3x2+4y2 =122 3 + 4公-644k23k乂+n=则M?V的中点为（入J）,所以MV的中垂线方程为3 + 4JL3 + 4匕 3 + 4K3k I, 4公k1 "3、 “、1”3 、八3 + 4t2 k 3 + 4A-3 + 4K 43 + 4 公43 + 4 公k屋0.+R）为增函数，则公=o时4皿=0，公趋近于收时，的最大值趋近于上，所以“KJ取位范围为f w0q）.八、过圆锥曲线上已知点的两条

18、直线问题典型例眄：已知掰）是椭圆C: +匕=1上定点，过点H的两条弦/尸、50的斜 24 m率互为相反数，求直线P0的斜率.2解由SS意/圆为土 +42二】；设应F的斜率为*.则40的斜率为一 A ;把点X看成*壬小），再设尸（毛/J、0（，,外八 联立方程组，AP:y = Z(.r -1)x2 y2C ; + - = 143，消元得高三冲刺解析大题专题题型训练（四）九、能成立（存在性）与恒成立问题L能成立（存在性）问题x2 V2b典型例题:已知.4 . Z?是次曲线七 = 1g, b > 0）上两点.! I. kOA " &招=-；心犷 n, a而二以少后,问是否存在

19、不同时为零的大、便点。在双曲线的渐近线上，并证 叨你的结论.解:假设存在不同时为零的a.汹，使点0在双曲线的潮近线上.设力（,乂）、3（马，刈）由00 = 方+37月得。（4%+加5/1必+/必），而点。在双曲线渐近线 匕 由双曲线的对称性，不妨改点。在乎二2工上.可得儿”+/八=2"司+*,），两边平方，变形得 aa-萍)=0 a(H：M v2 X2 V2由题意，点、8(工),),)在双曲线上，则T" = l, V= 1 ； 乂由 cT bb'k4%上得必=% 即吗2.=百孕；代入(1)式得几2+2=°即九= 4 = °，这与 a xx2 a

20、b a'题设矛盾，故不存在不同时为零的2、，使点。在双W线的渐近线上.2 ,恒成立问题典型例题；已知£、尼是椭圆。'；£ +5=1(。>%>0)的左、右焦点，力为右顶点，设双曲线M以椭圆C的焦点为顶点、顶点为焦点，8是双曲线在第一象限上任意一点，当 椭成I离心率c = 1时，/8/片=2/8片力恒成立，求正常数见的伯.2V解：设4(gO),当-=一时易知椭网C':r +J = l,且4(2u0),再出题意得双 24。- 3c.曲线SV?"设""畛噬=】叱=3(%一出为直线斜率3占存在时，作则M(.0)：若NA

21、4”为锐角，则当直线斜率人佑存在时，作4"，则河（马,0）；若NA4”为锐角，则皿盟二制二*八初/3”二盟"含加tan2NW/二；：?M/2%-%+c = 2。（%+。） =2稣（+。）= %（% 2 （x0 + c） -4（/ + c）*- 3（玉;- c） 2c-x0毛+c7则 tan"4 6=5所以 tan2ZBF.A = tanZBAF,而 2NBRA 与 /8伍 在区间（0,：）内，故 2/BFA = NBAR；当/也!£为钝角时，同理可得2/3片力=N84£ ；当A仍不存在时，tailBF,A =-,得2NB/" = NB

22、4Fi；综上可知，A = 2.143.也成立与能成立综合问题典型例题：已知双曲线.d-9 二 l,若在线/过后焦点6且双曲线右支交了7、。两点,设点M（也0）,证明存在实数加，使得且线/绕点5无论怎样转动，都行丽无0 = 0 成立.解：当宜线/的斜率存在时，设其方程为y = A（x 2）,设Pg5）、。区/2），联上得（M-4k ?克+4必 +3= 0,A>0解得公3,.,1所以MP，MQ = （xt -m）（x2 =卜？ +，）_十加2 = 0,七一 一3(fl题意，得3(】一"H席-4l5) = 0豺任意的尸 3恒成立，所以、,切4川-5 = 0解之得加=-1,当苴线/的斜

23、率不存在时，得P(2,3)、QQ3),由痔跑=0,得浏=一L 综上可知，存在小=-1,使得直拨/绕点月无论怎样转动，都Tf赤,丽=0.高三冲刺解析大题专题题型训练(五)十、定值问题定值间跑包方曲线过定点、然傥工度或用度或面枳为定值、比值为定值弟.般情况卜，可以由特殊他探求定点坐标、定值，这样可找出解题的您路方向.典型例迎1.过点月(0,1)作相互垂直的两直线AB、AC分别交椭圆=十/ = I 4、C4两点，求证直线AC过定点，解法h由题意出线用。的制率存在设有线8a =履+所，疚即乂)，C(x2ty2).v-kx + m. _-8fon联立方程幽1、 ，消去y得(1+4K+86以T+4口一4二

24、仆，则» + 丁、=，F +41r =4'_ 1 + 4fr'联立方程组y = kx + m x? +4v? =4,消去y 得（l + 4-）f +8bM+4/ -4 = 0,则$+& =-Skm1 + 4A2；由 A8J./C存3/1二一1,Z1O /IV4"J42 mnj2 -4k1与"直而弘+J'小由m=不而-= -1 .得a + yxy2 -。'| + /）+1 =。，即 Snr - 2m-3 = 0,解之得m =-33或7 = 1 （舍去）.所以有线8c方程为y = h-巳，它过定点（0,-2）.5J»y

25、 =依 +1x2 + 4v2 =4一般 1-4/t2,解得8（,2二）：同理，联立方程组J1 + 4K 1 + 4/解法2：设直线A 8的方程为j，=4+ 1 ,则直线AC的方程为y = -x + l.联立方程组 kx2 + 4/ = 4跟 K 4k1 -133C（3r,t）：由两点式得宜线BC的方程为），=一,1一二，它过定点（0,-2）.4 + 上 4 + /5k 55典型例题2.抛物线/= 8,的焦点为/，抛物线上有动点4,过M声作抛物线的切线交y釉于N,若百7 =初+而，证明点A/d 定直线上.证明：设/区），则过力点的切线斜率k=/=土，所以过,4点的切线方程为 4,一乂 =.（尢一

26、内），即y=；再工一乂，则即（0,-乂）：设A/（x,y）,而F（0,2）,则FM = （x.y-2）, 苏二区,%一2）, 丽=（0,一弘-2）,因为两二豆+丽，所以,即A”4一2）,所以用点在定直线y =-2上.典型例题3.知0。：/+/ =1及。 ：。-4尸十（y一2-=9,点尸是OA1上动点,PT是。的切纹，问平面上是否存仁这伴的点。.使圜为定值，存在则求点。的坐标,不存在则说明理山.解：假设存在点。(a.b),使#为定值.设P(4 + 3cosa,2十3sina), I/则归"=j28+24cosa+12sina ； PQ) =加 +从一仍一的+29+(24-6a)«Ka+(12-66)sina ；要使也为定值,则一炉一 j + 29 =史也.3恒成立,解之得匕2 PQ282412b = 用为定值应或个2或;，即存在这样的点0(2,1)或(二二)，使b=-5 55典型例题4.分别过椭国3+5=1的左右供点斗、区的动直线八相交于尸点,与椭恻分别交于4、B yc、。不同四点，直线04、OB、OC ,的斜率片、&、k、 &满足4 +4 =自+上,是否存在定点M、N，使得归M + |尸N|为定值.若存在,求出M、N点坐标；若不存在，说明理由.解：当直线4斜率存在时分别设为七、对于n找小 改/“口幽），出毛,必）.fy = A（x+l）6F