拼图与勾股定理

1、说课教师：南宁第二十六中学说课教师：南宁第二十六中学 沈惠娟沈惠娟教教 材：材：北师大出版社新世纪版数学北师大出版社新世纪版数学( (八年级上册八年级上册) )一、教材分析一、教材分析二、教法选择二、教法选择三、学法指导三、学法指导四、课程设计四、课程设计五、相关说明五、相关说明一、教材分析一、教材分析1 1、教材的地位和作用、教材的地位和作用 勾股定理有着悠久的历史，是人类勾股定理有着悠久的历史，是人类最伟大的数学发现之一。最伟大的数学发现之一。但由于但由于教材的编写遵循了简约性原则，教材的编写遵循了简约性原则，在在学习勾股定理知识的学习勾股定理知识的过程中，过程中，没能更深入地介绍它产生、

2、发展的历史背景、多样的没能更深入地介绍它产生、发展的历史背景、多样的验证方法，以及在人类文化发展史上的贡献。验证方法，以及在人类文化发展史上的贡献。 因此，在因此，在学生完成了学生完成了勾股定理勾股定理这章的学习之后，设置这章的学习之后，设置了了拼图与勾股定理拼图与勾股定理的课题学习，它属于的课题学习，它属于数学课程标准数学课程标准中所规定的中所规定的“实践与综合应用实践与综合应用”领域的内容，是对课本知识进领域的内容，是对课本知识进一步的延伸和拓展一步的延伸和拓展，让学生更全面的认识勾股定理，了解拼图，让学生更全面的认识勾股定理，了解拼图与定理证明之间的内在联系，通过经历综合应用知识解决问题

3、与定理证明之间的内在联系，通过经历综合应用知识解决问题的过程，领会其中的数学思想方法，以开拓学生视野，激发他的过程，领会其中的数学思想方法，以开拓学生视野，激发他们的创新意识和学习数学的兴趣。们的创新意识和学习数学的兴趣。一、教材分析一、教材分析2 2、教学目标、教学目标 通过对几种常见的勾股定理验证方法，进行分析和欣赏。通过对几种常见的勾股定理验证方法，进行分析和欣赏。理解数理解数 学知识之间的内在联系，体会数形结合的思想方法，学知识之间的内在联系，体会数形结合的思想方法，进一步感悟勾股定理的文化价值。进一步感悟勾股定理的文化价值。 通过拼图活动，尝试验证勾股定理，培养学生的动手实通过拼图活

4、动，尝试验证勾股定理，培养学生的动手实践和创新能力。践和创新能力。 让学生经历查询资料、自主探究、合作交流、观察比较、让学生经历查询资料、自主探究、合作交流、观察比较、计算推理、动手操作等过程，获得一些研究问题的方法，取得计算推理、动手操作等过程，获得一些研究问题的方法，取得成功和克服困难的经验，培养学生良好的思维品质，增进他们成功和克服困难的经验，培养学生良好的思维品质，增进他们数学学习的信心。数学学习的信心。 3 3、教学重点和难点、教学重点和难点难点：难点：重点：重点： 分析和欣赏几种常见的验证勾股定理的方法。分析和欣赏几种常见的验证勾股定理的方法。 尝试利用尝试利用“五巧板五巧板”拼图

5、，验证勾股定理。拼图，验证勾股定理。 “数形结合数形结合”思想方法的理解和应用。思想方法的理解和应用。 通过拼图，探求验证勾股定理的新方法。通过拼图，探求验证勾股定理的新方法。二、教法选择二、教法选择“操作思考操作思考”的方式符合八年级学生认知水平，适的方式符合八年级学生认知水平，适应其思维发展规律及心理特征。应其思维发展规律及心理特征。在学法上，充分发挥学生在教学中的主体作用，在学法上，充分发挥学生在教学中的主体作用，采取让学生动手实践，合作探究的方式进行学习。采取让学生动手实践，合作探究的方式进行学习。三、学法指导三、学法指导在学法上，充分发挥学生在教学中的主体作用，采在学法上，充分发挥学

6、生在教学中的主体作用，采取让学生通过动手实践，合作探究的方式进行学习。取让学生通过动手实践，合作探究的方式进行学习。“操作思考操作思考”的方式符合八年级学生认知水平，适的方式符合八年级学生认知水平，适应其思维发展规律及心理特征。应其思维发展规律及心理特征。四、课程设计四、课程设计验验证证方方法法的的收收集集与与整整理理探探究究成成果果的的交交流流与与展展示示小小结结反反思，思，课课题题拓拓展展文文化化价价值值的的了了解解与与探探讨讨尝尝试试拼拼图，图，验验证证定定理理验验证证过过程程的的分分析析与与欣欣赏赏1 1课前自主探究活动课前自主探究活动勾股定理证明方法汇总勾股定理证明方法汇总 1 1课

7、前自主探究活动课前自主探究活动方法种类及历史背景方法种类及历史背景验证定理的具体过程验证定理的具体过程知识运用及思想方法知识运用及思想方法探究报告具体的做法是：具体的做法是： 请各个学习小组从网络或书籍上，尽可能多的请各个学习小组从网络或书籍上，尽可能多的寻找和了解验证勾股定理的方法。寻找和了解验证勾股定理的方法。 2 2 探探 究究 成成 果果 的的 交交 流流 与与 展展 示示三国时期吴国数学家赵爽在为三国时期吴国数学家赵爽在为周髀算经周髀算经作注解时，创制了一幅作注解时，创制了一幅“勾股圆方图勾股圆方图”，也称为，也称为“弦图弦图”，这是我国对勾股定理最早的证，这是我国对勾股定理最早的证

8、明。明。 2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的是经过艺术处理的“弦图弦图”，标志着中国古代数学成就。，标志着中国古代数学成就。 方法一方法一约公元约公元 263 年，三国时代魏国的年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍数学家刘徽为古籍九章算术九章算术作作注释时，用注释时，用“出入相补法出入相补法”证明了证明了勾股定理。勾股定理。 方法二方法二希腊数学家欧几里得（希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前，公元前330公元前公元前275）在巨著在巨著几何原本几何原本给出一个公理化的证明。给出一个公理化的证明。

9、1955年希腊为了纪念二千五百年前古希腊在勾股定理上的贡献，发年希腊为了纪念二千五百年前古希腊在勾股定理上的贡献，发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。 方法三方法三其它方法其它方法aabbcc 美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为“总统证法总统证法”。 如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式得：公式，列出代数关系式得：221212)(21cababba化简为：化简为：222cba意大利著名画家达意大利著名画家达芬奇的证法：芬奇的证法： 在印

10、度、在阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明。在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明。 做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直角做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直角边的正方形分成边的正方形分成 4 分。之后依照图七中的颜色，将两分。之后依照图七中的颜色，将两个直角边的正方形填入斜边正方形之中，便可完成定个直角边的正方形填入斜边正方形之中，便可完成定理的证明理的证明 据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。 将将4个全等的直角三角形拼成边长为个全等的直角三角形拼成边长为(ab)的正的正方形方形ABCD，使中间留下边长，使中间留下边长c

11、的一个正方形洞画的一个正方形洞画出正方形出正方形ABCD移动三角形至图移动三角形至图2所示的位置中，所示的位置中，于是留下了边长分别为于是留下了边长分别为a与与b的两个正方形洞则图的两个正方形洞则图1和图和图2中的白色部分面积必定相等，所以中的白色部分面积必定相等，所以c2=a2+b2图图1图图23 3验证过程的分析与欣赏验证过程的分析与欣赏 问题思考问题思考 这些验证方法，有什么共同点和这些验证方法，有什么共同点和不同点？不同点？ cb a22)(214ababc22222aabbabc222bac由面积计算得由面积计算得 展开得展开得化简得化简得三种类型：三种类型：用几何图形的截、割、拼、

12、补，来证明代数式之间的恒用几何图形的截、割、拼、补，来证明代数式之间的恒等关系。体现了等关系。体现了以形证数、形数统一、代数和几何的紧以形证数、形数统一、代数和几何的紧密结合密结合 。第一种类型：第一种类型：以赵爽的以赵爽的“弦图弦图”为代表为代表aabbcc美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为“总统证法总统证法”。 如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式得：公式，列出代数关系式得：221212)(21cababba化简为：化简为：222cba意大利著名画家达意大利著名画家达芬奇的证法

13、：芬奇的证法： 据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。 将将4个全等的直角三角形拼成边长为个全等的直角三角形拼成边长为(ab)的正方形的正方形ABCD，使中间留下边长，使中间留下边长c的一个正方的一个正方形洞画出正方形形洞画出正方形ABCD移动三角形至图移动三角形至图2所所示的位置中，于是留下了边长分别为示的位置中，于是留下了边长分别为a与与b的两的两个正方形洞则图个正方形洞则图1和图和图2中的白色部分面积必中的白色部分面积必定相等，所以定相等，所以c2=a2+b2图图1图图2第二种类型：第二种类型：以刘徽的以刘徽的“青朱出入图青朱出入图”

14、为代表，证明为代表，证明不需用不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为称为“无字证明无字证明”。 在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明。在印度、在阿拉伯世界和欧洲出现的一种拼图证明。 做法是将一条垂直线和一条水平线，将较做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直角边的正方形分成大直角边的正方形分成 4 分。之后依照图中的分。之后依照图中的颜色，将两个直角边的正方形填入斜边正方形颜色，将两个直角边的正方形填入斜边正

15、方形之中，便可完成定理的证明。之中，便可完成定理的证明。第三种类型：第三种类型：以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几以欧几里得的证明方法为代表，运用欧氏几何的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义。何的基本定理进行证明，反映了勾股定理的几何意义。如图，过如图，过 A A 点画一直线点画一直线 ALAL 使其垂直于使其垂直于 DEDE， 并交并交 DEDE 于于 L L，交，交 BCBC 于于 M M。通过证明。通过证明BCFBCFBDABDA，利用三角形面，利用三角形面积与长方形面积的关系，得到积与长方形面积的关系，得到正方形正方形ABFGABFG与矩形与矩形BDLMBDLM等积，等积，

16、同理正方形同理正方形ACKHACKH与与 矩形矩形MLECMLEC也等积，于是推得也等积，于是推得222BCACAB 以上的证明方法都从几何图形的面积变化入手，以上的证明方法都从几何图形的面积变化入手，运用了数形结合的思想方法，其中第一、二种类运用了数形结合的思想方法，其中第一、二种类型还与拼图有着密切的关系型还与拼图有着密切的关系。 4.勾股定理的文化价值勾股定理的文化价值(1) (1) 勾股定理是联系数学中数与形的第一定理。勾股定理是联系数学中数与形的第一定理。(2) (2) 勾股定理反映了自然界基本规律勾股定理反映了自然界基本规律, ,有文明的宇宙有文明的宇宙“人人”都都应该认识它，因而

17、勾股定理图被建议作为与应该认识它，因而勾股定理图被建议作为与“外星人外星人”联系的联系的信号。信号。(3)(3)勾股定理导致不可通约量的发现，引发第一次数学危机。勾股定理导致不可通约量的发现，引发第一次数学危机。(4)(4)勾股定理公式是第一个不定方程，为不定方程的解题程序树立勾股定理公式是第一个不定方程，为不定方程的解题程序树立了一个范式。了一个范式。5.尝试拼图，验证勾股定理尝试拼图，验证勾股定理abcabc6.小结反思小结反思,课题拓展课题拓展我最大的收获；我最大的收获；我表现较好的方面；我表现较好的方面；我学会了哪些知识；我学会了哪些知识；我还有哪些疑惑我还有哪些疑惑学生反思：学生反思

18、：（1 1）写数学日记并发挥你的聪明才智，去探索勾）写数学日记并发挥你的聪明才智，去探索勾股定理、去研究勾股定理，你又有什么新的发现？股定理、去研究勾股定理，你又有什么新的发现？（2 2）尝试用七巧板拼图，你能验证勾股定理吗？）尝试用七巧板拼图，你能验证勾股定理吗？课题拓展：课题拓展：评价表评价表评价评价项目项目因因 素素优优良良中中差差参参与与活活动动做事有计划做事有计划查阅、整理资料查阅、整理资料与人合作与人合作提出问题并询问提出问题并询问大胆尝试并表达自己的看法大胆尝试并表达自己的看法倾听别人的发言倾听别人的发言讨论与发言讨论与发言思思维维水水平平有条理地表达自己的意见有条理地表达自己的意见解决问题的过程清楚解决问题的过程清楚善于用不同的方法解决问题善于用不同的方法解决问题独立思考独立思考总