直线与圆的方程的应用

1、4.2.1 直线与圆的方程的应用龙游第二高级中学:梁银军 直线与圆的方程在生产、 生活实践以及数学中有着广泛的应用,本节课我们将通过几个例子说明直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用例1:如图是圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度 AB=20m,拱高OP=4m, 建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑.求支柱 的高度(精确到0.01;其中 )22PA745. 533解:建立直角坐标系轴所在直线为轴，以所在直线为如图，以yOPxAB22222222222222225 .14)5 .10(5 .14, 5 .10)0(1040,.)(), 2(),4 , 0(),0 ,10( ,0 ,10

2、,yxrbrbrbPBrbyxyPPBA所以，圆的方程是解得：）（坐标得：两点代入为：设圆弧所在的圆的方程）的坐标分别为（则86. 35 .1036.145 .1045 .14)40(5 .145 .102), 2(222222222yyyyP解得：）（）（的坐标得：代入点.86.322mPA的高度约为答：支柱注意:(用坐标系解决实际问题)1 1、建立适当的直角坐标系，将实际量转化成数学量；、建立适当的直角坐标系，将实际量转化成数学量；、利用数学知识解出所要求的数学量；、利用数学知识解出所要求的数学量；、将数学量回归实际量，下结论。、将数学量回归实际量，下结论。练习1:某圆拱桥的水面跨度是20

3、m,拱高4m.现有一船,宽10m,水面以上高3m,这条船能否从桥下通过?(精确到0.1;其中 )分析:如图所示,要判断船能否通过拱桥,只需判断mPAPA32211的高度是否超过或22.27741 的大小关系。与需比较则船能否通过拱桥，只）的坐标分别为（中轴建立直角坐标系，其作为所在的直线轴，以表示拱高的所在直线作为以表示水面跨度的3), 5(), 5(),4 , 0( ,0 ,10,00021yyyPPPByOPxAB该船可以通过拱桥。答因为所以因为）（）代入方程得：，把（所以，圆的方程是：解得代入方程可得把为：设圆弧所在的圆的方程:1.33.1.3.405.145.10555.14)5.10

4、(5.14,5.10.)4(010)4,0(),0,10()(002202022222222222222yyyyyxrbrbrbPBrbyx解：解：例例2:已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证求证:圆心到一边的距离等于这条边所对边长的圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半一半.分析分析:.,.1111的纵坐标同法可求出的横坐标一致的横坐标与垂足的中点、则它们分别是垂足为的垂线、作过的坐标本题关键是求出圆心为坐标轴。两条对角线所在的直线如图，选择互相垂直的OOMADBDACENMADBDACOO)., 0(),0 ,(), 0(),0 ,(.,dDcC

5、bBaAyxBDCAABCD设轴，建立直角坐标系轴，直线分别为所在互相垂直的对角线如图，以四边形.|21|.|.21)22()22(|2,2,2,2,1222222111111命题得证所以又所以则由中点坐标公式可得的中点则它们分别是弦垂足分别为垂直于分别作BCEOcbBCcbddbacaEOdyaxdbyycaxxADBDACENMADBDACEONOMOEENOMO证明：证明：用坐标法解决几何问题的步骤用坐标法解决几何问题的步骤:第一步第一步: : 建立适当的平面直角坐标系建立适当的平面直角坐标系, ,用坐标和方程用坐标和方程 表示问题中的几何元素表示问题中的几何元素, ,将平面几何问题转化为代数将平面几何问题转化为代数问题问题; ; 第二步第二步: :通过代数运算通过代数运算, ,解决代数问题解决代数问题; ;第三步第三步: :把代数运算结果把代数运算结果“翻译翻译”成几何结成几何结论论. .课堂小结：课堂小结：1、熟悉直线、圆的方程；、熟悉直线、圆的方程；2、用坐标系解决实际、几何问题，以及它的解题步骤、用坐标系解决实际、几何问题，以及它的解题步骤（1 1）建立适当的直角坐标系，用坐标，方程表）建立适当的直角坐标系，用坐标，方程表示问题中的量；示问题中的量；（2 2）通过代数运算，解决代数问题；）通过代数运算，