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1、7 矩阵的有理标准形主讲主讲: :向大晶向大晶7 7 矩阵的有理标准形矩阵的有理标准形一、多项式的伴侣矩阵Definition对数域 上的一个多项式 11( )nnndaa称矩阵 121000000001011nnnaaaaA为多项式 的伴侣阵。 P( )dProposition 一般地: 已知一个矩阵,对于它的每一个非常数不变因子,都能求出其伴侣阵.Remark nn以上命题表明，给定一个 次多项式( )f,一定有一个 阶矩阵,它的特征矩阵只有一个非常数的不变因子 .( )f的伴侣阵 的不变因子为 1,1,1,() .dA()d于是111,()()sEAddMethod 设 是 阶方阵,其特

2、征矩阵 中非常数的不变因子有 个: 因而有 ()ijAan()EAs12( ),( ),( ),sddd1( ) |( ),(1,2,1)iiddis令1212,1()iiiiinnniiii nindaaaa作 阶矩阵n12sNNFN,211000100010001iiinniiiiinaaaaN其中1,2, ;iisnnTheorem 相似于相似于 。AFCorollaryDefinition 称定理中的 为矩阵 的有理 标准形。 FA矩阵 是数量矩阵的充分必要条件是它的特征矩阵的不变因子都是非常数。ATheoremTheoremnn数域 上 方阵 在上相似于唯一的一个有理标准形，称为 的

3、有理标准形.PAAnn数域 上 方阵 在上相似于唯一的一个有理标准形，称为 的有理标准形.PAAnn数域 上 方阵 在上相似于唯一的一个有理标准形，称为 的有理标准形.PAA设 是数域 上 维线性空间 的线性变换，则在 中存在一组基，使 在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由 唯一决定的，称为 的有理标准形.nVVPExample求0 1 11 0 11 1 0A的有理标准形。Ans.Solution容易看出21232123111111( ) 1,( )1,( )(1) (2)( ) 1,( )1,( )2AAAEADDDddd 故， 的有理标准形为A100002011返回设 ，而 为它的不变因子，证明： 习题112( ),( ),( )ndddn nAP( )( )Anmd习题2设 ，则 为数量矩阵的充分必要条件是它的特征矩阵 的 阶行列式因子 是 次的。 An nAPEA1( )nD1n 1n 习题3证明：对任何 矩阵( )A，恒有211( ) |( )( )iiiDDD习题40EA12( ),(

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