微分中值定理的应用之中值点存在性研究

1、微分中值定理的应用之中值点存在性的研究1 引言微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理）是微分学的基本定理，在微积分中占有非常重要的地位，有着广泛的应用，其中证明某区间上满足一定条件的中值点的存在性是微分中值定理非常重要的应用，也是在历年考研试题中经常出现的题型之一.利用中值定理证明中值点的存在性，要兼顾条件与结论，综合分析，寻求证明思路，解决此类问题的关键是构造辅助函数，而构造辅助函数技巧性较强，本文通过一些典型题目的求解，全面总结了证明此类问题的技巧与方法.2 一个中值点的情形（1） 原函数法在利用微分中值定理证明中值点的存在性问题时，关键是根据所证明的结论构造

2、辅助函数，构造辅助函数最基本最重要的思想就是寻求原函数，而寻求原函数的方法又因所证结论不同而不同. 直接法这种方法的解题思路主要是根据题目所证结论中常数项的特点直接得到辅助函数.例1 函数在上连续，在内可导，证明:在内至少存在一点，使得.分析：结论等号左侧显然是函数在区间两端点函数值的差与区间长度之商,于是联想到对函数使用拉格朗日中值定理.证明：令，显然在上满足拉格朗日中值定理条件.于是知：在内至少存在一点，使 得 ，而 ，即得结论.证毕.例2 函数在上连续，在内可导，试证：存在，使得.分析：将结论变形为，等式左端的形式很容易联想到柯西中值定理，辅助函数显然可取为.证明：令，易知，在上满足柯西

3、中值定理的条件，于是可得：存在，使 ，即 ，亦即.证毕. 值法此方法的解题思路是：把常数部分设为，然后作恒等变形使等式一端为与构成的代数式，另一端为与构成的代数式，分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式，若是，则把（或）改为，相应的函数值（或）改为，则替换变量后的表达式就是所求的辅助函数.例3（拉格朗日中值定理） 如果函数满足：（1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导，则在开区间内至少存在一点，使得.分析：结论可变形为，令，则，显然这是一个对称式，故可令.证明：作辅助函数，显然在上连续，在内可导，且，因此上满足罗尔定理的条件，于是至少存在一点使得，即，亦即.证毕.注：例1、例2也可以

4、用此方法证明. 积分法这种方法的基本思想是利用不定积分寻求辅助函数，具体做法如下：将结论中的换成，通过恒等变形将结论化成的形式，然后用观察或直接积分（如果不易通过观察得到）求得原函数，积分常数取为0. 例4 设函数在上连续，在内可导，且.证明：至少存在一点，使.分析：结论即要证明函数在内有根，而 ，即证明函数在内有零点.因结论中含有函数导数，故可考虑利用罗尔定理.通过观察易发现，于是辅助函数可取为.证明：令，显然在上连续，在内可导，且，于是由罗尔定理知：至少存在一点，使，而，故，即.证毕.注：例1，例2，例3也可使用这种方法证明.例5 设函数，在上连续，在内可导，且，证明：至少存在一点，使.分

5、析：结论即要证明函数在内有零点，因结论中含有函数导数，故考虑利用罗尔定理，而此函数的原函数通过观察可能感到有点困难.将变形为 ，即要证明函数在内有零点.而，显然与的导数有相同的零点，于是可取原函数为.证明：令,显然在上连续，在内可导，且，于是由罗尔定理知：至少存在一点，使，而，故，又，于是.证毕.当所证明的结论中出现二阶导数时通常可考虑两次使用中值定理证明.例6 设函数在上有二阶导数，且,，证明:在内至少存在一点，使得.分析：结论即要证明函数在内有零点，可考虑对函数使用罗尔定理,关键是要找到使得函数值相等的两个点.而，易知，而由题设知显然在上满足罗尔定理条件，故必存在点,使得，在上对函数使用罗

6、尔定理即得结论.证明：显然在上满足罗尔定理的条件，故存在点,使得.因为，由条件易知在上连续，在内可导，且，于是由罗尔定理知：在内至少存在一点，使得.证毕.例7 设函数在上二阶可导，且，.试证：（1）在内；（2）至少存在一点，使.分析：（1）类似，或多用反证法证明.（2）仍可考虑使用罗尔定理，关键是寻找辅助函数，结论可变形为，即证函数在内有零点.由 .故可取为原函数.证明：（1）假设存在一点使，显然在上满足罗尔定理条件.于是存在，使得，.而在上又满足罗尔定理条件，于是存在，使得，与题设条件矛盾.故在内.（2）令，显然在上连续，在内可导，且，由罗尔定理知至少存在一点，使得，又，故.由(1)知，即得

7、.证毕.（2） 泰勒公式法当题设中出现高阶导数（三阶或三阶以上的导数）时，通常可考虑使用泰勒公式证明中值点的存在性.例8 若函数在上有三阶导数，且，设，试证：在内至少存在一个点，使.分析：由题设显然函数在上有三阶导数，故考虑利用的泰勒展开式.证明：在处的二阶泰勒展开式为：至少存在一个点，使得.因为 ，所以 ，于是得.而，故.证毕.注：此题也可使用三次罗尔定理证明.例9 设函数在闭区间上具有三阶连续导数，且，.试证：在开区间内至少存在一点，使.证明：由，得在处的二阶泰勒公式为 （介于0与之间，）.由题设知 ， ，两式相减，可得.又在区间连续，从而在上也连续，故在区间上有最大值和最小值.从而有，由

8、介值定理知，至少存在一点，使得.证毕.3 两个中值点的情形在证明两个中值点存在性的命题时，通常可考虑使用两次中值定理.例10 已知函数在上连续，在内可导，且，证明:（1）存在，使；（2）存在不同的两个点，使得分析：（1）即证函数在内有零点，可用零点定理证之.（2）要证满足条件的两个不同点,可考虑在不同区间上使用中值定理.而(1)中点即把区间分为两个区间，对在两个区间上分别使用拉格朗日中值定理，再寻求两个结论之间的关系即可.证明：(1) 令，显然在上连续，且，则由零点定理知，至少存在一点，使，即.（2） 显然在区间上满足拉格朗日中值定理条件，故存在一点，使得，即；存在一点，使得，即.从而.证毕.

9、例11 函数在上连续，在可导，试证:存在，使得.分析：结论中两点只要存在即可，不要求一定不同，故可在同一区间上使用两次中值定理.同时结论中的部分可看作函数与在点处的导数之商，故联想到柯西中值定理.再对使用拉格朗日中值定理，然后寻求两个结论之间的关系.证明：令，易知与在上连续，在可导，且.由柯西中值定理知,存在，使得，即 ， .而由拉格朗日中值定理知，存在，使得 .由以上两式得:存在 ， 使 即.证毕.4 含中值点的积分等式的证明这种命题的基本思路是：将题设中的定积分转化为变限积分的函数，这一函数通常即可作为辅助函数，再结合微分中值定理得到证明.例12 设函数在上连续，在内可导，且，若极限存在，

10、证明：（1）在内；（2）在内存在一点，使；（3）在内存在与（2）中不同的点，使.分析：（1）可用连续性及极限的相关知识证明.（2）将结论变形为，则左侧可看作函数在端点函数值之差，而.再由等式特点可知对函数在上利用柯西中值定理即可.（3）结论中出现了，联想到对函数在区间上利用拉格朗日中值定理.证明：（1）由存在及函数在区间上连续，知.又因知在内单调增加，故当时，有.（2）令 ，显然在上连续，在内可导，又，故满足柯西中值定理的条件，所以存在一点，使得，即.(3) 对函数在区间上利用拉格朗日中值定理知存在，使得，即，代入（2）的结论，即得.证毕.注：将题设中的定积分转化为变限积分的函数是定积分证明题中的常用方法.例13 设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使.分析：直接证明函数在内至少存在两个不同的零点比较困难，若令，而，故可证在内至少存在