汤炳祥《用函数观点看一元二次方程》教案

1、用函数观点看一元二次方程模拟上课教案一、教学目标知识与技能：总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解过程与方法：经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系情感态度价值观：通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想二、重点、难点重点：方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解难点：二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系3、 教学过程（一）创设情境，导入新课同学们

2、，在本章我们开始学习了初中阶段的第三种函数-二次函数，前一阶段还学习了二次方程，我们常常运用函数思想和方程思想解决了很多数学问题和实际问题，这节课我们继续研究这些知识大家看过打高尔夫球吧，现在请大家考虑这方面的几个问题（课本P16）问题1  如图，以 40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h20t-5t2考虑以下问题（1）球的飞行高度能否达到 15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到 20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度

3、能否达到 205m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？先请大家重点考虑第（1）个小问题，将这个问题先弄清楚，可以从以下几个方面思考：（1）这个问题的本质是什么？（2）能否利用转化的思想解决这个问题？生1：老师，我认为，这个问题的本质就是在二次函数中当高度h的值为15时，求时间t的值，如果能求出t的值并符合实际意义，那么就能达到这个高度，t的值就是所需飞行时间在这里，当h取定一个值15时，函数就转化成了一个一元二次方程，解这个方程就能解决这个问题师：其它同学有没有补充？这个同学的回答非常到位，不仅说出这个问题怎么解，还说了对这个问题的理解和认识，希望同学们向他学习这种研究数学问题的态度和

4、方法请大家按照他的方法求出答案生2：（1）解方程 1520t-5t2 t2-4t+3=0 t11，t23答：当球飞行1s和3s时，它的高度为 15m师：这个问题怎么会有两种答案的呢？生3：一个是球上升阶段，一个是下降阶段 师：很好，通过对第（1）个问题的认识，我相信不难解决（2）（3）两个问题了学生解答（2）（3）两个问题并举手回答 (2)解方程 2020t-5t2 t2-4t+40 t1t22答：当球飞行2s时，它的高度为 20m （3）解方程 20520t-5t2 t2-4t+410因为(4)24×41<0所以方程

5、无解答：球的飞行高度达不到 205m师：这两个问题的答案说明了什么实际情况？可以结合图象思考生4：其实就是当球飞行2s时，球已经到达最高高度20m，方程有两个相等的实数根；第（3）个当然就不可能到达了，反应在方程上是0，无解师：很好，那么第（4）个问题，求球的飞行总时间怎么理解能？生5：这很好理解，就是球在地上，高度h为0，求时间t，两个解的间隔就是飞行总时间（4）解方程  020t-5t2 t2-4t0 t10，t24答：当球飞行0s和4s时，它的高度为 0m，即0s时球从地面飞出，4s时球落回地面师：从刚才研究问题的过程中，大家是否感觉到函数和方程之间有着密切

6、的联系？师生共同归纳板书：（1） 已知二次函数y的值求自变量x的值，可看作解一元二次方程；（2） 解一元二次方程，可看作已知二次函数y的值，求自变量x的值，从图形角度说就是 求直线y=h与抛物线的交点横坐标板书课题：262 用函数观点看一元二次方程既然如此，接下来，我们就利用二次函数yax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c0（2） 深入讨论二次函数和一元二次方程的关系再看一个问题2： 二次函数(1)yx2+x-2；(2) yx2-6x+9；(3) yx2-x+1的图象如图所示 以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？ 当x取公共点的横坐标时，函

7、数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？生1：第（1）个问题太简单了，画出这几个函数的图象，看看与横轴有没有交点就行可以看出：（1）抛物线yx2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2，1；当x取公共点的横坐标时，函数的值是0由此得出方程x2+x-2 = 0的根是-2，1（2）抛物线yx2-6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3当x3时，函数的值是0由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3（3）抛物线yx2-x+1与x轴没有公共点， 由此可知，方程x2-x+1 = 0没有实数根总结：一般地，如果二次函数y = ax2+bx+c的图像与x轴相交，那么交点的横坐

8、标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根师：很好！这种方法简单直观，这就是利用二次函数的图象法解一元二次方程；但要说明的是，由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根一般是近似的我提议，能不能结合你对二次函数和一元二次方程关系的理解，更深入更精确地理解这个问题？生2：图象和x轴有没有公共点，就是相对应的二次方程有没有解，可利用根的判别式进行精确判定师生共同归纳板书：（具体内容，参照课本P18归纳）（1） 有公共点当x=x0时，函数值y=0x=x0是方程的一个根；（2） 没有公共点没有实数根0； 有一个公共点有相等的两个实数根=0； 有两个公共点有两个不相等的实数根0；（3） 巩固练习1不与x

9、轴相交的抛物线是 ( ) A y=2x23 B y= - 2 x2 + 3 C y= - x22x D y=-2(x+1)2 - 32用函数的图象求方程的解：x23x20； （2）x26x903某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，在顶端的A处安 装一个喷头向外喷水连喷头在内，柱高为08m水流在各个方向上沿形状相同的抛物 线路径落下，如图(1)所示根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是yx2x(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?(2)如果不计其他的因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?师生点评课堂练习：用图形法解方程x23x20方法1：画一条抛物线，观察交点横坐标，如果要提高精确度，可采用逼近法（自学课本）；方法2：将方程化为x23x-2，画一条易画的抛物线和一条直线，观察交点，这样比较简单易行（4） 课