特殊的平行四边形单元精编讲义

1、第十八章四边形第一节平行四边形、课标导航课标内容课标要求目标层次平行四 边形会识别平行四边形?掌握平行四边形的概念、 判定和性质，会用平行四边 形的性质和判定解决简单的问题?会运用平行四边形的知识解决相关问题?二.核心纲要1 .平行四边形的定义两组对边分别平行四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD记作 ABCD”.2 .平行四边形的性质边：对边平行且相等.角：对角相等，邻角互补.对角线：对角线互相平分.对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.(5)面积=底><W.3 .平行四边形的判定边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等四边形是平行四边形；

2、一组对边平行四边形且相等的四边形是平行四边形；角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形.4 .三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.5.平行四边形中的面积关系S ABC = S ABD = S DBC = S ADC_ 1 s-0? ABCD21=S3 = S4 = S? ABCD21=&S3 =-s?2 ?ABCD；1S3 =S2s4S?2 ?ABCDS1 _S4S2S3或6.已知三点确定平行四边形的方法已知A、B、C是平面上不共线的三点，那么，以A、B

3、、C为顶点，可在平面上画出平行四边形的个数是3个，其作法分别为过三角形 ABC的三个顶点作对边的平行线，交点即为平行四边形 的第四个顶点，如图所示.本节重点讲解： 一个图形，四个性质，五个判定，五个面积关系.D 丹 F三、全能突破基础演练1 .在平行四边形中，一定有 （）.A.两条对角线相等C.两条对角线互相平分2 .在 DABCD 中，/ A=145°,则/ B,A. 30°, 150° B, 35°, 145°B .两条对角线垂直D. 一条对角线平分一组对角/ C的度数分别是（）.C. 40°, 140° D , 45&

4、#176;, 1353 .如图1811所示，在周长是 10cm的DABCD中，ABAD, AC, BD相交于点。，点E在AD边上，且 OELBD,则AABE的周长是（）.A. 2cmB . 3cmC. 4cmD . 5cm4 . DABCD的周长是 28cm, AC与BD相交于点 O, AOB的周长比 OBC的周长大 4cm,那 么AB等于（）.A. 8cmB. 9cmC. 10cmD. 11cm5 .如图181 2所示，在 DABCD中，/ ABC的平分线交 AD于点E,若 AE = 2, AE : ED = 2 ： 1 ,则DABCD的周长是（）.A. 10B. 12C. 9D. 156

5、.下列命题：（1）一组对边平行，一组邻角互补的四边形是平行四边形；（2） 一组对边相等，一组邻角互补的四边形是平行四边形；（3） 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，其中，错误的有（）个.A. 1B.7.如图181 3所示，点 D、ABC的周长为（）.2C. 3E、F分别为 AABC三边的中点,D. 4若 DEF的周长为10,则4BC图18 1 18,若平行四边形相邻两边为a=3, b=5,它们与对边的距离分别为ha和hb,那么ha : hb等于（）.A. 5 ： 3B. 3 ： 5C. 10 ： 3D. 3 ： 10能力提升9 .

6、如图181 4所示，E是DABCD内任一点，若 土边形ABCD = 6 ,则图中阴影部分的面积为().B. 3C. 4D. 5A. 210 .国家级历史文化名名城一一金华，风光秀丽，花木葱茏.某广场上一个形状是平行四边形 的花坛（如图181 5所示），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫 6种颜色的花.如果有 AB/ EF II DC , BC II GH II AD ,那么下列说法中错误的是（）.A .红花、绿花种植面积一定相等B .紫花、橙花种植面积一定相等C.红花、蓝花种植面积一定相等D.蓝花、黄花种植面积一定相等11.平行四边形的两条对角线长分别是x, V, 一边长为12,则x, y可能是下

7、列各组中的().A. 8 与 14B. 10 与 14C. 18 与 20D. 10 与 3812.如图181 6所示，在？ ABCD中,E、F分别是边AD、BC的中点,AC分别交BE、DF于点G、H,试判断下列结论：ABE CDF ; AG = GH = HC ; EG =BG 02，S浅BE =SaGE .其中正确的结论有().A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个图18 14D13 .若以 A(0.5, 0)、B(2, 0)、C(0, 1)三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14 .如图1817所示，DABCD的对角线BD上

8、有点E、F,若要使四边形 AECF是平行四边 形，则要添加一个条件，可以添加的条件是.15 .如图181 8所示，P是平行四边形 ABCD内一点，且Sab=5,/AD = 2,则阴影部分的面积为16 .如图1819所示，平行四边形 ABCD中，/ BAD的平分线交 BC边于点M,而MD平分/AMC,若/ MDC=45°,则/ BAD =,/ ABC=17 .已知，如图18110所示，在 DABCD中，延长 DA到点E,延长BC到点F,使得AE = CF ,连接EF ,分别交 AB、CD于点M、N,连接DM、BN.(1)求证： AEMA CFN.(2)求证：四边形 BMDN是平行四边形

9、.A图 18- 1-11B18 .如图181 11所示，在？ ABCD中，分别以 AD、BC为边向内作等边4 和等边 BCF,连接BE、DF .求证：四边形 BEDF是平行四边形.19 .如图18 1 12所示，在 DABCD中，AB>BC , /A与/ D的平分线交于点 E, / B与/ C 的平分线交于F点，连接EF.(1)延长DE交AB于M点，则图中与线段 EM 一定相等的线段有哪几条？说明理由(不再另外添加字母和辅助线).(2)EF、BC与AB之间有怎样的数量关系？为什么？EF、BC与AB的关系又如何？直接(3)如果将条件 AB>BC"改为AB<BC&quo

10、t;，其他条件不变 写出结论.20 .如图181 13所示，已知点 C是线段AB上的点， ACD与ABCE都是等边三角形， F、 G、M、N分别是线段 AC、CE、CD、CB的中点，求证： FG = MN .B图18 1 1421 .如图 8- 1 14 所示，？ ABCD 内一点 E 满足 ED XAD 于点 D,且/ EBC = / EDC , /ECB = 45°,找出图中一条与 EB相等的线段，并加以证明.中考链接22. （2012黑龙江）如图18115所示，在四边形 ABCD中，点P是对角线BD的中点，点F分别是 AB、CD的中点，AD = BC, / PEF =30

11、76;,则/ PFE的度数是（）.A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°23. （2012 武汉）在面积为15的？ ABCD中，过点A作AE垂直直线BC于点垂直直线CD 于点 F,若 AB = 5, BC=6,则CE+CF的值为（）.A.C.1111十11 辟 11 1173工或一二24. （2012 鞍山）如图 18116BC 上，DG = DC, CE = CF,点 求证：FP = EP.所示，点P是射线b. 11-1123113D. 11+=或 1G、E、F分别在平行四边形 ABCDGC上一点，连接 FP、EP .的边AD、E,作 AFD

12、C和巅峰突破25.如图181 17所示，等腰RtAABD中，AB = AD,点 M为边 AD上一动点，点E在DA的延长线上，且 AM=AE,以BE为直角边，向外作等腰RtA BEG , MG 交 AB 于点 N ,连 NE、DN .（1）求证：/ BEN = / BGN .（2）求NG : AB的值.（3）当M在AD上运动时，探究四边形 BDNG的形状，并证明之.26.如图 181 18 所示，四边形 ABCD 中，/ C=/DAB, / CDA = / CBA,连接 BD,延长 DA 至ij H,使 AH = AD ,连接 BH , BC=3, CD = 4, DB =6,求 BH 的长.第

13、二节 矩形、菱形、正方形、课标导航:课标内容课标要求目标层次特殊的平行四边形会识别矩形、菱形、止方形掌握矩形、麦形和止方形的概念、判定和性质，会用矩形、麦形和止方形的性质和判定解决简单问题会运用矩形、菱形和止方形的知识解决相关问题二、核心纲要：1.矩形：(1)定义：有一个角是直角的的平行四边形叫矩形(2)性质：边：对边平行且相等角：四个角都是直角对角线：对角线互相平分且相等对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形(3)判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形.对角线相等的平行四边形是矩形.有三个角是直角的四边形是矩形.(4)其他判定(需要证明)：对于平行四边形，若存在一点到两对顶点的距离的平方

14、和相等， 则此平行四边形为矩 形.若平行四边形 ABCD中，PA2 +PC2 =PD2 +PB2,则平行四边形 ABCD是矩形，证明方法如 下右图所示，将 PAB平移至 DMC,证明DC! PM对角线相互平分且相等的四边形是矩形；对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形2 .菱形：（ 1）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.（ 2）性质：边：对边平行且四边相等；角：邻角互补，对角相等；对角线：对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角；对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形；菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半（ 3）菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线

15、互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形.3 .正方形：（ 1）定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（ 2）性质：边：对边平行，四条边都相等；角：四个角都是直角；对角线：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形；（ 3）判定：有一组邻边相等的的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（ 4）其他判定（需要证明）对角线互相垂直的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.四边均相等，对角

16、线相等的四边形是正方形；平行四边形四边相等，有三个角是直角的的四边形是正方形；对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形(5)平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系(如下图所示)4 .直角三角形斜边中线等于斜边的一半5 .对角线互相垂直的四边形的性质:1 -面积是对角线乘积的一半：S四边形abcd =AC BD ；2222对边平万和相等： AB CD =BC AD本节重点讲解：两个特殊性质，三个定义，三个性质，三个判定三、全能突破1一篁僦演维111 .如图 18-2-1 所不，在 ABC 中，AB=AC, BEX AC D 是 AB 中点，且 DE=BE= AB 则/C的度数是（）A. 65

17、76;B. 70°C. 75°D, 80°2 .如图18-2-2所示，菱形花坛 ABCD的边长为6m, / A=120° ,其中由两个正六边形组 成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（）A. 12mB. 20mC. 22mD. 24m3 .菱形的周长为20cm,两邻角的比为1:3,则菱形面积为（）2A. 25cm2B. 16cmC 25-2 52d. 16%12 cm224 .如图18-2-3所示，平移4ABC到BDE的位置，且点D在边AB的延长线上，连接EGCD,若AB=BC那么在以下四个结论：四边形ABEC是平行四边形；四边形 BDEC是菱形；A

18、C± DCDC平分/ BDE正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3 个 D. 4个18-2-218-2-35.如图18-2-4所示,在矩形ABCD中，E是BC上的点,F是CD上的点，已知1 .SABE _ SADF -WS矩形 ABCD，人 SAEF - SZCEF 的值等于（ 3A. 2B. 3C. 4D. 56.如图18-2-5所示，点E、F分别是菱形 ABCD的边BG CD上的点，且/ EAF4D=60 / FAD=45 ,则/ CF曰 度.7 .如图18-2-6所示，正方形点，则F到BD的距离等于AD。BEC18-2-48 .如图18-2-7所示，四边形ABCD勺边长为1,

19、 E为AD中点，P为CE中点，F为BP中AEd令.BI CBC18-2-518-2-6ABCD是矩形，/ EDC= CAB, / DEC=90 .(1)求证：AC/ DE(2)过点B做BFLAC于点F,连接EF,试判断四边形DBCEF勺形状，并说明理由E cAB18-2-7能力提升J14-*<.一*-9 .如图18-2-8所示，矩形ABCD的面积为36cm2, E,F,G分别为AB,BC,CD中点，H为AD上任意一点，则图中阴影部分的面积为（）A. 18cm2B. 16cm2C. 20cm2D. 24cm210 .如图18-2-9所示，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由 6个不同颜色

20、的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1,那么这个矩形色块图的面积为（）A. 142B. 143C. 144D. 14511 .从菱形的一个钝角顶点向它的两条边做垂线，这两条垂线分别垂直平分对边，则该 菱形的钝角等于（）A. 135°B. 150°C. 110°D. 14512 .如图18-2-10所示，在菱形 ABCD中，/BAD=60 M是AB的中点，P是对角线 AC上的一个动点，若 PM+PBJ最小值是3,则AB的长为（）A. 3B, "3C. 6D, 2y318-2-818-2-1013 .如图18-2-11所示，两个边长相等的正方形 A

21、BCD和OEFG若将正方形 OEFG绕点O 按逆时针方向旋转150° ,则两个正方形的重叠部分四边形OMCNJ面积（）A.不变B.先增大再减小C.先减小再增大D.不断增大14 .矩形的周长为p,对角线长为d,则此矩形的长与宽的差可表示为（）A. - v8d2 - p2 B. -V8d2 + P2C. -iV6d2 - p2 D.1.6d2+p2222215 .如图 18-2-12 所示，在 DABCD 中，/ ADC=78 , AFL BC于点 F, AF交 BW点 E,若DE=2ABW / AED=.18-2-1118-2-1218-2-1316 . (1)如图18-2-13所示，

22、菱形ABCD的对角线的长度分别为 4,5, P是对角线AC上的 一点，PE/ BC AB于点E, PF/ C改 AD点F,则图中阴影部分的面积是(2)如图 18-2-14 所示，在矩形 ABC珅，AB=5cmj BC=3c诋F/GH/ZBC点 P,Q 是 EF 上的任意两点，R为BC的中点，则图中阴影部分的面积是17 .如图18-2-15所示，在直线l上平放有3个面积相等的矩形，其高分别为2m, 3m,6m,先做一平行于l的直线m,使截得的三部分阴影面积之和恰好等于一个矩形的面积， 则l, m之间的距离为.18 .如图18-2-16所示，线段 AB的长为20j2cm,点D在线段AB上， ACD

23、是边长为10cm的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP,过DP上一动点G(不与D重合)作矩形 CDGH记上I形CDGH的对角线交点为 O,连接OB,则线段BO的最小值为.DA18-2-1418-2-1518-2-1619 .如 图 18-2-17 所示， 在 四边形 ABCD 中，/ ABC=135BCD=120° ,AB=y6 ,BC=5-北,CD=6 求 AD的长.18-2-1720 .如图 18-2-18 所示，在 Rt ABC, / C=90° , AC=3,BC=4点 P为 AB边上任一点，过点P分别作PF,AC于点E, PF± BC于点F,求线段E

24、F的最小值.A18-2-18B21 .如图18-2-19所示，以RtABC勺斜边BC为一边在 ABC勺同侧作正方形 BCEF设正方形的中心为 Q连接AQ如果AB=4,AO：6d2，求AC的值.HOA18-2-1922 .已知 ABC等边三角形，点 D为直线BC上的一动点(点 D不与R C重合)，以AD为边作菱形 ADEF(A,D,E,F按逆时针排列)，使/ DAF=60°连接CF(1) 如图18-2-20(a)所示，当点 D在边BC上时，求证： BD=CFAC=CF+CD(2)如图18-2-20 (b)所示，当点 D在边BC的延长线上且其它条件不变时，结论上AC=CF+C提否成立？若

25、不成立，请写出AG CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由.(3)如图18-2-20 (c)所示，当点D在边CB的延长线上且其它条件不变时，补全图形,并直接写出AC、CR CD之间存在的数量关系(a)(b)(c)18-2-2023. （2012 威海）如图，在 |_1 ABCD 中，AE , CF分别是/ BAD 和/ BCD的平分线。添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是（）A.AE=AFB.EF XACC./ B=60 0D.AC是/ EAF的平分线18-2-2218-2-2124. （2012?青海） MA=MC .已知：如图， D是4ABC的边AB上一点，CN / AB ,

26、DN交AC于点求证：CD=AN ; 若/ AMD=2 /MCD ,求证：四边形 ADCN是矩形.18-2-2325.(1)将七个边长为1的正方形按图18-2-23 所本方式摆放，点 Ai、A2、A3、A4、A5、心分别 是六个正方形的中心，则这七个正方形重叠形成 的重叠部分的面积是 .,一 一一， 1n(2)如图18-2-24所不，将边长为 2(n=1,2,3,)的正方形纸片从左到右顺序摆放其对应的正方形的中心依次为A1、A2、A3,若摆放前6个正方形纸片，则图中被遮盖的线段 (虚线部分)之和为.若摆放前n个(n为大于1的正整数)个正方形纸片，则图中被遮 盖的线段(虚线部分)之和为 .18-2

27、-2418-2-2526.如图18-2-25所示，正方形 ABCD中，BD是对角线，E、F点分别在BG CD边上，且 AEF是等边三角形(1)求证： ABE ADF;(2)过点D作DGL BD交BC延长线于点 G,在DB上截取DH=DA1接HG请你参考下面方框中的方法指导证明：GH=GE方法指导在一些证明线段数量关系的问题中，有时可以运用代数 运算的方法进行证明.例如：要证明 DF=BE.可设 AB=a, AE=b (b>a>0).在R匕ABE和RtADF中，2_2_222BE =AE -AB =b -aDF 2 ; AF2 - AD2 = b2 -a2:DF2 =BE2.DF=B

28、E.这就是图形证明中代数方法的应用.运用代数方法证明几何问题时.线段通常用单个小写字母表示 .27.已知：在矩形 ABCD中，AB=10,BC=12,四边形EFGH的三个顶点 E、分、H分别在矩形ABCD边 AB、BC DA 上，AE=2.(1)如图18-2-26 (a)所示，当四边形 EFGH为正方形时，求 GFC的面积.(2)如图18-2-26 (b)所示，当四边形EFGH为菱形，且BF=a时，求 GFC的面积(用 含a的代数式表示).(3)在(2)的条件下， GFC的面积能否等于2?请说明理由.（b）18-2-26第三节 梯 形课标导航课标内容课标要求目标层次梯形会识别梯形、等腰梯形，了

29、解等腰梯形的性质和判定掌握梯形的概念，回勇提醒的性质和判定解决简单问题.核心纲要1.梯形(1)定义：有一组对边平行另一组对边不平行的四边形就叫做梯形 注：通常把较短的底叫做上底，把较长的底叫做下底.(2)分类一般梯形梯形上础燎耳/ f直角梯形：一腰垂直于底的梯形 特殊梯形iI等腰梯形：两条腰相等的梯形判定定义法：一组对边平行且另一组对边不平行；有一组对边平行且不相等的四边形是梯形(4)梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线； 性质：梯形中位线平行于上下底且等于上下底的一半2.等腰梯形(1)定义：两条腰相等的梯形就叫做等腰梯形.(2)性质等腰梯形两腰相等、两底平行；等腰梯形在同

30、一底上的两个角相等；等腰梯形的对角线相等；等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，底的垂直平分线就是它的对称轴注：等腰梯形在同一底上的两个角相等，不能说成：(a)等腰梯形两底上的角相等；(b)等腰梯形两底角相等，这两种说法都是错误的判定两腰相等的梯形是等腰梯形；在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形.3.解决梯形问题的基本思路转化分割拼接三角形或平行四边形问题4.梯形中常用辅助线方法图形作法本质典型应用与局后关ADBEFC过A作AEBC于E,过 D 作 DF ±BC 于F （简称作双高）把梯形转化升- 个矩形和两个直 角三角形面积计算与腰有关A D U B

31、E C过D作DE / AB交BC于E （平移一腰）把梯形转化为两个平行四边形和 集中两腰、上下底 之差的三角形梯形中四边关系ADEBC过C作CE / AB ,交 AD延长线于E （平 移一腰）A E D /A B M N C过E作EM / AB交 BC 于 M , EN / DC 交BC于N （平移两 腰）把梯形转化升- 个平行四边形和 集中两腰、上下底 之差的三角形（ABC）ECD分别延长CA、DB 交十点E （延长两 腰） ECD为三角形梯形中个构 造特殊的三 角形与对角线与大ADBCE过D作DE / AC交BC延长线于E （平 移对角线）把梯形转换为一 个平行四边形（口 ADCD）或一个

32、集 中两条对角线与 上下底之和的三 角形（ABDE）集中对角线与腰的中 点（M） 与大ADBCE连接AM并延长交BC延长线于E （倍 长类中线）将梯形切割拼接成一个与它面积 相等的三角形（ABE）梯形中位线 证明：梯形拼 接成四边形 或二角形本节重点讲解：两个图形，七种辅助线作法全能突破基础演练1 .图18-3-1所示四个图形缺口都能与右边的图形缺口吻合，哪个图形可能与右边残缺的图 形拼成一个梯形（）个A.B.C.D.图 18 -3 -12 .以1、3、5、11为边作梯形，这样的梯形有（）个A .1个B.2个C. 3千D. 4个3 .图18-3-2所示，平面上有九个点，以这些点位为顶点，能组成

33、等腰梯形的个数是（ ）A .0B. 2C. 4D. 64 .如图 18-3-3 所示，梯形 ABCD是等腰梯形， AB / CD,AD =BC, AC，BC,BE，AB 交 AC延长线于点 巳EF _LAD交AD延长线于点F ,下列结论 BD / EF ;ZAEF =2ZBAC ;AD =DF ；AC =CE +EF .其中正确的有（）个B.图1833D. 4个5.等腰梯形的上底和高相等，下底是上底的3倍，则下底角的度数是（A. 30,B. 45C. 45"或 135D. 606 .如图18-3-4所示，在直角梯形 ABCD中，AD / BC,/B =90'，E为AB上一点，

34、且ED平分/ADC, EC平分NBCD ,则下列结论：DE _L EC ； 点E是AB的中点； CD =AD +BC淇中正确的有能力提升7 .梯形 ABCD 中，AD / BC,AD =CD 对角线 AC =BC+AD ,则 /ACB的度数（）A. 30"B. 45"C. 90"D. 608 .如图18-3-5所示，已知梯形 ABCD , AD / BC,E为CD的中点，若用 S,&,G分别表示|_ADE,_EBC,|_ABE 的面积，贝U S1,8,S3 的关系是（）A. Si +S2 >S3B. Si+S2=S3C. S+$<S3D.以上都

35、不对9 .如图18-3-6,在梯形 ABCD中，AD / BC,点E是AD的中点，点 F是BC的中点，1EF = （BC -AD）,则 NB +NC 为（）2A . 90,B. 100,C.110,D. 120,110.如图18-3-7所不，在等腰梯形 ABCD中，AD =AB=1BC =1,点E是AD上一点，点F2是BC上一点，且 AE = BF ,连接CE, DF ,交于点P ,在下列结论中：（1）/EDF=/DCE;"PC =723；（3）S四边形AEPF = S DPC（4）当E为AD中点时,Ski 边形 FBCP3 一了，正确的个数有（A. 1B. 2C. 3D. 4图 1

36、 8- 3 5图 18 -3 -6用竹条做梯形的对角线, cm.11.用一块面积为 128cm的等腰梯形彩纸做风筝，为了牢固起见,对角线恰好互相垂直，那么至少需要竹条12 .如图18-3-8所示，在梯形 ABCD中AD / BC ,对角线 AC _L BD ,且AC =12, BD =9 ,求 此梯形的中位线长.图 18 -3 -813 .(1)如图18-3-9所示，等腰梯形的周长为5cm,它可以由什么样的三角形剪一刀而得？(2)如图18-3-10所示，用(1)中5张这样的等腰梯形纸片中的几张拼成较大的等腰梯 形，能拼出哪几种不同的等腰梯形？画出它们的示意图，并直接写出它们的周长图 1 8 3

37、 9图 1831014 .如图 18-3-11 所示，四边形 ABCF 中，AD / DF, /1 =/2, AC=DF, FCvAD.(1)求证：ADCF是等腰梯形；(2)若ADC的周长为16厘米，AF=3厘米，ACFC= 3厘米，求四边形 ADCF的周长.15.如图 18-3-12 (a)所示，在直角梯形 ABCD 中，AD / BC,AB _L BCDCB =75，以 CD为一边的等边|_DCE的另一顶点E在月AB上(1)求/AED的度数；求证：AB =BC ；(3)如图18-3-12 (b)所示，若F为线段CD上一点，ZFBC =30。，求DF的值.FC图 18 -3-13(a)(b)

38、图 18 -3 -1216.如图18-3-13所示，有一张矩形纸片 ABCD,E,F分别是BC,AD上的点(但不与顶点重 合)，若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设 AB =m, AD =n,BE =x(1)求证：AF =EC ;作EEBC .当x:n为何值时，直线 EE经过原5AD二BEC电形的顶点 D.A.F_DB；E'B'(2)用剪刀将该纸片沿直线 在梯形ECDF的卜方，EF剪开后，再将梯形纸片 ABEF沿AB对称番S折，平移拼接 使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，卜方梯形记117 .已知直角梯形 ABCD,AB / CD,/C =90,AB =BC

39、=CD,E 为 CD 的中点 2(1)如图18-3-14 (a)所示，当点M在线段DE上时，以AM为腰作等腰直角三角形 AMN , 判断NE与MB的位置关系和数量关系，请直接写出你的结论；在线段EC上时，其他条件不变，(1)中的结论是否(2)如图18-3-14 (b)所示，当点 M 成立？请说明理由.图 18 -3 -15中考链接18 .( 2012 河北)如图18-3-15所示，某市A, B两地之间有两条公路，一条是市区公路 AB , 另一条是外环公路AD -DC -CB ,这两条公路围成等腰梯形ABCD ,其中 DC/ AB, AB: AD :CD =10:5: 2(1)求外环公路的总长和

40、市区公路长的比；(2)某人驾车从A地出发，沿市区公路去 B地，平均速度是40km/h,返回时沿外环公路行 驶，平均速度是80km/h,结果比去时少用了 1h,求市区公路的长.10市区公路19 .(2012 杭州)如图18-3-16所示,在梯形 ABCD中,AD II BC,AB =CD，分别以AB, CD为 边向外侧作等边三角形 ABE和等边三角形 DCF ,连接AF,DE(1)求证：AF =DE ;(2)若/BAD = 45°,AB三，ABE 和|_DEF的面积之和等于梯形 ABCD的面积，求BC的长.巅峰突破20 .如图 18-3-17 (a)所示，梯形 ABCD 中，AD /

41、BC,AB =CD = D =2 cm,NB =60'(1)可得梯形 ABCD的周长 L=cm,面积 S=cm.(2)如图18-3-17 (b)所示， E,F分别为 AD, BC边上的动点，连接EF,设BF=xcm,|_BEF的面积为y cm2,L一=k (k是常数).BE BF试用含x的代数式表示y ;I S 如果 一L一 =S，且x, k均为整数，求 BF的长BE BF y图 18-3 -1721 .如图18-3-18所示，等腰梯形 ABCD中，AD / BC, AB = DC, E为AD中点，连接BE,CE (1)求证：BE=CE;(2)若ZBEC =90过点B作BF _LCD

42、,垂足为点F ,交CE于点G ,连接DG ,且线段DG =2cm, BG = 6cm,求线段 CD 的长.图 18 _3 _18第四节线段中点的应用、课标导航课标内容课标要求目标层次线段的中点会用线段的中点解决简单问题中位线掌握三角形中位线定理，会用三角形中位线解决相关问题、核心纲要线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点 是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么？常见的联想路径有以下几种.1 .倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形与平行线2.作直角三角形斜边中线3.构造中位线4.

43、构造等腰三角形三线合一5.三角形的中线可以等分三角形的面积若D是BC边上的中点，则 Szabd= S%cd6.中点四边形(1)定义：顺次连接四边形四边中点所得的四边形叫做中点四边形(2)常见的中点四边形任意四边形的中点四边形是平行四边形；平行四边形的中点四边形是平行四边形；矩形的中点四边形是菱形；菱形的中点四边形是矩形；正方形的中点四边形是正方形 ；等腰梯形的中点四边形是菱形 .本节重点讲解：一个应用(中点的应用)，一个四边形(中点四边形)、全能突破基础演练1.顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（）A.正方形 B.矩形C.菱形D.等腰梯形2.如图 18-4-1 所示，在 AABC 中，AB

44、=AC=5,BC=6,点M为BC中点，MN XAC于点N,则MN的长为（）6A.5B.C.12D.16"5图 18-4-13.如图18-4-2所示，在4ABC中，D为AC边的中点，E为BD中点，F为CE中点，若9BD的面积为4,则4BFC的面积为（A.2B.1C.1.5D.0.5图 18-4-24 .如图18-4-3所示，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且 AB=CD.下列结论：EGLFH,四边形 EFGH是矩形，HF平分/ EHG ,EG=1 （BC-AD）,2四边形EFGH是菱形.其中正确的个数是（）.A.1B.2C.3D.418-4-35 .如图18-4-4所

45、示，在四边形 ABCD中，/ DAB=/ BCD = 90°, M为BD中点，N为AC 中点，求证：MNXAC.18-4-46 .如图18-4-5所示，在等边4ABC中，P为AB的中点，Q为AC的中点，R为BC的中点,M为RC上任意一点， 4PMS为等边三角形，求证：RM=QS.18-4-57 .如图 18-4-6 所示，在 GABC 中，AC>AB, D 点在 AC 上，AB=CD , E、F 分别是 BC、AD 的中点，连接 EF并延长，与BA的延长线交于点 G,若/ EFC=60°,连接GD,判断 9GD的形状并证明.18-4-6图 18-4-7能力提升8 .如

46、图18-4-7所示，已知AABC周长为1,连接那BC三边中点构成第二个三角形，再连2013个三角形的周长为接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第图 18-4-99 .如图18-4-8所示，在矩形 ABCD中，AB=24 , BC=26.先顺次连接矩形各边中点得菱形,又顺次连接菱形各边中点得矩形，再顺次连接矩形各边中点得菱形，以此类推，第10次连接的图形面积是 18-4-810 .如图18-4-9所示，AABC中，/ ACB=90°，点 D在BC上，点E、F分别是 AD、AB的中点，AD=BD.求证：CF是/ ECB的平分线.11 .如图18-4-10所示，在四边形 AB

47、CD中，CD>AB, AB与CD不平彳T, E、F分别是AC、BD 的中点，求证： EF>- (CD-AB).2图 18-4-1012.如图18-4-11所示，在AABC中，AD是三角形的高，D为垂足，点 E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，求证：四边形 EFGD是等腰梯形.13 . 如图 18-4-12(a)所示，在 AACB 和 AAED 中，AC=BC, AE=DE , Z ACB=Z AED =90° , 点E在AB上，F是线段BD的中点，连接 CE、FE.(1)请你探究线段CE与FE之间的数量关系(直接写出结果，不需要说明理由)；(2)将图18-4-12(a

48、)中的AAED绕点A顺时针旋转，使 AAED的一边 AE恰好与AACB的边AC在同一条直线上(如图 18-4-12(b)所示)，连接BD,取BD的中点F,问(1)中的 结论是否仍然成立，并说明理由 ；(3)将图18-4-12(a)中的那ED绕点A顺时针旋转任意的角度(如图18-4-12(c)所示)，连接BD,取BD的中点F,问(1)中的结论是否仍然成立，并说明理由 .(b)()如图 18-4-1214 .如图18-4-13(a)所示，在矩形 ABCD中，BC=2AB, M为AD的中点，连接 BM.(1)请你判断并写出/ BMD是/ ABM的几倍；(2)如图18-4-13(b)所示，在平行四边形

49、 ABCD中，BC=2AB, M为AD的中点，CEXAB于点E,连接EM、CM,请问：/ AEM与/ DME是否也具有(1)中的倍数关系？若 有，请证明；若没有，请说明理由.图 18-4-15图 18-4-1315 .如图18-4-14所示，正方形ABCD和正方形 CGEF(CD>BC),连接AE,取线段AE的中点M.求证：MF LMD ,且 FM=MD .DG16 .小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形(即原四边形的中点四边形)一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图18

50、-4-15(a)所示，点P是线段AB的中点，分别以 AP和BP为边在线段 AB的同侧作等边三角形APC和等边三角形 BPD,连接AD和BC,他以了四边形 ABDC的中点四边形一定是菱形，于是，他又进一步探究：如图18-4-15(b)所示，若 P是线段 AB上任一点，在 AB的同侧作 那PC和ABPD,使PC=PA, PD=PB, /APC = /BPD,连接 CD,设点 E、F、G、H 分别是 AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接 E、F、G、H请你接着往下解决三个问题：(1)猜想四边形 ABDC的中点四边形 EFGH的开关，直接回答 ,不必说明 理由；(2)当点P在线段AB的上方时，如图1

51、8-4-15(c)所示，在"PB的外部作AAPC和ABPD ,其他条件不变，(1)中结论还成立吗？说明理由；(3)如果(2)中，/ APC=Z BPD = 90° ,其他条件不变，先补全18-4-15(d)所示，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由17 .已知：在ZABC中，以AC、BC为边分别向形外作等边三角形ACD和BCE , M为CD中点，N为CE中点，P为AB中点.(1)如图18-4-16(a)所示，当/ ACB=90°时，/ MPN的度数为 ;(2)如图18-4-16(b)所示，当/ ACB= a (0° < a< 180

52、6; )时，/MPN的度数是否变化?给出你的证明.(b)图 18-4-1618.在平行四边形 ABCD中，/ A=/ DBC,过点 D作DE = DF ,且/ EDF = / ABD ,连 接EF、EC, N、P分别为EC、BC的中点，连接 NP.如图18-4-17(a)所示，若点E在DP上，EF与DC交于点M,试探究线段NP与线段 NM的数量关系及/ ABD与/ MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论.(2)如图18-4-17(b)所示，若点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在 中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明(1)中的结论.(b)图 18-4-1719. (1)如图18-4-18(a)所示，以等腰直角祥BC的直角边AB、AC为直角边向外作等腰直角ABE 和 AACD , M 是 BC 的中点，则DE与AM之间的数量关系为(2)如图18-4-18(b)所示，以任意直角9