河南省洛阳市2018-2019学年高二下学期期中考试理数试题Word版含解斩

1、河南省洛阳市2018-2019学年下学期期中考试 高二理数试题 第I卷（共60分）一、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.1 .复平面内，复数二对应的点为（21），则复数二的共轲复数，的虚部为（）A. 1 B. 一 C. D.【答案】B【解析】由题意可知，e=2 +»所以2二2- i，所以复数Z的共轲复数的虚部为一1 ；故选b.2 .曲线尸二/- 3/ + 1在点（1,一 1）处的切线方程为（）A. 3； - 丁 一 . 口 B-；1.-2。C. ”-一D. 4.:二：【答案】B【解析】有题意可知，= 3 -6、，

2、所以川 *二I=一3,所以曲线尸二工且- 3/+1在点（1厂1）处 的切线方程为. -3 .有一段演绎推理是这样的：“若函数的图象在区间D上是一条连续不断的曲线，且 尸（北口） = 0,则小（灯在点:。处取得极值；已知函数fG）=，在R上是一条连续不断的曲线，且F（o）= o,则佗）在点 I二。处取得极值”.对于以上推理，说法正确的是（）A.大前提错误，结论错误B.小前提错误，结论错误C.推理形式错误，结论错误D.该段演绎推理正确，结论正确【答案】A【解析】大前提是： 若函数/任）的图象在区间D上是一条连续不断的曲线，且 产（|） = 0,则fOO在 点Tr处取得极值”，不是真命题，因为对于可

3、导函数 f,如果/，口） = o,且满足当1二工口附近的导函 数值异号时，那么工二父。是函数/（工）的极值点，大前提错误，导致结论错误，故选 A.4 .函数f。）= ax3 + bx2 +cx + d（a丰0）的图象不可能是（C.D.【解析】对于图像C,可知该函数的导函数由三个零点, 又 产=3。/+ 2bx + c ,可知尸（*）=。至多2个零点，所以可知选项 C错误，故选C.5. < 二”是“函数- 二一广一tJE' ym + d有极值”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1解析】若函数均数f Q）=：工3 之又工+ 5 +而极值，则

4、尸（6 = X一%十 £ = 口应该有解，即A = 1 - 4。20,得匚£ %根据函数极值的定义，可4UC <qx2 + ex +一定有极值，所以飞 < 孑是海数fO） = |x3-1xz + +演极IT的必要不充分条件，故选B6.由曲线ry - L直线y 7, y=3所围成的平面图形的面积为（A. - B.1-:二 C. - - II. -X J2 =（3x-h x） ； +2=4 -In 3，故选 D.【解析】试题分析：S考点：定积分的应用7.已知的大小关系为（A. G旌市B.吟口k C. d D dD.同【答案】C【解析】试题分析：,_二. 1.考点：比

5、较大小8. 一物体沿直线做运动，其速度和时间f的关系为V（t） =2t-t2,在t二1到t二3时间段内该物体行进的路程和位移分别是（）,2122Z2A. - B. 1, - C. J - D. 333333【答案】A【解析】由定积分的几何性质可知，该物体的行进的路程为（25科）也一（2t-tz）dt 二伫-;该物体的行进的位移为也-产岫+ 1供一4#二口2 出：） + （-7"廖=丁/_不故选A.9 .函数f（X）的图象如图所示，设 尸因是他） 的导函数，若0 辽 b,下列各式成立的是（ ）fyA：，：二”三 B. - - -：-C - 一三，1 D. - 二三【答案】D【解析】由函

6、数的图象可知，尸0)在区间上单调递减，由，基本不等式的性质可知,* '欣喈所以f(Y)<陶) 尸的,故选D.10 .已知函数f。:) = m，* + lnx2工在定义域内存在单调递减区间，则实数 力|的取值范围是()A.花屋B.阖C.:吐D.港1 22【答案】B【解析】求导函数，可得j |Z)二2mt + 二2?10，函数f =mx2 + lax 2式在定义域内是增函数，所以尸< 0成立，即2mx-2 <。(1> 0)恒成立，所以-2m > - - l)z - L所以-2m > -1,所以m < 5时,函数fOO在定义域内是增函数.故选 b.

7、211 .已知，(工)是定义在R上的函数，导函数尸满足尸(工)<F3)对于h E R恒成立，则()a. e7(-2)</(0), f(2017) < 白皿7(0) b. e2f(-2 < f(0), f(2017) > 产网C. /f(T) > f(0), /(2017) < e2m/(0) d.>/(0), f(2017) > em7/(0)【答案】C【解析】令=竽则FQ) = ""?凶,:尸 << 0 , F(X)在R上递减，F(0)<F(-2),F(0)>r(2017),即)<丝，网&

8、gt;粤 / ffFf(2017)<e2017(0),故选 C.n 口 V*12 .对于函数闻二二比蚓,下列说法错误的是()AAA.函数，(灯在区间 电环)是单调函数 B.函数/(工)只有1个极值点c.函数fco在区间Wj：)有极大值d.函数fco有最小值，而无最大值【答案】C【解析】函数，。）=号，可得函数7O） =卢，当工E （口，一寸,由三角函数线可知# < tag,即不等式女屿又一日也< t）成立，可得工 £ （0,寸，（CO < 0，出数是减函数.当工G G，"X寸，xcosx-sirrt<0,函数是减图数.函数在瓮=$时连续，所以图

9、数人功=吧，舅E伊，霜）的单调区 &WF间为（tbn），又当第E （万亏万寸，xcosx - sinx > 0,即/（0> 6则函数在上=加寸取得极小值，所以觥1代4有最小值，而无最大值，据此可知选项C错误，故选C点睛：对于针对函数F 一 口 T,1 , 1，（M）二二的性质，当 加M） 时，由三角函数线可知, xVi< tanv ； 利用商的导数运算法则及基本初等函数的导数公式，求出函数的导数二-，然后根据导函数的符号确定函数的单调性和函数的极值即可得到结论.第n卷（共90分）二、填空题（每题 5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数f（H）= 2工+ 1在

10、区间k b上的平均变化率为 【答案】2山4个 - 乃 （2xb+lH2Xn+l）.【解析】函数f（M）= 2二一 1在区间%可上的平均变化率为： 二2i-a14.定积分 (V16-r2 -i)dx =【答案】:-二【解析】(V16-x2 -；“dr = J：vl6-x2dxj：-z)dr=4ff-Jra| 在平行四边形ABCD中(如图甲)，有AC12 + CAj2 + DB12 =甲乙【答案；_：15 .六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体,AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2'),利用类比推理，在平行六 面体ABCD 4比6中(如图乙)，【解析】如图，平行六面体的各个

11、面以及对角面都是平行四边形，因此，在平行四边形中，AC2 +BD2 = 2(AB2 + AD2) ；在平行四边形中，4。？= 2(水”+月月/;在平行四边形BDDiB1中，BD2 + BDJ = 2(BD= + 6E/)；、相加，得ArC2 + AC + B1D2 + BDj = 2(AC2 + 2(BD2 +将代入，再结合AAr = 得，AC12 + BrD2 + AtC2 + SDJ = 4(AB2 + AD2 + .4).AB16 .已知il, b为正实数，直线y：二L。与曲线y = ln(±' + .。)相切，则一的取值范围是 1+b【答案】【解析】函数的导数为寸=士

12、 =【,X = 1 七，切点为（1 -瓦D）,代入y = x q得口 +3=1,.& b为正实数，1）,则急=令=三，则gQ）=震呼 则ffi数目 L 。型1乎 w4 用 -W-JF为增函救，二急W（CU）.故答案为三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知复数4 = m" + 2m 3 + (m l)i是纯虚数(血£ R).（1）求加的值;4重若复数的二记求.【解析】试题分析:（1）因为复数z1 =+ 2m-3 + （m- l）f是纯虚数，可得+ 2m-3 = 0据此解不等式组,热一 1 # 0求交集，即可求出结果

13、；（2）由（1）知，Z = -4t,可得二，I ,然后再根据复数的除法公式可得4 = 1 -3t,然后再根据复数的模的公式即可求出结果试题解析:(1)因为复数4=m* +2m - 3 + (m- l)i是纯虚数.+ 说二。 ?加一 1 # 0河=1- -3_ o于是 m#l 也二T（2）由（1）知，2a =一皈4-2i4-2(4-2i(4-2i) <1-0牛"£1-0 in Ci+0-(i-i)= 1-34胃卡.18 .证明：若I，b，ce (oo,o),则q + ； b + L(: + 1至少有一个不大于-2. h c a【答案】见解析.【解析】试题分析： 首先根据

14、题意，通过反证法假设 窃+：b+L(： + 中没有一个不大于-2,得出B C Aa_也 力+ ->2m_2,即(" +(r)>一6,然后根据基本不等式，bc£03 匕得出 (a - -e - 3 一(，一 ：)- 6 相互矛盾，即可证明.试题解析：证明I；假设以+巳b+-?白十谢大于一2/即以+：>2, b +->-2f c + i>-2. 0心d白CA所以 a + - + h + 7+ c + -> 6、.又因为与 b , c G (-8.0)f ( a + 二)M 2,同理b + ； < 2, c + - < -2、二式相

15、加 a Hhb + ：+ cl" M6，aaC这与a + - + & + +c + -> -6相矛盾, 00琴所以假设不成立，即口 + % b + ' c +”至少有一个不大于一2. bca19 .如图，在海岸线由抛物线 PEQ和线段PQ组成的小岛上建立一个矩形的直升机降落场，要求矩形降落场的边川与小岛海岸线PQ重合，点B, C在抛物线PEQ上，其中直线0£是抛物线的对称轴， 0E 二 40 米,海岸线PQ二疝米,求降落场面积最大值及此时降落场的边长c,、3£讥'而 4V'而" so【答案】皿r=，AD二一米，A8二

16、一米.(/ max g3-q【解析】试题分析：以。为坐标原点，PQ为I轴，0E为J轴建立平面直角坐标系，易得抛物线方程为y = 40 /.设初二21,则48 =40- X1,矩形面积5（力二 2x（40-打低 xtM）,然后再利用导数即可求出最大值 试题解析：如图，以0为坐标原点，pq为I轴，0E为y轴建立平面直角坐标系，易得抛物线方程为y = 40-x设4D=21则加=40 -/矩形面积 S（x）= 2x（40-xz）（0<x< 2W。）,令5'(x) = 0,解得1二必或K2y30当工 皿学)，5，(力>0； IE (等12师)，50)<0；所以当X时，5（

17、416n=二,1此时矩形边长ad =米， AB 二一米. 3320 .已知数列4的通项公式 = 2" 1,其前1H项和为5小(1)求5刑;若&二（1-加-），试猜想数列4的通项公式，并用数学归纳法证明【答案】（1） 5Kl =也%（2）见解析.【解析】试题分析：CD 4. = 2值- L可知数列是等差额列,根据等差数列前牌项和公式即可求出结果；&）由于，=（1-3。-3（工一士），可得瓦=a员=1=2,%于是猜想勾=卓,然后再利用数学归纳法证明，即可证明出结果.试题解析：CD = 2也一1,，额到是等差数列,且n=2 X 1 1 = 1,白 _ 二-T） _2J一口

18、一曜,%二。一晨）。一晨上式1一）， % *+1二沦亍泌二汕T=?l n+2于是猜想 .n Zi>+1)下证明猜想:当牌二1时，,二：,猜想成立;假设当住二k时,猜想成立，即加 =()()-():,k 4八y *2”)那么，当九二L + 1时,k + 2 r 1 k + 2-1、-2(k +1)'。工)-2(k + 1) 口 - g + 2) Jk + 2 (i + l)(i + 3)=2(fc + 1)(k+ 2)zk+3(#+1) + 2-2(fc + 2)- 2(jt + l) + l)所以，牝=k +1时，猜想成立.tu+2_ n .匕=对任意 牝£ N ,都成

19、立.岫 2(h+1)21 .已知函数-二-一二-一 一： -1 .2(1)若 3 = 0 求函数f(H)的极值；(2)若函数fQr)在定义域内单调递减，求实数 。的取值范围；【答案】(1)极小值f(e- l) = 2-e,而无极大值；(2)二+(»).【解析】试题分析：若口 =。则/=O + 1)如住+ 1) 2即国数的定义域为(一%+8), 尸8 = ln(x + 1) - 1,令/(兀)=0,即：ln(z +1)一= % 解得# = e - 1.当, e (-re -1耐jo)单调渤蠢当无£ 0l+8十寸jco单调递烟.于是即可求出a数的极值 若在定义域内单调递减，则/

20、0) = 1 + 1口。+ 1) - a(x + 1) - 2 < D在(-1,+00)恒成立，即 区 > 小三产对任意的工G (-L+8)恒成立.vt T工令9。)= 嗤?二，然后再根据导薮在函救单调性中的应用可求出函数0口)的最大值为*,于是，可求出区的取值范围.试题解析：(i)若 G ；= 0,则 f(z) = (x + l)In(x + 1) - 2x,函数的定义域为(一1,+刈,产（灯=1 + ln（j + 1） - 2 = ln（r + i T, 令f'Qr） = 0,即：1口（丈 + '1） - 1 二 °,解得 T - S -1 当大 （l

21、fe 一 1）时，f散）< 0, f（工）单调递减； 当工E （"L+oo）时,尸> 0, fb）单调递增.所以，在上二g 一 1处取得极小值f(e -1)= 2-e,而无极大值.(2)若fCO在定义域内单调递减，则f(x) = 1 + ln(x+ l)-a(x+1)-2 < 0在(-1+劝恒成立，即a > 皿士工对任意的工 (1,+&>)恒成立.x+l令- -Het，则,二1T3D+12-ln（x+l）解二 0,得五=e2 1，当h E (- 1,/ 1)时，以工” 0, g(£)单调递减;当工£(/-1, + 8),，(幼

22、<0, gx)单调递减，所以，以工)在(Tj+cc)上有最大值gg2- 11二二，于是，0的取值范围为白一助点睛：利用导数求函数的极值的一般方法： 求函数y = fG0的极值的方法：(1)求导数二尸(%)； 求方程ra)=o的根(临界点)；与；(3)如果在根与附近的左侧fo o,右侧尸00c o,那么方(/) 是¥ - fOO的极大值；如果在根；中附近的左侧广付< 0,右侧f'o Q,那么，(曲)是y=f(x)的极 小值.22 .已知函数一口有两个零点-丫1, ”.(1)求实数Q的取值范围；(2)求证：【答案】（1）（0二）；（2）见解析.【解析】试题分析：<1）函数/0） = zex -己的定义域为用因为/（工）= xe-x - n有两个零点%,与，所以函数目0）=与函数V = Q有两个不同的交点，根据导数的性质，可失咕/E （-oo,l）al, 3（工）里调 递增手当其W （L + 8）时，9。）单调递减J所以，并且当H W （L + g）,且（工）> 0, 于是可得函数目（工）=5的图象大致,然后再利用数形结合，可得函数目0）= 5与函数y = 已有两个不同dU的交点时”的取值范围f 由已知，&）=，&