第7章 方程求根1ppt课件

1、第八章 方程求根1110 ( )0 ( )0 1 : ( )sin0nnnxf xff xaaxa xanf xex求解非线性方程是非线性函数， 例：代数方程，。 例 超越方程111111221 , 0 , 0 222 , .222), , 1 , a ba ba bfxfa ba babbbaaa ba b）若输出根否则：若，令，反之对区间重复 ）的计算，并产生，.2 02 ),3baxbafiiii则得到根，若1. 非线性方程实根的对分法(二分法) ( ) , , ( )( )0 ( )0, ( )0f xa ba brf af bf af b设在上连续且有且仅有一个根又。则可用对分法：不

2、妨设二分法的收敛性 11 , , ,nna ba ba b二分法产生一个有根区间：11, 11 ()()22nnnnnnnabbababa区间长度： 2nnnabnx当足够大时，取近似值，1 2nnbaxx误差：计算简便，容易估计误差，但收敛较慢。a x* x0 b( )f x a1 b1 01001011nnn1()2limlimlim()0nnnnnnnnnnaabbbababaabbaba观察结果：因为序列递增有上界，所以收敛。同样，序列也收敛。又。(1)00,22()2nnnnnnnnnnna bababcbarcba假设在这过程的某个阶段，区间已被确定。若这时过程停止，则根一定会在这

3、区间内。这时根的最佳估计不是 ，也不是 ，而是中点于是误差有如下的界：121212(1)1250,63/50/ 50(13/ 50)37nnnrcrrrcnn例：假设二分法从区间开始，试问多少步才能求出具有相对精度不超过10的根？解：所要求的精度是指10。由于，只需保证10成立。故下列条件充分：210。解这个关于 的不等式，得到。2. 迭代法 连续。且改写方程： )(0)( xxxf1 () nnnxxx建立迭代格式：，得到序列1 (0 )(limlimlimnnnnnnnfxxxxx则 若收敛必收敛到）的根： * lim ()()0nnnxxxxxf x 若收敛，即，则： 迭代过程的几何表示

4、 ( )yxy xO x* x2 x1 x0 xy0P1Q1P2P*P2Q( )( )yxxxxy交点即为真根3*0331k ( )10 1.5. 1 1 1(0,1,2) k 0 1 2 7 8 x 1.5 1.35721 1.330861.324kkf xxxxxxxxxk 例：求方程 在附近的根解：（ ） 将方程改写为由此建立迭代公式331k721.32472 2 11.k 0 1 2 x1.52.37512.39 kkxxxx迭代收敛。（ ） 若将方程改写为建立迭代公式 迭代不收敛。*1*. ( ) , 1 , ( );(2)01, , , ( )( )( ) , , , , ()(0

5、,1,) nnxa bxa baxbLx ya bxyL xyxxa bxa bxxnx0定理 设函数在区间上满足条件（ ）对任意，都有存在常数使得对一切都有则方程在内有唯一的根且对任何初值x迭代序列均收敛于，并有*10 x1nnLxxxL 收敛充分性定理(一) 14sin23122( )( )sin2sin2cos2333420 x=4for 1:20, x=4+sin(2x)/3; endx4.2614837()xxxyxyxyxyx例：计算的根。解：根据中值定理，我们有。故有不动点。设计算法：初值为 ，迭代次答案：七位精确小数收敛充分性定理(二) *1*. ( ) , 1 , ( );(

6、2)01, , , ( )( ) , , , , ()(0,1,) xnnxa bxa baxbLxa bxLxxa bxa bxxnx0定理 设函数在区间上满足条件（ ）对任意，都有存在常数使得对一切都有则方程在内有唯一的根且对任何初值x迭代序列均收敛于，并有101nnLxxxL*10 1( )( ) , nnLxxxxLLxxa b误差估计式表明，常数 越小，简单迭代法收敛越快。因而构造迭代函数的原则是使在有根区间上有尽可能小的上界。11211211111(111, *1 npnnpnpnpnpnnppnnnnnnnnnpxxxxxxxxLLxxxxLpxxxxLxx对任意正整数 有）令得

7、可通过检查来判断迭代过程应否终止。21112 ( )1 0 (1.5)0.250, (2) 1 0 1.5,2 11( ) 1.51.5 1( )2 12111( )3.162212 2.51(2) 1( ) f xxxffxxxxxxxxx 例：用简单迭代法求方程的根。解：因为有根区间。（）因且2222011 1.5 1( ) 1221.5111 ( )1.52.25 1.5,2,xxxx 因且根据定理，任取由这两种等价方程所构造的简单迭代方法都收敛，且第一种所产生的迭代序列收敛较快。 收敛充分性定理(三) *01* ( )(,)( )( )1, () (0,1,2,).nnxxO xxxx

8、xxxxxxnx 定理：如果函数在 的一邻域内连续可微， 为方程的根，且则存在正数使得对任意迭代序列收敛于0200000( )0 ()( )()()()()2!f x xTaylorxff xf xxxf xxx在真根附近点展开成级数：3. Newton 法 非线性问题的最简单解法是线性近似. 将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的解，这就是Newton法的基本思想110000 ()() ()0)xxxxf xxxff解出 作为近似根 ：1 Newton ()(), 0, 1, 2, nnnnfnfxxxx依次产生迭代格式，称法：000 ( )0()()()0 :f xf xf

9、xxx取线性部分近似代替 Newton 法的几何解释 11010 x (0) () /()yxxxfxfx与轴 交 点为 第 二 个 近 似 根：000000 ,() ( ) ()()()fxxxf xyfxxfxx当在取定后（在真根附近），过作的切线，则切线方程： x0 x1 (x0，f(x0) 1*1()( ) (0112kkkkkpkxxxxxexxkeCCepppp 定义：设迭代过程收敛于方程的根,如果迭代误差当时成立下列渐进关系式为常数）则称该迭代过程是 阶收敛的。为线性收敛，为超线性收敛，为平方收敛。迭代法收敛速度定义( )1*(1)*( )* (),( ) ()()()0;()0

10、pkkppxxxxxxxxxp定理：对于迭代过程如果在所求根 的邻近连续，并且则该迭代过程在点 邻近是 阶收敛的。*1*( )*( )( )*11()0 1,()()( ) ()()()!( )()()!kkkppkkpppkkkpkxxxxxxxxxpexxxxxpep证：由于故具有局部收敛性。将在根 处展开，由条件有 12* ( ) , ( )0,() ()( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )(kkkkxxa bxfxxxfxfxxxfxfx fxxfxxfxfx迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数的选取。如果当时则该迭代过程只可能是线性收敛。 对牛顿公式其迭代函数为由于假

11、定是的一个单根，即*)0,()0,()0,fxxx则由上式知由上述定理知，牛顿法在根的邻近至少是平方收敛的。10 10. ( ) 1,( )(1)( ) ( )( )1 10.5kxxxxxkkkkxef xxefxexf xxexxxfxxxexxxx例：用牛顿法解方程解：牛顿法迭代函数为牛顿公式为可先用二分法或经验确定迭代初值，再按牛顿公式进行迭代。 Newton法具有收敛快，稳定性好，精度高等优点，是求解非线性方程的有效方法之一。但它每次迭代均需计算函数值与导数值，故计算量较大。而且当导数值提供有困难时， Newton法无法进行。221481612 ( )0( )1( )2( )1101

12、010nnnnnnnnnexrfrff rfrfrxreeCefrCeee误差估计：误差：（不计舍入误差）假定 连续并且 是 的单根。因此。当 充分接近 时，假设且，则，。再额外迭代一次就能计算精度“超过”机器精度。结论：随着牛顿法的每次迭代，精度倍增。21012340012100100Heron17x44.124.1231064.12310562561774.123105625617660549821409856nnnCxCCxxxCxxxx例：用牛顿法，找一个计算平方根的方法。解：设，考虑方程。牛顿法：古老公式：公元年间古希腊工程师、建筑师。上述公式常被用来计算平方根的子程序。例：，仅列出

13、正确数字，则28（位有效！）112212121211221111122112121222211222121212,0,0,Taylor0,0,fx xfx xx xhhxh xhfffxh xhfx xhhxxfffxh xhfx xhhxx非线性方程组的牛顿法沿用单个方程所采用的策略。以二元方程为例：假设是近似解，计算校正值 和 使得是更好的近似解，只用展开：1211122212111212212(1)( )( )111(1)( )( )222( ,)( ,)kkkkkkhhffxxJffxxJhf x xJhfx xxxhxxh和 的系数矩阵只要 在解附近非奇异，则可取二元非线性方程的牛顿法是122222112312322212312312312331,1,16123,1,2,3Txyxxxyzxy