第九章第3节全微分ppt课件

1、第九章第九章 多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用 第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念第二节第二节 偏导数偏导数第三节第三节 全微分全微分第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式第六节第六节 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度第八节第八节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法 第九章第九章 * *三、全微分在近似计算中的应用三、全微分在近似计算中的应用 应用应用 第三节第三节)( xoxAy xxfy )(d近似计算近似计算估计误差估计误差主

2、要内容主要内容: : 一、全微分的定义一、全微分的定义 全微分全微分一元函数一元函数 的微分的微分)(xfy 二、可微的条件二、可微的条件)()(xfxxfdyxxf)(由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分的定义一、全微分的定义)(xfy 对对对二元函数对二元函数),(yxfz 时如何方便时如何方便取得增量取得增量当当yxyx , yxfyyxxfZ, 求求出出全全增增量量引例引例: :设有一圆柱体设有一圆柱体, ,受压后变形受压后变形, ,它的底面半径由它的底面半径由, rrr 变化到变化到. hhh 变变化化到到高高度度由由问圆柱体体积问圆柱体

3、体积.改变了多少改变了多少V解解: : 圆柱体的体积圆柱体的体积hrV2 )()(22hrhhrrV 22222hrrhhrrhrrrh 的一个线性函数的一个线性函数hr ,的高阶无穷小的高阶无穷小 22hr 22hrrrhV 很很小小时时当当hr ,与一元函数类似称上式为函数与一元函数类似称上式为函数V V的全微分的全微分. .),(),(yxfyyxxfz 可表示成可表示成, )( oyBxAz 称为函数称为函数),(yxfyBxAfdzd 若函数在域若函数在域D D内各点都可微内各点都可微, ,22)()(yx 则称函数则称函数处全增量处全增量则称此函数在则称此函数在D D 内可微内可微

4、. .注注: :对对 ), (), (yfyfzx xxx)(xoxA 称称为为对对其其中中xA 的偏增量的偏增量xx的偏微分的偏微分yBxA 定义定义: :如果函数如果函数 在定义域在定义域D D 的内点的内点)y,x(fz y,x 在点在点 可微，可微，)y,x(fz y,x在点在点 的全微分的全微分, , 记作记作 y,x其中其中A ,BA ,B不依赖于不依赖于 , ,仅与仅与 有关，有关，y,x y,x1例例点是否可微？点是否可微？在在),(yxxyz :解解xyyyxxz )(yxyxxy xByA , yx 0lim而而 2220)()(21limyx 0 )( oyx 点点可可微

5、微在在),(),(yxyxfz yxxydz :一一般般?, BA二、可微的条件二、可微的条件x定理定理1(1(必要条件必要条件) )则该函数在该点偏导数则该函数在该点偏导数yzxz ,yyzxxzz d), (), (yfyfzx xz 同样可证同样可证,Byz yyzxxzz d证证: : 由全增量公式由全增量公式, )( oyBxAz ,0 y令令)(xoxA 必存在必存在, ,且有且有xx 因此有因此有 xzxx 0limA),(yxfz 若函数若函数 在点在点 可微可微 , ,),(yx得到对得到对 的偏增量的偏增量x,),(),(则则偏偏导导存存在在点点可可微微在在若若yxyxfz

6、 yyzxxzdz 且且dyydxx ,规定规定dyyzdxxzdz 求微分的方法求微分的方法xyez 如如dyyzdxxzdz dyxedxyexyxy 一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在在点点)0 , 0(处处有有0)0 , 0()0 , 0( yxff)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 220)()(limyxyx 220)()(limxxxxx ,021 ),()0 , 0()0 , 0( oy

7、fxfzyx .偏导存在不一定可微偏导存在不一定可微 2200)()(limyxyxyx 220)()(limyxyxxyx 取取注意注意: : 定理定理1 1 的逆定理不成立的逆定理不成立 . .偏导数存在函数偏导数存在函数 不一定可微不一定可微 ! !即即 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分可微分, 则则函数在该点连续函数在该点连续.),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf .:连连续续不不一一定定可可微微注注意意.)0 , 0(点点在在如如yxz ( (证明略证明略) )定理定理2 (2 (充分条件充分条件) )yzxz ,若函数若函数)

8、,(yxfz 的偏导数的偏导数,),(连续连续在点在点yx则函数在该点可微分则函数在该点可微分. . )()(lim0 oyBxA zyx 00lim0 说明说明:(1):(1)可可在在点点由由定定义义可可知知函函数数),(),(00yxyxfz 微分的充分必要条件是微分的充分必要条件是,0),(),(lim00000 yyxfxyxfzyx这一结论常用来判断函数这一结论常用来判断函数),(yxfz 在某点的可微性在某点的可微性.(2)(2)由定理由定理2 2可知如果函数可知如果函数),(yxfz 的偏导数的偏导数yzxz ,),(连续连续在点在点yx则函数在该点可微分则函数在该点可微分. .

9、 偏导数连续偏导数连续 函数可微函数可微偏导数存在偏导数存在 函数可微函数可微 多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导 xxu推广推广: : 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. .例如例如, , 三元函数三元函数)z ,y,x(fu ud习惯上把自变量的增量用微分表示习惯上把自变量的增量用微分表示, , ud记作记作uxd故有下述叠加原理故有下述叠加原理ududududzyx 称为偏微分称为偏微分. .ydyu zdzu xdxu uyduzd 的全微分为的

10、全微分为 yyuzzu 于是于是ud ,ud ,udzyx例例 2 2 计算函数计算函数xyez 在点在点)1 , 2(处的全微分处的全微分. 解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分例例 3 3 求函数求函数)2cos(yxyz ，当，当4 x， y，4 dx， dy时的全微分时的全微分. 解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 .zd,yxyxarctanz求求 解解 22yxydxxdy yxyxdyx

11、yxzd 211例例4. 4. 知知2211)yx()dydx)(yx()yx)(dydx(yxyx 解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu .)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 思思路路：按按有有关关定定义义讨讨论论；对对于于偏偏导导数数需需分分 )0 ,0(),( yx，)0 ,0(),( yx讨讨论论.证证令令,cos x,sin y那那么么22001yxsinxylim),()y,x( 1sincossinlim20 0 ),0 , 0(f 故故函函数数在在点点)0 , 0(连连续续, )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0

12、, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf当当)0 , 0(),( yx时时， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 当当点点),(yxP沿沿直直线线xy 趋趋于于)0 , 0(时时,),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.所所以以),(yxfx在在)0 , 0(不不连连续续.同理可证同理可证),(yxfy在在)0 , 0(不连续不连续. )y,x(f),()y,x(,yxsinxy00122 ),()y,x(,000 ,)y()x(22 下面证明下面证明),()y,x(f

13、00在点可微可微 : : y),(fx),(ffyx 0000 1sinyx 21 0 0.),()y,x(f可微在点00说明说明: : 此题表明此题表明, , 偏导数连续只是可微的充分条件偏导数连续只是可微的充分条件. .令令那么那么7例例dzxyxz求求,sin22 dyyzdxxzdz dyxyyxdxxyyxxyx232222cos2cossin2 8例例dzxyfxz求求),(23 dxxyf yxyfxdz)(2)(3222 dyxyfx)(2 zfyfxffzyyd)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0( 例例9.9.设设,c

14、oscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf .d)0 , 0 , 0(f求求解解: : xxxfcos3)0 , 0 ,( 0cos3)0 , 0 , 0( xxxfx41利用轮换对称性利用轮换对称性 , , 可得可得41)0 , 0 , 0()0 , 0 , 0( zyff)dd(d41zyx 三三.全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用都较小时，有近似等式都较小时，有近似等式连续，且连续，且个偏导数个偏导数的两的两在点在点当二元函数当二元函数yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可写成也

15、可写成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 解解.),(yxyxf 设函数设函数.02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的求法；、多元函数全微分的求法；、多元函数连续、可导、可微的关系、多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）四、小结四、小结 函数函数),(yxfz 在