第九章重积分及曲线积分ppt课件

1、第九章 重积分及*曲线积分 一、二重积分的概念、性质二、二重积分 的计算1.直角坐标系下二重积分的计算2.极坐标系下二重积分的计算一、二重积分的概念、性质1. 二重积分的定义(和式的极限)( , )dDf x yiiinif),(lim10)dd(dyx3. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2.二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）bxaxyxD)()(:21（1若D为 X 型区域 那么)(1xy)(2xyxboyDax二、二重积分的计算( , )d dDf x yx y yyxfxxd),()()(21dbax dbaxyyxfxxd)

2、,()()(21=先y后x的二次积分1.直角坐标系下二重积分的计算：穿线定内限，夹线定外限穿线定内限，夹线定外限 根据积分区域的形状以及被积函数的特点，适当选择直角坐标或极坐标，选择积分次序.（2若D为 Y 型区域 那么dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocy( , )d dDf x yx y =先x后y的二次积分 ddcyxyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21ddcy(3) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 , 既可采用先y后x的二次积分，也可采用先x后y的二次积分，为计算方便,可选择适当的积分次序.oxy(4) 若积分域较复杂,可将它分成若

3、干部分，使每部分1D2D3D是X-型区域或Y-型区域 , 123DDDD那么 ddrr直角坐标系与极坐标系下的二重积分之间的关系：( cos , sin )Df rr( , )Df x y dxdy 2.利用极坐标系计算二重积分 的上下限关键是定出,r然后化为先的二次积分.r后积分限确定方法:穿线定内限，夹线定外限.将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行分需要进行“三换三换”：cos,sinxryr,xyrDDdxdyrdrd( cos , sin ).df rrrdr ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(

4、（1极点在区域外部如图1）具体地分以下几种情况讨论如下：图图1设,)()(:21rD那么1()2( )其中1(),2( )在区间 , 上连续.AoD( cos , sin ).df rrrdr（2极点在区域的边界如图极点在区域的边界如图2） Drdrdrrf )sin,cos()(r图图20( ):,rD 设那么( ) 0 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd（3极点在区域内部如图3）：DoA)(r图图30( ):,02rD 设那么xy211xy o221d y例例1. 计算计算d,DIxy其中D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域. x

5、解法解法1. 将将D看作看作X型区域型区域, 那那么么:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 将将D看作看作Y型区域型区域, 那那么么:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y例例2. 计算计算d,Dxy其中D 是抛物线xy 2所围成的闭区域. 解解: 为计算简便为计算简便, 先对先对 x 后对后对 y 积分积分,:Dxyx ddDxy21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21

6、y2y2y2 xy及直线那么 例例3. 计算计算sind d ,Dxx yx其中D 是直线 ,0,yxy所围成的闭区域.oxyDxxy 解解: 由被积函数可知由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :xxyD00:sind dDxx yxxy0d0dsinxx0cosx20sindxxxx先对 x 积分不行, D21220 xDxxy dxdydxy dy解二解二D： 10yyxyY型型120yyIdyxy dx Ddxdyxy2D2,xyxy 例例4 计算计算 102xxyx解一解一D：X型型136011()340 x xx dx12201()2yyydy140解解在极坐标系下在极坐标系下 22xyDedxdy2rderdr).1(2Re 20)1(212deR2rDerdrdx xy yR Ro o0R02解解2222sin()sin()DDxyrdxdyrdrdrxy2201sindrdr. 4 在极坐标系下，区域D可表为：1202r例例7 计算二重积分计算二重积分222d,DR