自动控制第6讲-第三章 控制系统的时域分析

1、第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析李 杰3-5 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。 对系统进行各类品质指标的分析必须在系统稳定的前提下进行。自动控制理论的基本任务之一 分析系统的稳定性问题 提出保证系统稳定的措施 一、 稳定的基本概念和系统稳定的充要条件 设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。 闭环特征方程式的全部位于S的左半平面 0)(limtct系统稳定充要条件)1sin()(1)()(2111kkkt

2、krktpiqiteaeatasCLtckki对于一个系统的单位阶跃响应 不同特征根所对应的时间响应分量如不同特征根所对应的时间响应分量如图所示。图所示。不稳定稳定4 . 04st0理论实际 系统稳定、实际稳定以及稳定裕度问题 系统稳定性与输入信号无关，是系统的固有特性 线性定常系统稳定的充分必要条件，只要求解闭线性定常系统稳定的充分必要条件，只要求解闭环系统特征方程就可以判断系统稳定与否。环系统特征方程就可以判断系统稳定与否。 对于线性定常系统，由于它的特征方程为多项式代对于线性定常系统，由于它的特征方程为多项式代数方程，特征根与它的系数之间存在密切的关系。因此，数方程，特征根与它的系数之间

3、存在密切的关系。因此，可以根据多项式方程各次项的系数来判别系统稳定与否。可以根据多项式方程各次项的系数来判别系统稳定与否。这样的方法称为代数稳定性判据。这样的方法称为代数稳定性判据。3-5-3 代数稳定性判据代数稳定性判据 构造劳斯表构造劳斯表 1、代数稳定性判据、代数稳定性判据-劳斯劳斯(Routh)判据判据0)(0111asasasasDnnnn已知线性定常系统的特征方程为已知线性定常系统的特征方程为sn an an-2 an-4 an-6 sn-1 an-1 an-3 an-5 an-7 sn-2 b1 b2 b3 b4 sn-3 c1 c2 c3 c4 s1 f1s0 g1. 其中其中

4、, 1153121132111145211231/)(/)(/)(/)(bbabacbbabacaaaaabaaaaabnnnnnnnnnnnnnn 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据: 线性定常系统稳定的充分线性定常系统稳定的充分必要条件是劳斯表中第一列元素全部大于零。必要条件是劳斯表中第一列元素全部大于零。 解：作劳斯表如下解：作劳斯表如下 s4135 s324 s215 s1-6 s05 521052, 12143221bb05432234ssss 例例3-6 (P98) 已知系统的闭环特征方程为已知系统的闭环特征方程为试用劳斯稳定判据判别系统的稳定性。试用劳斯稳定判据判别系统的稳定性。 因为

5、第一列中有负值出现，不全部大于零，所以系统不稳定。因为第一列中有负值出现，不全部大于零，所以系统不稳定。 一阶系统：一阶系统： 特征方程为特征方程为001 asa作劳斯表如下，有作劳斯表如下，有 s1a1 s0a0一阶系统稳定的一阶系统稳定的充分必要条件是充分必要条件是 0, 001aa 二阶系统特征方程：二阶系统特征方程：00122asasa劳斯表劳斯表 s2 a2 a0 s1a1 0 s0a0二阶系统稳定二阶系统稳定充要条件充要条件0,0,0012aaa 三阶系统特征方程：三阶系统特征方程：0012233asasasa三阶系统稳定三阶系统稳定充要条件是充要条件是30210123,0,0,0

6、,0aaaaaaaa作劳斯表作劳斯表 s3 a3 a1 s2 a2 a0 s1 b1 0 s0 a0203211aaaaab 用一个很小的正数用一个很小的正数 代替代替0，继续计算。若计算结果仍，继续计算。若计算结果仍表明系统是稳定的，但仅是临界稳定的，即系统存在在表明系统是稳定的，但仅是临界稳定的，即系统存在在虚轴上的特征根。虚轴上的特征根。 在计算中，可能会有以下几种情况出现：在计算中，可能会有以下几种情况出现： (1) 第一列元素有零值出现，且该行元素不全为零第一列元素有零值出现，且该行元素不全为零 (2)第一列元素改变符号的次数等于不稳定根的个数第一列元素改变符号的次数等于不稳定根的个

7、数 (3) 出现全零行，表明系统存在大小相等，方向相出现全零行，表明系统存在大小相等，方向相反的根反的根 2、赫尔维茨、赫尔维茨(Hurwitz)判据判据 (2) 分析系统参数变化对系统稳定性的影响分析系统参数变化对系统稳定性的影响 3、林纳得、林纳得-奇帕特奇帕特(Lienard-Chipard)判据判据 4、代数稳定性判据的应用、代数稳定性判据的应用 (1) 判别自动控制系统的稳定性判别自动控制系统的稳定性 (3) 确定系统的相对稳定性确定系统的相对稳定性 例：闭环系统稳定时开环增益例：闭环系统稳定时开环增益K范围。如果所有闭环特征根范围。如果所有闭环特征根的实部均小于的实部均小于 0.1

8、，K的取值范围变化如何。的取值范围变化如何。 解：系统的闭环特征方程为解：系统的闭环特征方程为05623Ksss 由劳斯判据，稳定时开环增益由劳斯判据，稳定时开环增益K的取的取值范围为值范围为 300 K 如所有的闭环特征根的实部均小于如所有的闭环特征根的实部均小于 0.1，作变量代换，作变量代换1 . 01 . 0zssz代入原方程，代入原方程，0)441.0(83.37 .523Kzzz稳定时开环增益稳定时开环增益K的取值范围为的取值范围为39.21441. 0 K3-6 控制系统的稳态误差分析控制系统的稳态误差分析控制系统的稳态误差就是系统达到稳态后，输出量的期望控制系统的稳态误差就是系

9、统达到稳态后，输出量的期望值与稳态值之间的误差。值与稳态值之间的误差。 误差误差e(t) 定义：希望值与实际值之差定义：希望值与实际值之差)()()(tctrte 稳态误差的数学描述为稳态误差的数学描述为)(limteetss调节时间调节时间ts之后的误差可粗略估计为稳态误差。之后的误差可粗略估计为稳态误差。1、系统的稳态误差是根据系统所要跟踪的信号为参考基准的。、系统的稳态误差是根据系统所要跟踪的信号为参考基准的。 2、系统稳态误差是由输入信号和系统结构决定的。、系统稳态误差是由输入信号和系统结构决定的。3-6-2 误差的数学模型误差的数学模型 闭环传递函数为闭环传递函数为)()(1)()(

10、)(sHsGsHsGsGc 开环传递函数为开环传递函数为 )()()(sHsGsGo)()(1 )()()(sRsGsCsRsEc误差传递函数误差传递函数)(11)()(11)()()(sGsHsGsRsEsGoE误差误差)()()(11lim)(lim)(lim00sRsHsGsssEteetttss 稳态误差与哪些因素有关？稳态误差与哪些因素有关？可以将系统的开环传递函数可以将系统的开环传递函数Go(s)用零、极点形式表示为用零、极点形式表示为)2()()2()()()()(222111222111jjjnjinilllmlkmkosssssssssKsHsGsG用零、极点因子的环节增益归

11、一形式将用零、极点因子的环节增益归一形式将Go(s)表示为表示为)12()1()12()1()(222111222111sTsTsTssssKsGjjjnjinilllmlkmkoo令令)12()1()12()1()(222111222111sTsTsTssssGjjjnjinilllmlkmkn)()(sGsKsGnoo)()(sGsKsGnooKo -系统的开环增益系统的开环增益)(lim0sGsKoso -前向通路积分环节的个数前向通路积分环节的个数，定义：，定义： 0-0型系统型系统 1-I型系统型系统 2-型系统型系统通常通常 增加，系统的准确度会提高，但稳定性却变差。当前增加，系统

12、的准确度会提高，但稳定性却变差。当前向通路包含两个以上积分环节时，使系统稳定一般是很困难的。向通路包含两个以上积分环节时，使系统稳定一般是很困难的。 稳态误差三要素：稳态误差三要素： 输入信号；输入信号； 系统的开环增益系统的开环增益Ko； 系统的无差度系统的无差度。3-6-3 稳态误差分析稳态误差分析由拉氏变换的终值定理由拉氏变换的终值定理)()(11lim)(lim)(lim00sRsGssEsteeosstss 0型系统型系统oospKsGK)(lim0oKKpssKKeop1111型系统型系统)(lim0sGsKKnosp011pKpssKe 0型系统对阶跃信号是有差跟踪型系统对阶跃信

13、号是有差跟踪 型及以上系统可准确跟踪阶跃信号，无稳态误差。型及以上系统可准确跟踪阶跃信号，无稳态误差。 当当 1pK011pKpssKe1、单位阶跃信号、单位阶跃信号 R(s)=1/sp00K11)(lim111)(11limsGssGseososss定义系统的静态位置误差系数定义系统的静态位置误差系数Kp为为)(lim0sGKosp 2、 单位斜坡单位斜坡R(s)=1/s2 (f(t)=t) 静态速度误差系数静态速度误差系数Kv)(lim0sGsKosvK1)(lim11)(11lim020sGsssGseososss 0型系统型系统0)(slim0sGKos01vKvssKe型系统型系统o

14、0K)(slimsGsKKnospoK1sse 型型0sse)(lim)(lim200sGsKssGsKnososv 0型系统对等速率信号不能跟踪型系统对等速率信号不能跟踪 型系统对等速率信号只能实现有差跟踪型系统对等速率信号只能实现有差跟踪 型及以上的系统可以准确地跟踪等速率信号型及以上的系统可以准确地跟踪等速率信号 3、加速度信号、加速度信号R(s)=1/s3 (f(t)= t2 /2) 系统的静态加速度误差系数系统的静态加速度误差系数Ka为为)(lim20sGsKosaa20300K1)(lim11)(11lim)(limsGsssGssEseosossss0型系统型系统0aKsse0a

15、Ksse型系统型系统 0型、型、型系统不能跟踪加速度信号型系统不能跟踪加速度信号 型系统可以实现对加速率信号的有差跟踪型系统可以实现对加速率信号的有差跟踪型系统型系统onosaKsGsKsK)(lim220ossKe1 上面的分析可以汇集成表上面的分析可以汇集成表3-1 综上所述，对于控制系统的稳态误差考查结果为：综上所述，对于控制系统的稳态误差考查结果为： (1) 对于有定值误差的情况，开环增益对于有定值误差的情况，开环增益Ko越大，定值误越大，定值误差就越小。差就越小。 (2) 对于信号的跟踪能力考查中，系统的类型越高，也就对于信号的跟踪能力考查中，系统的类型越高，也就是系统的无差度是系统

16、的无差度越大，能够跟踪的信号的阶数就越高。越大，能够跟踪的信号的阶数就越高。 但在系统稳定性分析中，结论与上述两条正好相反。也就是说，但在系统稳定性分析中，结论与上述两条正好相反。也就是说，系统的开环增益系统的开环增益Ko越大，稳定性就越差，前向通路中的积分环节个越大，稳定性就越差，前向通路中的积分环节个数越多，稳定性就越差。数越多，稳定性就越差。 例例3-12 PD控制系统如图所示，输入信号为控制系统如图所示，输入信号为221)( 1)(ttttr作稳定性分析及稳态误差分析。作稳定性分析及稳态误差分析。闭环特征方程闭环特征方程01123mmmKKsKKssT由劳斯判据，系统稳定就要满足由劳斯

17、判据，系统稳定就要满足mmmmmmTKKKKKKKKT1111,0,0,0即，稳定条件为即，稳定条件为mmmTTKK, 0, 0, 0, 01 PD控制器微分时间常数控制器微分时间常数的大小，会影响的大小，会影响型系统的型系统的稳定性。稳定性。 解：解：(1)稳定性分析稳定性分析 (2) 稳态误差分析稳态误差分析 系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为2,)1()1()(121mommoKKKsTssKKsG各静态误差系数为各静态误差系数为mavpKKKKK1,)()()(21)(1)(3212trtrtrttttr输入信号为输入信号为 对于线性系统，应用叠加原理，有对于线性系统，应用叠加原

18、理，有massssssKKKettrettrettr1323221111,21)(0,)(0),( 1)(则，系统稳态误差为则，系统稳态误差为mssssssssKKeeee132113-6-5 扰动信号误差分析扰动信号误差分析 N(s)是扰动信号。在实际中，扰动信号可从是扰动信号。在实际中，扰动信号可从 任何任何地方加入：输入端、输出端、中间环节等。但不管何地方加入：输入端、输出端、中间环节等。但不管何种情况，都可以通过等价变换化下图所示系统结构。种情况，都可以通过等价变换化下图所示系统结构。)S(E)S(E)()()(1)()S(E)()()()()()(NR212RsNsGsGsGsCsC

19、sRsCsRsENRER(s) -给定给定输入信号作用下的误差；输入信号作用下的误差；EN(s) -扰动信号作用下的误差扰动信号作用下的误差)()()(11)(21sRsGsGsER)()()(1)()(212sNsGsGsGsEN所以扰动输出全部是误差所以扰动输出全部是误差)()(sCsENN 研究扰动信号对系统的影响的目的，就是要设法克服或者减研究扰动信号对系统的影响的目的，就是要设法克服或者减小扰动信号所产生的输出。小扰动信号所产生的输出。 例例3-14 (P113) 有扰系统如图所示，设输入有扰系统如图所示，设输入R(s)=1/s，扰动信号为，扰动信号为N(s)=1/s,讨讨论稳态误差

20、及克服方法。论稳态误差及克服方法。0essR =1，I型系统型系统,当输入信号单独作用时当输入信号单独作用时,对单位阶跃信号无误差跟踪对单位阶跃信号无误差跟踪sKKsKssKKsKsCN111)(212212扰动作用下的系统输出为扰动作用下的系统输出为121200011lim)(lim)(limKsKKsKssCssEsesNsNsssN扰动稳态误差为扰动稳态误差为增大前置增益增大前置增益K1的值可以减小扰动引起的稳态误差，但是不能消除它。的值可以减小扰动引起的稳态误差，但是不能消除它。 (2) 求取扰动无差条件求取扰动无差条件)(11sGK 设前置增益设前置增益K1未知未知01)(1lim1

21、)(lim102120ssGssKsGsKsessssN令扰动引起的稳态误差为零令扰动引起的稳态误差为零则则G1(s)至少要包含一个积分环节，才能使得上式为零。至少要包含一个积分环节，才能使得上式为零。sKsG11)( 若令前置环节为若令前置环节为0212KKs则系统闭环特征方程为则系统闭环特征方程为系统稳定性被破坏，必须增加系统稳定性被破坏，必须增加PD控制器加以镇定。控制器加以镇定。01)1(lim1)(lim21202120sKssKsKssKsGsKsessssNK1，K2， 均大于零，系统稳定。扰动均大于零，系统稳定。扰动引起的稳态误差引起的稳态误差:ssKsG) 1()(11 增加

22、增加PD控制器后，前置环节成为控制器后，前置环节成为021212KKsKKs系统闭环特征方程成为系统闭环特征方程成为减小和消除稳态误差的措施 增大开环增益或扰动作用点之前的系统的前向通道增益 增加前向通道中积分环节数 采用复合控制增大开环增益、增加积分环节必然导致降低系统的稳增大开环增益、增加积分环节必然导致降低系统的稳定性，因此要权衡稳定性、稳态精度与动态特性关系定性，因此要权衡稳定性、稳态精度与动态特性关系增大开环增益、增加积分环节的问题？增大开环增益、增加积分环节的问题？3-6-6 稳态精度补偿稳态精度补偿-复合控制复合控制 当扰动信号的类型单一并且已知时，可以设法减当扰动信号的类型单一

23、并且已知时，可以设法减小或者消除扰动信号对系统的影响。当扰动信号类型小或者消除扰动信号对系统的影响。当扰动信号类型未知或存在多个扰动信号时，又如何改善系统的稳态未知或存在多个扰动信号时，又如何改善系统的稳态精度呢？可以考虑采用补偿器精度呢？可以考虑采用补偿器输入补偿器输入补偿器扰动补偿器扰动补偿器 1、输入补偿器、输入补偿器输入补偿器输入补偿器Gr（s）全补偿条件：）全补偿条件：E(s)=0补偿器的传递函数应满足补偿器的传递函数应满足)(1)(sGsGor)()(1)()()()()(1)()()()(1)()(sRsGsGsGsGsRsGsGsGsRsGsGsCorooorooo)()(1)()(1)()()(sRsGsGsGsCsRsEoro令令E(s)=0则有则有0)()(1sGsGro)(1)(sGsGor输入补偿器输入补偿器1. Go(S)固有特性一般是各阶低通型，固有特性一般是各阶低通型，Gr(S)则是输入信号的各阶微分则是输入信号的各阶微分2. 实际常采用近似，满足要求精度即可，实际常采用近似，满足要求精度即可，不必将输入信号微分取齐不必将输入信号微分取齐2、扰动补偿器、扰动补偿器 扰动补偿器的全补偿条件：扰动补偿器的全补偿条件：0)()(sCsENN扰动补偿通路的传递函数应为扰动补偿通路的传递函数应为)(1)