职高数学复习-数列教案(共18页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上第 课时教学内容：数列的定义教学目的：理解数列的定义、通项公式、Sn的含义，掌握通项公式的求法及其应用， 了解递推的含义教学重点：数列的基本概念教学难点：求通项公式、递推公式的应用教学过程：一、数列的定义： 按一定顺序排列成的一列数叫做数列 记为：a即a: a, a, , a二、通项公式：用项数n来表示该数列相应项的公式,叫做数列的通项公式。1、本质：数列是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数2、通项公式: a=f(n)是a关于n的函数关系三、前n项之和：S= a+a+a注 求数列通项公式的一个重要方法：对于数列,有： 例1、已知数列100-3n，（1）求a、a；

2、（2）67是该数列的第几项；（3）此数列从第几项起开始为负项解：例2 求下列数列的通项公式：（1）1，3，5，7， （2）-，-，. （3）9,99,999,9999,解：（1）；（2）；（3）练习：定写出数列3，5，9，17，33，的通项公式：答案：an=2n+1 。 例3 已知数列的第1项是1，以后的各项由公式给出，写出这个数列的前5项解 据题意可知：，例4 已知数列的前n项和，求数列的通项公式：（1） =n+2n； （2） =n-2n-1.解：（1）当n2时，=-=(n+2n)-(n-1)+2(n-1)=2n+1；当n=1时，=1+2×1=3；经检验，当n=1时，2n+1=2&

3、#215;1+1=3，=2n+1为所求.（2）当n2时，=-=(n-2n-1)-(n-1)+2(n-1)-1=2n-3；当n=1时，=1-2×1-1=-2；经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1-2，=为所求注：数列前项的和和通项是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式时，一定要注意条件 ，求通项时一定要验证是否适合四、提高：例5 当数列100-2n前n项之和最大时，求n的值分析：前n项之和最大转化为五、同步练习：1已知：，那么 （C）（A）0是数列中的一项 （B）21是数列中的一项（C）702是数列中的一项 （C）30不是数列中的一项 2、在数列2，5，9，14，

4、20，x，中，x的值应当是 （D）（A）24 （B）25 （C）26 （D）273、已知数列，,且an=，则n为 （C）（A）21 （B）41 （C）45 （D）494、数列an通项公式an=logn+1(n+2)，则它的前30项之积是 （B）（A） （B）5 （C）6 （D）5、已知数列1,-1,1,-1，则下列各式中，不是它的通项公式的为 （D）（A）（B）（C）（D）6、数列的一个通项公式是 （A）（A） （B）（C） （D）7、数列通项是，当其前n项和为9时，项数n是 （B）（A）9 （B）99 （C）10 （D）1008数列，的一个通项公式是 （B）（A） （B） （C） （D）9设

5、数列则是这个数列的 （B ）（A）第六项 （B）第七项 （C）第八项 （D）第九项10已知数列a满足a=1,且，求数列的第五项a5= 3111、已知数列an的前n项和Sn满足log2 (Sn + 1) = n + 1，求an.（答案：）12、已知数列100-4n，（1）求a；（2）求此数列前10项之和；（3）当此数列前n项之和最大时，求n的值答案（1）60（2）780（3）24or2513、设数列an中，Sn=n224n，（1）求通项公式； (2)求a10a11a12a20的值； (3)求Sn最大时an的值.答案：（1）an=25-2n（2）-55（3）1补充：1、已知数列a满足a=b(b1)

6、,且,（1）求a, a, a; （2）求此数列的通项公式2、已知数列a前n项之和Sn=，求an.3、一数列的通项公式为an = 30 + nn2.问60是否为这个数列中的一项.当n分别为何值时，an = 0, an >0, an <0第 课时教学内容：等差数列（1）教学目的：通过复习，巩固等差数列的定义、通项公式、求和公式教学重点：等差数列教学过程：（一）主要知识1等差数列的定义: 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示即：2通项：，推广：3求和：（关于n的没有常数项的二次函数）4中

7、项：若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项:2b=a+c（二）主要方法：1等差数列的判定方法(1)定义法: (2)中项法:(3)通项法: (4)前n项和法:2知三求二(),要求选用公式要恰当.3设元技巧: 三数: 四数（二）基础题型：讲练题：1求等差数列8，5，2的第20项。（）2等差数列an的前n项和记为Sn.已知a10=30，a20=50.（1）求通项an；（2）若Sn=242,求n解 (1)由an=a1+(n1)d,a10=30,a20=50，得方程组解得a1=12，d=2所以an=2n+10(2)由Sn=na1+d,Sn=242,得方程12n+×2=242.解得n=11

8、或n=22(舍去).三、例题讲解：例1 判断下列数列是否是等差数列：（1）an=3n5; （2）an =3n2； （3）an+1=an-3（4）数列an满足Sn2n23n. （5）已知数列a，b，c满足 2=3, 2=6,2=12解：（注：a，b，c成等差数列2b = a+c）练习：已知数列 a满足：a=2,a= a+3,求通项a例2 在等差数列中,已知解:设首项为,公差为,则例3（1）已知等差数列中=13且=,那么n取何值时,取最大值（2）设a是递增等差数列，它的前3项之和为12，前3项之积为48，求这个数列的首项解（1）解法1：设公差为d，由=得：3×13+3×2d/2

9、=11×13+11×10d/2。解得d= -2, 所以=15-2n。由即得：6.5n7.5,所以n=7时,取最大值.解法2:由解1得d= -2,又a1=13所以 = - n+14 n = -（n-7）+49当n=7，取最大值分析2：三个数成等差数列可设这三个数为：a-d，a，a+d四、小结： 定义a- a=d (通项公式a= a+(n-1)d等差中项A=求和公式五、同步练习：1数列an的通项公式为，则此数列为 （A）（A）是公差为2的等差数列 （B）是公差为5的等差数列（C）是首项为5的等差数列 （D）是公差为n的等差数2、下列数列是等差数列的是 （B）（A）a：1，2，4

10、，6，8 （B）a：a- a=2（n2）（C）a：a= 3n2+2 （D）a：S=2n+13、已知数列是等差数列，则使为等差数列的数列是 （C）（A） （B） （C） （D）4已知等差数列：40，37，34，中第一个负数项是 （C）（A）第13项 （B）第14项 （C）第15项 （D）第16项5、在等差数列a中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于 （B）（A）40 （B）42 （C）43 （D）456若等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则d=(C)（A）5 （B）4 （C）3 （D）27等差数列an的公差d，且S100145，则a1a3a5a99=（C）（A）5

11、2.5 （B）72.5 （C）60 （D）858在等差数列an中，已知：a5=8，S5=10，那么S10等于 （A）（A）95 （B）125 （C）175 （D）709在等差数列an中，已知Sn=4n2-n，那么a100= (D )（A）810 （B）805 （C）800 （D）79510在等差数列an中，已知S4=1，S8=4，则等于 （C）（A）7 （B）8 （C）9 （D）1011、在100和500之间能被9整除的所有数的和是 （A）（A）13266 （B）12699 （C）13832 （D）1450012一个等差数列的首项是89，公差为25，则此数列从78 项开始大于199913等差数

12、列的第10项为23，第25项为-22，则数列的通项公式为an=53-3n14已知数列a满足：a=1，a= a+3，则a= 3n-2 15设为等差数列的前项和，若,则公差为-116在等差数列中，a1>0，d=，an=3，Sn=，则a1= 2 ,n= 3 .17方程lgx+lgx3+lgx5+.+lgx2n-1=2n2的解是 100 18等差数列an的通项公是an=2n+1，由bn=，则数列bn的前n项的和是 0.5n(n+5) 19、等差数列 a，a=1, a+a+a =100，则此数列的通项a= 2n-1 20、在等差数列中，a= -7，a=13，S=18，求公差d的值（答案：4）21、

13、已知等差数列 a中，aa=13，a=7，求a和公差d答案：a1=1,a7=13,d=2或a1=13,a7=1,d= -222已知等差数列an， ，试问：该数列前n项的和Sn能否取得最小值？若能请求出最小值及此时n的值，若不能，请说明理由（）23已知等差数列前3项分别为 a-1，a+1，2a+3，求数列的通项公式答案：a=0，an=2n-324、已知等差数列前4项分别为 x，x+3y-1，3x+y，4x+2y+2，求通项a第 课时教学内容：等差数列（2）教学目的：深化知识，强化等差数列性质的应用教学重点：等差数列的性质及应用教学难点：性质的应用教学过程：（一）简单性质:（1）若n+m=2p，则a

14、n+am=2ap推广：从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如：（下标成等差数列）（2）等和性：（3）组成公差为的等差数列.（4）a=a+（n-m）d（二）知识应用例1 在等差数列 a中，解决下列问题：（1）已知a+a=20，求a（2）已知+450, 求+及前9项和解 由等差中项公式：+2， +2由条件+450, 得：5450, 2180.810（3）等差数列a的前n项和为30,前2n项和为100,则它的前3n项和为 C （A）130 （B）170 （C）210 （D）260（4）已知a是等差数列，公差为-2，且a+a+.+ a= 100 ，则a+a+.+a= 例2 若一个等差数

15、列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390,求这个数列项数. 解:,例3 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数解：设数列共2m+1（mN*）把该数列记为an.依题意：(a2+a2m)=33 （1）； (a1+a2m+1)=44 （2） 由（1）（2）得m = 3。代入（1）得a2+a2m = 22， am+1=11即该数列有7项，中间项为11（三）提高：例1 已知等差数列an为等差数列，pq，ap=q，aq=p,求ap+q.解法一： 相减得(pq)d=qp,pq,d=1.代入(1),得a1=p+q1.故ap+q=a1+(p+q1)d=

16、0.解法二：ap=aq+(pq)d,q=p+(pq)d,以下同解法一.例2 已知为等差数列,前10项的和为前100项的和,求前110项的和解法一:设的首项为,公差,则解法二: 为等差数列,故可设,则解法三：例5 设等差数列an的前n项和为Sn.已知a3=12, S120,S130()求公差d的取值范围；()指出S1,S2,S12,中哪一个值最大,并说明理由 解： ()依题意,有 ，即，由a3=12,得a1=122d (3)将(3)式分别代入(1),(2)式,得 ，()由d<0可知 a1>a2>a3>>a12>a13因此,若在1n12中存在自然数n，使得an&

17、gt;0，an+1<0,则Sn就是S1,S2,S12中的最大值由于 S12=6(a6+a7)0, S13=13a70，即 a6+a70, a70由此得 a6a70.因为a60, a70,故在S1,S2,S12中S6的值最大（三）同步练习：1在等差数列中，S10=120，那么a1+a10的值是 （B）（A）12 （B）24 （C）36 （D）482、在等差数列an中，a5+a6+a7+a8+a9=450，则a3+a11的值为 （C）（A）45 （B）75 （C）180 （D）3003、等差数列an中，已知a2+a12=3,则S13= （B）（A）18 （B）195 （C）21 （D）394

18、、设是等差数列的前项和，若，则 （D）（A） （B） （C） （D）5、是等差数列，则数列的前6项和等于 （B）（）12 （）24 （）36 （）486、在等差数列an中，已知a3:a53:4，则S9:S5的值是 （D）（A）27:20 （B）9:4 （C）3:4 （D）12:57、的通项为若要使此数列的前n项和最大，则n= （C）（A）12 （B）13 （C）12或13 （D）148、若等差数列an单调递增，且a3a6a912，a3a6a928，则an= （D）（A）n2 （B）n16 （C）n2 或n16 （D）n29、等差数列共有2n+1项，其奇数项的和为132，偶数项的和为120，则n

19、=（B）（A）9 （B）10 （C）11 （D）不确定10、如果f(n+1)=f(n)+1,(n) 且f(1)=2 ，则f(100)的值是 （C）（A）102 （B）99 （C）101 （D）10011设an是公差为2的等差数列，若a1a4a7a9750，则a3a6a9a99等于 (B)（A）78 （B）82 （C）148 （D）18212、在等差数列an中，如果a6a9a12a1520，则S20 100 13、若，成等差数列，则x的值为log27 14、等差数列an中,已知S10=10,S20=30,求S30= 60 15、已知b是a、c的等差中项，的等差中项，如果abc=33，求此三数（答

20、案：13、11、9或4、11、18）16等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，若的值为（答案：7/4）17在等差数列中，其它的前项和，若210第 课时教学内容：等比数列（1）教学目的：巩固等比数列的定义、通项、求和教学重点：等比数列教学难点：计算方法教学过程：（一）主要知识：1定义与定义式：从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.2通项公式：,推广形式:3前n项和：注:应用前n项和公式时,一定要区分的两种不同情况,必要的时候要分类讨论4等比中项：如果在与之间插入一个数，使，成等比数列，那么叫做与的等比中项即（）（二）主要方法：1等比数列的判定方法：定义法：对于

21、数列，若，则数列是等比数列. 等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列2三个数成等比可设它们为：a，aq，aq2或a/q，a，aq；四个数成等比可设它们为： a/q3，a/q，aq，aq3；（三）知识点训练1、在等比数列an中a22， a554，则q ；2、在等比数列an中a51， an256，q2，则n .3、公差不为0的等差数列第二、三、六项成等比数列，则公比等于 .（四）例题讲解：例1 已知数列：3+2，（3-2），3+2，则下列说法正确的是 （A）此数列是等差数列，但不是等比数列（B）此数列是等比数列，但不是等差数列（C）此数列是等差数列，也是等比数列（D）此数列即不是等差数列，又不是

22、等比数列例2 解决下列问题：（1）等比数列中=2, =8，求通项公式；解：（2）等比数列中=5, 且2=3，求通项公式；解：（3）求等比数列1，2，4，从第5项到第10项的和.解：由， 从第5项到第10项的和为-=1008（4）在等比数列a中，a=,S=,求a和公比q例3 在等比数列an中，S41，S83，则a17a18a19a20.解 解方程组可得：q4=2，解法2 由，成等比数列计算（五）练习：在等比数列中，解决下列问题：（1）已知a=8,a=2，求a （2）已知S= ,S=+，求a（3）在等比数列a中，S=，公比q=,求a（4）a5a115，a4a26，则a3 .（5）在等比数列an中，

23、已知a31，S34，求a1、q（6）a= a+5 ，a+a=4,求a（六）作业公式基础应用在等比数列中，解决下列问题：（1）已知a=8,a=2，求a （128 ） （2）已知S= ,S=+，求a （）（3）在等比数列a中，S=，公比q=,求a（a1=24，a5=243/2）（4）a5a115，a4a26，则a3 4 （5）在等比数列an中，已知a31，S34，求a1、q(a1=3/2，q=1)1、“b2=ac”是a、b、c成等比数列的 （B）（A）充分条件 （B）必要条件 （C）充要条件 （D）非充分非必要条件2、在等比数列an中，已知a5=2，则这个数列的前9项之积的值为 （B）（A）512

24、 （B）512 （C）256 （D）2563、lga、lgb、lgc三个数成等差数列，则 （D） （A）a+b=c （B） （C）a+c=2b （D）a、b、c成等比数列4、若a、b、c成等比数列，则函数yax2bxc与x轴交点的个数 （A）（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）0个或2个5、在等比数列中，a1=，q=2，则a4与a8的等比中项是 （A）（A）4 （B）4 （C） （D）6、下列四个命题中，正确的个数是 （B） 公比q1的等比数列的各项都大于1；公比q0的等比数列是递减数列；常数列是公比为1的等比数列； lg2n是等差数列而不是等比数列（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

25、7、数列an的前n项之和为Sn=2n-1，那么此数列是 （A）（A）等比数列（B）等差数列（C）等比或等差数列 （D）非等比等差数列8、已知数列an的通项公式为an22n1，则该数列的前5项的和为 （D）（A）62 （B） （C） （D）6829、数列an中，若an+1=an，且a1=2，则S5= （A）（A） （B） （C） （D）10、等比数列的前三项和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为 （C）（A）-2 （B）1 （C）-2或1 （D）2或-111、设a、b、c成等比数列，且0<a<b，若a+c=，同公比为 （A） （A）2 （B）3 （C） （D）12、公差不为0的等差数

26、列的第二、三、六构成等比数列中，其公比为（C）（A）1 （B）2 （C）3 （D）413、在等比数列an中 ，a1=1，an+1 - 2an=0，则an= 2 n-1 ；14、在等比数列an中 ，a1=1，an=256，q=2，则n= 9 15、两数与的等比中项是 16、若数列满足：，2，3.则2n-1 17、lgx+lgx2+lgx3+lgx10=110，则lgx+lg2x+lg10x= 2046 18、在2与32之间插入三个实数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数(答案：4、8、16或-4、8、-16)18、已知四个正数成等比数列，其积为16，中间两数之和为5，求这四个数及公比（答案：1

27、/4，1，4，16或16，4，1，1/4）补充：1、求+与-的等差中项和等比中项2、等比数列中，an2an，则实数公比q 、an3an，则实数公比q .第 课时教学内容：等比数列（2）教学目的：深化等比数列的知识教学重点：等比数列的性质教学过程：（一）在等比数列中有如下性质: （1）若n+m=2p，则aa=(a)。推广：从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如：（下标成等差数列）（2）等积性:（）（3）a=aq（二）知识应用例1 在等比数列中，解决下列问题：（1）已知aa=1，求a（2）在数列a中，a、a是方程 x- 3x -5 = 0的两个根，则 a.a= （3）a>0,

28、aa+2aa+aa=25，则a+a= （4）a9a10a11a1264，求a8a13之值.（5）已知等比数列an的公比是q=，且a1a3a5a9960，求S100解(3) 是等比数列， 2()25, 又>0, 5;例2 在等比数列中，（1）求；（2）若，求.解（1）（2）练习 a2a836，a3a715，求a10例3 ，求.解法1：设an的公比为q，由题意知解得或或解法2：应用性质解题 例4 在2和30之间插入两个正数，使前3个数成等比数列，后3个数成等差数列，求插入的2个数解：设插入的两个数分别为x,y例5 一个球应从100米高处自由下落,每次着地后又跳回到原高度的一半落下,当它第10

29、次着地时,共经过了多少米?思维分析:数列建模过程中，关键是建立递推关系式，然而求出，再结合数列相关性质解题。解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了，因此球第十次着地时共经过的路程为三、思考作业：1、在等比数列中，a1=，q=2，则a4与a8的等比中项是 （A）（A）4 （B）4 （C） （D）2、在等比数列中，若a6=6，a9=9，则a3= （A）（A）4 （B）3 （C） （D）23、等比数列an中，若a3，a9是方程3x2-11x+9=0的两根，则a6的值是（C）（A）3 （B）3 （C） （D）以上答案都错4、各项为正的等比数列中， a5a6=8，则=

30、（B） （A）30 （B）15 （C）15 （D）305、在等比数列an中，an>0，且a3a5+a2a10+2a4a6=100，则a4+a6的值为（A）（A）10 （B）20 （C）25 （D）306、如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么 （B）（A）b=3,ac=9(B)b=-3,ac=9 (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-97、在等比数列中，解决下列问题：（1）已知aa=9， aa= 9 （2）已知aa=2， aaa aaaa= 1024 8、在等比数列中，则的值是2/3或3/29、等差数列的公差，且成等比数列，则10、lgx+lgx2+lgx3+lgx10=

31、110，则lgx+lg2x+lg10x= 2046 .11、在等比数列an中，已知a1、a2，a4成等差数列，则公比q =1或12、等比数列an的首项a1=1，前n项和为Sn，若，则公比q= 13、在3和2187之间插入若干个正数，使所有数组成等比数列，且插入的这些正数之和为1089，求插入的这些正数各是多少？（答案：9，27，81，243，729）第 课时教学内容：数列综合运用教学目的：系统掌握等差、等比数列的概念与性质，提高综合运用知识的能力教学重点：等差等比数列的综合运算教学过程：一、等差、等比数列的综合问题：例1 已知成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个正数依次加上1，3，9后

32、，则成等比数列，求这三个数例2 一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列；如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列解：设所求的等比数列为a ,aq ,aq2,则 2(aq+4)=a+aq2 且(aq+4)2=a(aq2+32) 解得a=2 ，q=3 或a=，q=-5，故所求的等比数列为2，6,18或，-，例3 已知a<b<c，a+b+c=3且a,b,c成等差数列，a,b,c成等比数列，求a,b,c解：例4 公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列,求公比q 解: 设等差数列的通项an = a1+(n-1)

33、d (d0).根据题意得 a32 = a2a6 即(a1+2d)2 = (a1+d)(a1+5d),解得 . 所以例5 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是，第二个数与第三个书的和是，求这四个数解：设这四个数为：，则解得：或，所以所求的四个数为：；或二、应用型问题：例1 某学生的父母欲为其买一台电脑售价为1万元，除一次性付款方式外，商家还提供在1年内将款全部还清的前提下三种分期付款方案(月利率为1%)：购买后2个月第1次付款,再过2个月第2次付款购买后12个月第6次付款；购买后1个月第1次付款, 过1个月第2次付款购买后12个月第12次付款；购买后4

34、个月第1次付款,再过4个月第2次付款,再过4个月第3次付款你能帮他们参谋选择一下吗？”分析 每月利息按复利计算,即上月利息要计入下月本金.例如,由于月利率为1%,款额a元过一个月就增值为a(1+1%)=1.01a(元);再过一个月又增值为1.01a(1+1%)=1.01a(元)可将问题进一步分解为：（1）商品售价增值到多少？（2）各期所付款额的增值状况如何？（3）当贷款全部付清时，电脑售价与各期付款额有什么关系？解 方案一：10000×(1+1%)12=x+(1+1%)2x+(1+1%)4x+(1+1%)6x+(1+1%)8x+(1+1%)10x，解得1785.86，三种方案列表如下

35、：方案次数付款方法每期所付款表达式每期付款付款总额16每2月付1次付6次x=1785.8610721.16212每一个月付1次，付12次x=888.4910661.8533每4个月付1次，付3次x=3607.6210822.85例2 用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%，若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？解：购买时付了150元，欠款1000元，每月付50元，分20次付完.设每月付款顺次组成数列an，则a1=5

36、0+1000×0.01=60(元).a2=50+(100050)×0.01=(600.5)(元).a3=50+(100050×2)×0.01=(600.5×2)(元).依此类推得a10=600.5×9=55.5(元),an=600.5(n1)(1n20).付款数an组成等差数列，公差d=0.5,全部货款付清后付款总数为S20+150=(a1+a20)+150=(2a1+19d)×10+150=(2×6019×0.5)×10+150=1255(元).答：第十个月该交付55.5元，全部货款付清后，买这件家电实际花了1255元.例3 某林场原有森林木材量为a，木材以每年25%的增长速度增长，而每年要砍伐的木材量为r,为使经过20年木材存量翻两番，求每年的最大砍伐量x（取lg2=0.3)解：用归纳法求解，第一年存量：1.25ax;第二年存量：1.25(1.25ax)x=a´1.252x(1+1.25);第三年存量：1.25´a´1.252x(1+1.25)x=a´1.253x(1+1.25+1.252);第20年末存量：a´1.2520x(1+1.25+1.252+