第14章光衍射

1、第第4篇篇 波波 动动 光光 学学第十四章 光的衍射 http:/2一一. 光的衍射现象光的衍射现象saE 几何几何 阴影区阴影区 几何几何 阴影区阴影区 光在传播过程中遇到障碍物，能够绕过障碍物的边缘偏离光在传播过程中遇到障碍物，能够绕过障碍物的边缘偏离直线传播，并且光强重新分布的现象称为直线传播，并且光强重新分布的现象称为衍射现象衍射现象。SABE14.1 光的衍射现象光的衍射现象 惠更斯菲涅耳原理惠更斯菲涅耳原理相比拟与a 缝宽缝宽3 波振面上任何一点都是发射波振面上任何一点都是发射子波子波的波源，各子波在空的波源，各子波在空间某点间某点相干叠加相干叠加，就决定了该点波的强度。，就决定了

2、该点波的强度。PdE(P)rQdSS(波前波前)设初相为零设初相为零n SrKEd)(d)P( K( ): 方向因子方向因子 SrtrkCE)d2cos()P(d SSSrtrkCEE)d2cos()P(d)P( P点的振动为点的振动为合振动：合振动：二二. 惠更斯菲涅耳原理惠更斯菲涅耳原理P点的振幅点的振幅4* 衍射的分类衍射的分类 菲涅耳衍射菲涅耳衍射 夫琅和费衍射夫琅和费衍射光源光源障碍物障碍物接收屏接收屏距离为距离为有限远有限远。光源光源障碍物障碍物接收屏接收屏距离为距离为无限远无限远。平行光衍射平行光衍射ESAB光源光源障碍物障碍物接收屏接收屏SABE光源光源障碍物障碍物接收屏接收屏

3、5P1.实验装置实验装置 屏幕中心为中央明纹，两侧对称分布着其他明暗条纹，屏幕中心为中央明纹，两侧对称分布着其他明暗条纹，这是缝处波阵面上这是缝处波阵面上(连续的连续的)无穷多子波无穷多子波发出的光的相干叠加的发出的光的相干叠加的结果。结果。AB = a 为缝宽为缝宽 ：衍射角：衍射角14.2 单缝夫琅和费衍射单缝夫琅和费衍射Sf afBA透镜透镜 L1单缝单缝透镜透镜 L2观察屏观察屏o62.菲涅耳半波带法菲涅耳半波带法 P o f a fS B A 透镜透镜 L1单缝单缝 透镜透镜 L2 观察屏观察屏 中央明纹中央明纹( (中心中心) )00 ，AP和和BP的光程差的光程差P点点(衍射角衍

4、射角 ), 该束光线的最大光程差为该束光线的最大光程差为: sina 72 相邻波带上对应点发出的平行光线会相邻波带上对应点发出的平行光线会聚时的光程差都是聚时的光程差都是 /2，因而总是相干相消。，因而总是相干相消。由此得出结论：由此得出结论： 两个相邻波带所发出的光线两个相邻波带所发出的光线会聚于屏会聚于屏幕上时幕上时全部干涉相消。全部干涉相消。如果单缝被分成如果单缝被分成偶数个半波带偶数个半波带，屏屏幕幕上对应点上对应点P出现出现暗纹暗纹;如果单缝被分成如果单缝被分成奇数个半波带奇数个半波带，于是屏于是屏幕幕上对应点上对应点P出现出现亮纹亮纹. 这些平面把缝上的波振面就分割成许多这些平面

5、把缝上的波振面就分割成许多等宽的窄带等宽的窄带菲涅耳半波带。菲涅耳半波带。22ABaC 平行于平行于AC作一系列相距作一系列相距 /2的平面的平面,BCa sin8 综上所述，单缝衍射明暗纹的中心位置是综上所述，单缝衍射明暗纹的中心位置是:22sin ka 2) 12(sin ka0 暗纹暗纹 (k=1,2,3,)亮纹亮纹 (k=1,2,3,)零级零级(中央中央)亮纹亮纹直线条纹直线条纹波带数波带数注意：注意：1.k与波带数与波带数 的关系的关系2.明暗明暗3.k0afoPABC*SBCa sin93.振幅矢量叠加法振幅矢量叠加法( (定量定量) )相邻两波带发出的子波到达相邻两波带发出的子波

6、到达P点的光程差：点的光程差： sinNa 相位差为：相位差为： sin22Na NAAA 21)(Na将将a划分为划分为N个等宽个等宽的狭窄波带，设每个波带发出的子波的狭窄波带，设每个波带发出的子波在在P点引起的光振动的振幅近似相等，即点引起的光振动的振幅近似相等，即102sin21 RA 2sin2 NRA 2/2sin2/2sin2/sin2sin111 NNNANANAA 根据根据惠更斯菲涅耳原理惠更斯菲涅耳原理，P点合振动的振幅等于这点合振动的振幅等于这N个振个振幅相等、相差依次为幅相等、相差依次为 的光振动的叠加，如图所示。的光振动的叠加，如图所示。1120)sin( II sin

7、0AA 则则210)(NAI 式式中中令令 sin2aN 10NAA 2/2sin1 NNNAA 合振幅：合振幅：P点合振动的振幅点合振动的振幅12与半波带法所得结论一致与半波带法所得结论一致20)sin( II sin2aN 在在 =0处，处， =0， 则则I=I0，光强最大，即中央亮纹；，光强最大，即中央亮纹；当当 =k , k=1,2,3时，时，sin =0则则I=0，光强最小，为暗纹；此时，光强最小，为暗纹；此时3 , 2 , 1,sin kka 其他各级亮纹的位置：其他各级亮纹的位置：0dd I令令 47. 3,46. 2,43. 1sin a得得与半波带法所得结论略有差异与半波带法

8、所得结论略有差异13 中央明纹又亮又宽中央明纹又亮又宽(约为其它明纹宽度的约为其它明纹宽度的2倍倍)。中央两旁，。中央两旁，明纹的亮度随着级次的增大迅速减小。这是由于明纹的亮度随着级次的增大迅速减小。这是由于k越大，分成越大，分成的波带数越多的波带数越多, 而未被抵消的波带面积越小的缘故。而未被抵消的波带面积越小的缘故。(1)光强分布光强分布 sin 相对光强曲线相对光强曲线1.00.0470.0170.0470.017oaa2a2a图15-64.条纹特点条纹特点:14(2)中央亮纹宽度：两个第一级暗纹间的距离称为中央亮纹的中央亮纹宽度：两个第一级暗纹间的距离称为中央亮纹的 宽度宽度 1是是第

9、一级第一级暗纹中心暗纹中心对应的角位置对应的角位置也称为也称为中央亮纹半角宽度：中央亮纹半角宽度： aa sinarc1中央亮纹的线宽度：中央亮纹的线宽度：affx 2tan210 其它各级明条纹的宽度为中央明条纹宽度的一半。其它各级明条纹的宽度为中央明条纹宽度的一半。xIx1x2衍射屏衍射屏透镜透镜观测屏观测屏x0 f 10 0 1 110tan22 fxx 15(4)波长对条纹宽度的影响波长对条纹宽度的影响 (3)缝宽对条纹的影响缝宽对条纹的影响当当a一定时一定时条纹在屏幕上的位置与波长成正比，如果用条纹在屏幕上的位置与波长成正比，如果用白光白光做做光源，中央为白色明条纹，其两侧各级都为彩

10、色条纹。该衍射光源，中央为白色明条纹，其两侧各级都为彩色条纹。该衍射图样称为图样称为衍射光谱衍射光谱。当当 ，0a 各级条纹全部并入中央条纹，形成单一的明条纹各级条纹全部并入中央条纹，形成单一的明条纹,这是光直线传播的结果这是光直线传播的结果，即衍射现象消失，即衍射现象消失。几何光学是波动光学在几何光学是波动光学在a 时的极限情况。时的极限情况。缝宽缝宽a越小，越小，衍射现象越明显。衍射现象越明显。衍射反比定律衍射反比定律afxx 021a 2k3k1k16例例1 波长为波长为 的单色光垂直入射到一狭的单色光垂直入射到一狭缝上，若第一级暗纹缝上，若第一级暗纹对应的对应的衍射角为衍射角为30，求

11、狭，求狭缝的缝宽及对应此缝的缝宽及对应此衍射角狭衍射角狭缝的缝的波阵面可分为几个半波带。波阵面可分为几个半波带。解解: 由单缝的暗纹条件：由单缝的暗纹条件： kka 22sink=1, =30, 算得：算得：a =2 。 (半半)波带数波带数=2/sin a (半半)波带数波带数 若不知某处是明纹还是暗纹，则若不知某处是明纹还是暗纹，则计算计算波带数的方法是：波带数的方法是：2k =2 。17例例2 单缝衍射，单缝衍射，a=0.6mm 透镜焦距透镜焦距 f=40cm , 可见光垂直入可见光垂直入射。在屏上射。在屏上x =1.4mm 处观察到明纹极大。处观察到明纹极大。求入射光波长及该求入射光波

12、长及该处衍射条纹的级次。处衍射条纹的级次。解解 :2)12(sin ka12sin2 ka mm12102 . 43 k0035. 04004 . 1tan fx k=1 1=14000k=2 2=8400 k=3 3=6000k=4 4=4667即在即在x=1.4mm处两种波长光的亮纹重叠处两种波长光的亮纹重叠橙色橙色 第第 3 级级 7个半波带个半波带青色青色 第第 4 级级 9个半波带个半波带12tan2 ka x f 明纹：明纹：18例例3已知一雷达位于路边已知一雷达位于路边d=15m处，射束与公路成处，射束与公路成15，天线，天线宽度宽度a= 0.20m，射束波长，射束波长 =30m

13、m。求：该雷达监视范围内公。求：该雷达监视范围内公路长路长L =?解：解：将雷达波束看成是将雷达波束看成是单缝衍射的单缝衍射的中央亮纹。中央亮纹。由：由：150m200mm30sin.a 163. 81 如图：如图：63.23151 37. 6151 m99)cot(cot dL可以将雷达天线看成是可以将雷达天线看成是发出衍射波的单缝，考发出衍射波的单缝，考虑到雷达距离公路较远虑到雷达距离公路较远, 故可按夫琅禾费衍射作故可按夫琅禾费衍射作近似计算。近似计算。daL L1 1 15119 12AB例例4 设有一单色光斜射到宽度为设有一单色光斜射到宽度为a的单缝上，求的单缝上，求单缝衍射明暗纹单

14、缝衍射明暗纹的中心位置。的中心位置。各级明、暗纹的中心位置：各级明、暗纹的中心位置：a(sin +sin ) =DC光线光线1与与2的光程差为：的光程差为：BD+CB = asin +asin (规定：衍射光在缝法线上侧，规定：衍射光在缝法线上侧， 取取“+”，下侧取，下侧取“-”)解：解：（k=1,2,）暗纹暗纹 = - 零级亮纹零级亮纹亮纹亮纹 kk 222)1(2 k20*14.3 圆孔衍射圆孔衍射 光学仪器的分辨本领光学仪器的分辨本领相对光相对光强曲线强曲线I圆孔直径圆孔直径D一一.小圆孔的夫琅和费衍射小圆孔的夫琅和费衍射爱里斑的半角宽度：爱里斑的半角宽度：爱里斑爱里斑D 22. 12

15、1二二.光学成像仪器的分辨本领光学成像仪器的分辨本领几何光学：一个点通过透镜成像于一点。几何光学：一个点通过透镜成像于一点。衍射观点：一个点通过透镜形成衍射图样。衍射观点：一个点通过透镜形成衍射图样。. .0.81.0不能分辨不能分辨恰能分辨恰能分辨 瑞利判据瑞利判据: 若一个点光源的衍射图样的中央最大处恰好若一个点光源的衍射图样的中央最大处恰好与另一点光源衍射图样的第一极小处相重合与另一点光源衍射图样的第一极小处相重合,则这两个点光源则这两个点光源恰能被分辨。恰能被分辨。.22 光学仪器的光学仪器的最小分辨角最小分辨角恰能分辨时两光点对透镜中心恰能分辨时两光点对透镜中心所张的角所张的角(即为

16、爱里斑的半角宽度即为爱里斑的半角宽度):分辨率为分辨率为 对望远镜，对望远镜， 不变，尽量增大透镜孔径不变，尽量增大透镜孔径D，以提高分辨率。，以提高分辨率。90年哈勃太空望远镜直径达年哈勃太空望远镜直径达2.4米。米。 对显微镜主要通过减小波长来提高分辨率。荣获对显微镜主要通过减小波长来提高分辨率。荣获1986年诺年诺贝尔物理学奖的扫描隧道显微镜最小分辨距离已达贝尔物理学奖的扫描隧道显微镜最小分辨距离已达0.01，能，能观察到单个原子的运动图像。观察到单个原子的运动图像。S1S2透镜透镜L透镜直径透镜直径DD 22. 1 22. 11DR23例题例题 通常亮度下通常亮度下, 人眼瞳孔的直径人

17、眼瞳孔的直径D=3mm，同学们最多坐同学们最多坐多远，才不会把黑板上写的相距多远，才不会把黑板上写的相距1cm的等号的等号“=”号看成是减号看成是减号号“ ”？解解 只需只需“=”号对人眼所张的角号对人眼所张的角 最小分辩角就行。最小分辩角就行。取取 =5500，有有(人眼的最人眼的最小分辩角小分辩角)由上式算得：由上式算得：d =45.5m。人眼人眼dL等号等号DdL 22. 11rad102 . 222. 14 DdL 24反射光栅反射光栅透射光栅透射光栅14.4 光栅衍射光栅衍射一一. . 光光栅栅 大量等宽等间距的平行狭缝大量等宽等间距的平行狭缝( (或反射面或反射面) )构成的光学元

18、构成的光学元件。件。dda是透光是透光(或反光或反光)部分的宽度部分的宽度d=a+b 光栅常数光栅常数b 是不透光是不透光(或不反光或不反光)部分的宽度部分的宽度种类：种类：25设平行光线垂直入射。设平行光线垂直入射。每条狭缝有衍射，缝间光线还每条狭缝有衍射，缝间光线还有干涉，有干涉，光栅衍射图样是光栅衍射图样是是单是单缝衍射和多缝干涉的总效果。缝衍射和多缝干涉的总效果。可以证明：可以证明：屏上合成光强屏上合成光强 =缝间干涉光强缝间干涉光强单缝衍射光强单缝衍射光强二二. . 平面透射光栅的平面透射光栅的衍衍射射1. 多光束干涉多光束干涉 设衍射角为设衍射角为 的光束经透镜会聚在屏上的的光束经

19、透镜会聚在屏上的P点，任意相邻两点，任意相邻两光束到达光束到达P点的光程差：点的光程差： sin)(sinbad (a+b)sin d=(a+b)oPEfabP26(a+b)sin d=(a+b)oPEfab sin)(sinbad (1)明纹明纹(主极大主极大)条件：条件： kd sin(k = 0,1,2,)iiPINANI222 2 此时缝间干涉加强，对应此时缝间干涉加强，对应主极大主极大亮纹亮纹。上式称为上式称为光栅方程。光栅方程。根据干涉理论，当根据干涉理论，当NAiAi(N为光栅的总缝数为光栅的总缝数)相位差相位差:振幅矢量图振幅矢量图:P点合振动的振幅点合振动的振幅:iPNAA

20、光强光强:光程差：光程差：27 2mN kNm , 2 , 1 sin2d 由由得：得： Nmd sin ), 12 , 12 , 2, 1, 1, 2 , 1( NNNNNm 和和N2个次极大。个次极大。当当N 很大时，很大时，在主极大明条纹之间实际上形成一片相当暗的背底。在主极大明条纹之间实际上形成一片相当暗的背底。 (2)暗纹条件：暗纹条件：如果如果N束衍射光在束衍射光在P点的光振动的振幅首尾连接成一闭合多边点的光振动的振幅首尾连接成一闭合多边形，则形，则P点的光振动的合振幅为零。即点的光振动的合振幅为零。即这时这时N束衍射光在束衍射光在P点干涉相消，点干涉相消，P点为暗纹。点为暗纹。A

21、2A3A4A5A6A10 PA相邻主极大间有相邻主极大间有N1个暗纹个暗纹282. 单缝衍射单缝衍射 缝数愈多，缝数愈多，亮纹愈细。亮纹愈细。0Ii-2-112单缝衍射光强单缝衍射光强(asin / k=(a)(dsin / 04-8-48多缝干涉光强多缝干涉光强 亮纹亮纹(主极大主极大)k=(b)IN2I0单单048-4-8dsin ( /d)单缝衍射单缝衍射 轮廓线轮廓线光栅衍射光栅衍射光强曲线光强曲线k=(dsin / (c)iINI2 29, 3 , 2 , 1 sin kka， (2)主极大亮纹出现缺级现象主极大亮纹出现缺级现象, 2 , 1 , 0sin kkd， 单缝衍射暗纹：单

22、缝衍射暗纹：缝间干涉明纹：缝间干涉明纹：为整数时，会出现缺级：为整数时，会出现缺级：kkad (1)各主极大亮纹的强度受到单缝衍射的调制。各主极大亮纹的强度受到单缝衍射的调制。IN2I0单单048-4-8dsin ( /d)单缝衍射单缝衍射 轮廓线轮廓线光栅衍射光栅衍射光强曲线光强曲线k=(dsin / 图图15-10 (c), 3 , 2 , 1, kadkk30综上所述，综上所述，光栅衍射是光栅衍射是N缝干涉和缝干涉和N个单缝衍射的总效果，衍个单缝衍射的总效果，衍射图样的射图样的特点特点: 在黑暗的背景上显现窄细明亮的谱线在黑暗的背景上显现窄细明亮的谱线(N越大越大谱线越细越亮谱线越细越亮

23、)，且各级亮纹强度不同，还可能出现缺级。，且各级亮纹强度不同，还可能出现缺级。如果用白光照射光栅如果用白光照射光栅, 由光栅方程由光栅方程 dsin = k , ( k=0, 1, 2,)可知可知, 同一级谱线中，不同波长的谱线出现在不同的同一级谱线中，不同波长的谱线出现在不同的 角处角处(中央零级除外中央零级除外), 由中央向外按波长由短到长的次序分开排由中央向外按波长由短到长的次序分开排列，形成颜色的光带列，形成颜色的光带光栅光谱光栅光谱。这就是光栅的色散特性。这就是光栅的色散特性。3.光栅光谱光栅光谱k=0k=1k=2k=3k=-1k=-2k=-331例例5 波长波长 =6000的单色平

24、行光垂直照射光栅，发现两相邻的单色平行光垂直照射光栅，发现两相邻的主极大分别出现在的主极大分别出现在sin 1=0.2和和sin 2=0.3处，而第处，而第4级缺级。级缺级。求：求： (1)光栅常数光栅常数 d=？ (2)最小缝宽最小缝宽 a=？ (3)屏上实际呈现的全部级别和亮纹条数。屏上实际呈现的全部级别和亮纹条数。解：解：(1)由题意有由题意有 dsin 1 =k , dsin 2=(k+1) 于是求得光栅常数于是求得光栅常数12sinsin d=10 =610-6m(2)因第因第4级缺级，由缺级公式：级缺级，由缺级公式：kadk =4，取取k =1(因要因要a最小最小)32求得：求得：

25、 a=d/4 =1.5-6m由光栅方程：由光栅方程： dsin =k 最大最大k对应对应 =90，于是，于是 kmax=d / =10缺级：缺级：8 , 44 kkadk屏上实际呈现屏上实际呈现 0，1，2，3，5，6，7，9级，级，15条亮条亮纹纹(10在无穷远处，看不见在无穷远处，看不见)。opEfab(3)屏上实际呈现的全部级别和亮纹条数屏上实际呈现的全部级别和亮纹条数: 33例例6 一双缝，缝距一双缝，缝距d=0.40mm，两缝宽度都是，两缝宽度都是a=0.08mm, 用波用波长为长为 =4800的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距 f =2.0

26、m 的透镜，求：的透镜，求：(1) 在透镜焦平面处的屏上，双缝干涉条在透镜焦平面处的屏上，双缝干涉条纹的间距纹的间距 x；(2)在单缝衍射中央亮纹包迹内可能出现的主极在单缝衍射中央亮纹包迹内可能出现的主极大亮纹数目。大亮纹数目。 kd sin第第k级亮纹在屏上的位置：级亮纹在屏上的位置：dkfffxk sintan相邻亮纹的间距：相邻亮纹的间距：m104 . 231 dfxxxkk (1)双缝干涉第双缝干涉第k级亮纹条件：级亮纹条件：ad f透镜透镜 Pkx 解解:341110 xxN(2)衍射的影响：衍射的影响：单缝衍射中央明纹宽度单缝衍射中央明纹宽度:afx 20 m10422 IN2I0

27、单单048-4-8单缝衍射单缝衍射轮廓线轮廓线应缺应缺5 10等级等级在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目为：在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目为：kkadk 5又因又因4, 3, 2, 1, 0 k即即等等9条条35例例7 一个每厘米刻有一个每厘米刻有4000条缝的光栅，在白光垂直照射下，条缝的光栅，在白光垂直照射下，可以产生多少完整的光谱？问哪一级光谱中的哪个波长的光开可以产生多少完整的光谱？问哪一级光谱中的哪个波长的光开始与其它谱线重叠？始与其它谱线重叠？ 解解 : nm760,nm400 红红紫紫 根据光栅方程根据光栅方程 kba sin)(对第对第k级光谱，要产生完整的

28、光谱，必须满足级光谱，要产生完整的光谱，必须满足 紫紫红红)1( kk 红红红红 kbak sin)(由由: 紫紫紫紫）（ 1sin)(1 kbakm105 . 2400010162 bad36得：得： 紫紫红红）（ 1 kk）（1104106777 kk.只有只有k=1才满足上式，所以只能产生一个完整的可见光谱，而才满足上式，所以只能产生一个完整的可见光谱，而第二级和第三级光谱即有重叠出现。第二级和第三级光谱即有重叠出现。 设第二级光谱中波长为设第二级光谱中波长为 的光与第三级中紫光开始重叠，这的光与第三级中紫光开始重叠，这样样 紫紫 )1( kk代代入入得得,2 knm600m106m10

29、4232377 紫紫 (白白)0级级 1级级2级级-2级级 -1级级3级级-3级级37解：解： (1)光栅常数为光栅常数为 kba sin)(例例8 用每毫米刻有用每毫米刻有500条纹的光栅，观察钠光谱线条纹的光栅，观察钠光谱线 =589.3nm。问问(1)平行光线垂直入射时；平行光线垂直入射时；(2)平行光线以入射角平行光线以入射角i= 30入射时入射时,最多能看见第几级条纹？总共有多少条条纹？最多能看见第几级条纹？总共有多少条条纹？1sin 令令：m102mm50016 bad4 . 3103 .58910266max bak得：得：k只能取整数，故取只能取整数，故取k=3, 即能看到第三

30、级条纹。即能看到第三级条纹。根据光栅方程根据光栅方程3, 2, 1, 0 k即即共共7条明纹。条明纹。38(2)如平行光以如平行光以i角入射时，光程差的计算公式应做适当的调整角入射时，光程差的计算公式应做适当的调整,如图所示。斜入射时的光栅方程为如图所示。斜入射时的光栅方程为 d (sin - sini )= k , k=0,1,2,.oPEfabi21在在o点上方观察到的最大级次为点上方观察到的最大级次为 k1m，取，取 =90o得得70. 1)30sin90)(sin(1 bakm而在而在o点下方观察到的最大级次为点下方观察到的最大级次为 k2m，取，取 = -90o 得得09. 5)30sin)90)(sin(2 bakm所