46部分习题和解答

1、本教材习题和参考答案及部分习题解答第四章4.1已知物体一点的六个应力分量为：x 50a , y 0, z 30a , yz 75a , zx 80a, xy 50a试求法线方向余弦为 ni 1，n2 g ,便 f的微分面上的总应力 T、正应力 n和 剪应力n。解：应力矢量T的三个分量为Tiii n 106.57a, F 28.033a, F 18.71a总应力 T，T2 T22 T32 111.8a。正应力 n Tn 26.04a。剪应力n 1nr 108.7a o4.2过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为n和m ,在这两个面上的应力矢量分别为T和T2,试证T m T2 n。证：利用应力量

2、的对称性，可得T1 m (n 0) m ijnmjjmmj (m 力 n T2 n。证毕。4.3某点的应力量为xxyxzyxyyzzxzyz且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求y及该平面的单位法向矢量解：设要求的单位法向矢量为作，则按题意有m 0即n2 2 n3 0, n1yn2 n3 0 , 2m n2 0(a)上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得(2 y 2)n2 0上式有两个解：n2 0或y 1。若n2 0 ,则代入式(a)中的三个式子，可得n3 0 ,这是不可能的。所以必有1代入式(a),利用n n 1 ,可求得e 2©2 ©3一6-4.4基础的悬臂伸出部

3、分具有三角柱体形状，见图 试验证应力分量4.8 ,下部受均匀压力作用，斜面自由,y xyX A( ar吗 E C)y A( arctgy 2Xy 2 B) x x2 y2匕z yz xz 0 , xy A9x2 y2满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数A、B和C解：将题中的应力分量代入平衡方程，可知它们满足平衡方程。在y 0的边界上，有边界条件(y ) y 0 q, ( xy ) y 0 0所给的应力分量xy自动满足上面的第二个条件。将y的表达式代入上面的第一个条件，得AB q(1)在上斜面上，有y xtg ,所以斜面上的应力分量可以简化成x A( sin cos C) , x A( si

4、ncosxyAsin2z yz斜面上的外法向方向余弦为nisin , n2cos将式(2)和(3)代入边界条件xz 0n3 0ij nj 0 ,得B),A(sin cos ) ABcos 0联立求解(1)和(4),得A -q, B tg , C tg4.5 图4.9表示一三角形水坝，已求得应力分量为x ax by, y cx dy, z 0,yzxz0,xydx ay x和i分别是坝身和水的比重。求常数 a、b、c、d ,使上述应力分量满足边界 条件。解：在x 0的边界上，有边界条件(x)x0。( xy)x0 0将题中的应力分量代入上面两式，可解得：a 0, b 1。在左侧的余面上，x ytg

5、 ,外法向方向余弦为ni cos , n2sin , % 0把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件ijnj 0 ,可解得：d1ctg2, c ctg (2 1ctg2 )。4.6 物体的表面由f(x,y,z) 0确定，沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷p(x,y, z),试写出其边界条件。解：物体表面上任意一点的外法向单位矢量为按题意，边界条件为o-n pn因此(T f P f/J即(T f P f f f f f上式的指标形式为ij f,jPf,i。4.7 如图4.10所示，半径为a的球体，一半沉浸在密度为的液体，试写出该球的全部边界条件。解：球面的外法向单位矢量为rn - a当z

6、o-n当zxiei xi二或小,aa0时，有边界条件0即o-r 0或0时，球面上的压力为ij xj 0。gz ,其中g为重力加速度，边界条件为gzn 即 o- rgzr 或 jgzx 。4.8物体的应力状态为有势力，即存在一个函数,其中 为矢径r的函数。(1)证明物体所受的体积力是，使f； (2)写出物体表面上的面力表达式。解：(1)应力场必须满足平衡方程,所以(T,i©i,iS所以，只要令(2)表面上的面力为T n 0- n I4.9已知六个应力分量n或ij中的3ij o0,求应力量的不变量并导出主应力公式。解：应力量的三个不变量为: 特征方程是Ilxy, I3 0。3 Ii 2

7、I2Il上式的三个根即三个主应力为I2) 00和2xy4.10已知三个主应力为3 ,在主坐标系中取正八面体，它的每个面都为正三角形，其法向单位矢量为3.3n159求八面体各个面上的正应力n33530和剪应力“1,解：0 ij ni nj -( 13Tmei, T2 TT i2n202 3，Cl2)2(23)2(332。4.11某点的应力分量为I 2233 0，122331，求：(1) 过此点法向为n -(e, e2 e3)的面上的正应力和剪应力；.3(2) 主方向、主应力、最大剪应力及其方向。解：(1) T .63左侬 e2 q),T2 T T 4 2。正应力为 n T n 2 。剪应力为 n

8、 ,T22 0。由此可知，2 是主应力，n j=(e e 63)是和其对应的主方向。(3) 用表示主应力，则()2(2)0所以，三个主应力是12,23。由上面的结论可知，和1对应的主方向是n ,又因为 23 是重根，所以和n垂直的任何方向都是主方向。弟五早5.1 把线性各向同性弹性体的应变用应力表示为ij Cijki ki,试写出柔度系数量 Cijki的具体表达式。解：5.2 橡皮立方块放在同样大小的铁盒，在上面用铁盖封闭，铁盖上受均布压力q作用，如图5.2所示。设铁盒和铁盖可以作为刚体看待，而且橡皮与铁盒之间无摩擦力。试求 铁盒侧面所受的压力、橡皮块的体积应变和橡皮中的最大剪应力。解：取压力

9、q的方向为z的方向，和其垂直的两个相互垂直的方向为x、y的方向。按题意有5.3 证明：对线性各向同性的弹性体来说，应力主方向与应变主方向是一致的。非各向同 性体是否具有这样的性质？试举例说明。解：对各向同，卜iE材料，设 n是应力的主方向，是相应的主应力，则Eni(1)各向同性的胡克定律是2ijij J ij将上式代入式，得 ni 2 ij nj n ,即ijnj 21()ni由此可知，n也是应变的主方向。类似地可证，应变主方向也是应力主方向。因此, 应力主方向和应变主方向一致。下面假定材料性质具有一个对称面。设所取的坐标系是应变主坐标系，且材料性质关于Oxy平面对称。因为 xy 0,所以从式

10、(5.14)得xy C41 x C42 y C43 z若应变主坐标系也是应力主坐标系，则xy 0 ,即C41 x C42 y C43 z 0上式只能在特殊的应变状态下才能成立。总之，对各向异性材料，应力主方向和应变 主方向不一定相同。5.4 对各向同性材料，试写出应力不变量和应变不变量之间的关系。解：由式(5.17)可得主应力和主应变之间的关系1 2 i(1)尺N弟八早6.16.2为什么同时以应力、应变和位移 15个量作未知函数求解时，应变协调方程是自动满足 的？解：因为应变和位移满足几何方程，所以应变协调方程自动满足。设u f ge2yg 2 (A& Be?)其中f、g、A、B为调和

11、函数，问常数 为何值时，上述的u为无体力弹性力学 的位移场。解：(Aei) ek(eiAei) ekXkXiXk同理(Be2)0。 由上面两式及f和g是调和函数可得u (i)g,2(i ) g,2因f、g、A、B为调和函数，所以2u 2 g,2(2)将式(i)、(2)代入无体力的Lam! -Navier方程，得()(i) 2 g,2 0上式成立的条件是()(i) 20即3Aieiij ejAjejii 06.3 已知弹性体的应力场为x 2x , y 2y x , xy 2x 2y , zx zy 0, z 2z o (i)求此弹性力学问题的体力场；(2)本题所给应力分量是否为弹性力学问题的应力

12、场。 解：6.4 证明下述Betti互易公式JgUSfi%dVT%idSf%idV ,SVSV其中Ti、fi、Ui和怪 的 )分别为同一弹性体上的两组面力、体力和位移。 证：6.5 如果体积力为零，试验证下述 (Papkovich-Neuber)位移满足平衡方程iu p g(P。P)其中2 p 0 ,2F0 0 o证：无体力的LamaNavier方程为()(u) 2u 0又 1,所以LameNavier方程可以写成1 22u - ( u) 01 26.6 设有受纯弯的等截面直杆，取杆的形心轴为X轴，弯矩所在的主平面为 Oxy平面。试证下述位移分量是该问题的解M xy yzEIM / 2(x2E

13、I 'M yz EIzyy2xyuoz2) zx xZ VoyX Wd 。提示：在杆的端面上，按圣维南原理，已知面力的边界条件可以放松为xdA 0,xzdA 0, xydA MAAA其中A是杆的横截面。证：容易验证所给的位移分量满足无体力时的Lame-Navier方程。用所给的位移可以求出应变，然后用胡克定律可以求出应力：(a)x 平，其它应力分量为零。上述应力分量满足杆侧面无面力的边界条件。杆端面的边界条件为xz yz o, xdA 0, xzdA 0, xydA MAAA式(a)表示的应力分量满足上述端面条件。所以，所给的位移分量是受纯弯直杆的解。6.7 图6.6表示一矩形板，一对

14、边均匀受拉，另一对边均匀受压，求应力和位移。解：显然板中的应力状态是均匀的。容易验证下述应力分量x qiy q2, z xyyz zx0满足平衡方程、协调方程和边界条件，即是本问题的解。由胡克定律可求得应变为e 1(qiq2)ei ei (q2qi)e2e2 q2)ee利用题3.11的结果，可求得位移为u Uo 3。(r r0) E(q1q?)(x x0)e11 ,E(q2qi)(y yo)e2 E(q q2)(z zo)e36.8 弹性半空间z 0,比重为 ,边界z 0上作用有均布压力 q ,设在z h处w 0, 求位移和应力。解：由问题的对称性，可以假设u v 0, w w(z)把上述位移

15、分量代入 LameNavier方程，可以发现有两个自动满足，余下的一个变成d2w dz22解之得w z2 Az B2(2 )其中的A、B是待定常数。由已知条件得w(h) h2 Ah B2(2 )所以B 2(2 )h2 Ahw 2(应力分量为(z22 ),h)2 A(zh)2-zA，愕(0边界上的边界条件为:)2T 0,z A , xy yz zx 0。T2 0 , T3 q。前两个条件自动满足，最后一个成为(2 )A q 即 A(1 2 )q2G(1)所以最后得w，5zh) 2q,z ( z q) , x y1( z q)， xyyZzx 0 o6.9 设一等截面杆受轴向拉力p作用，杆的横截面积为 A ,求应力分量和位移分量。设z轴和杆的轴线重合，原点取在杆长的一半处；并设在原点处， u v w 0 ,且uvv c0 zzx答案：6.10 当体力为零时，应力分量为xAy2(x2y2),yz0,yAx2(y2x2),zx0,zA (x2y2),xy2Axy式中，A 0。试检查它们是否可能发生 解：6.11 图6.7所示的矩形截面长杆偏心受压，压力为P,偏心距为e ,杆的横截面积为A，求应力分量。解：根据杆的受力特点，假设x0z八) x y xy yz zx其中、是待定的常数。6.12长方形板ABCD ,厚度为h ,两对边分别受均布的弯矩M1和M2作用，如图6