双曲线及标准方程

1、双曲线及标准方程定义图 象 方 程焦 点a.b.c的关系yoxF1F2yoF1F2 |MF1|+|MF2|=2a（2a|F1F2|）a2=b2+c2F ( c,0) F(0, c) oF1F2) 0( 12222baaybxo) 0( 12222babyax 椭圆的定义：平面内与两定点椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2的距离的的距离的和等于常数（大于和等于常数（大于 F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆。）的点的轨迹叫做椭圆。回顾：椭圆的定义是什么？思 考：平面内与两定点平面内与两定点F1，F2的距离的差为非零常的距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？数的点的轨迹是什么？定义：平面内与两个定点定义：

2、平面内与两个定点F F1 1，F F2 2的距离的差的的距离的差的绝对值绝对值等于等于非零非零常数（常数（小于小于F F1 1F F2 2）的点的轨迹叫双曲线。）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点这两个定点叫双曲线的焦点, ,两焦点的距离叫双曲线的两焦点的距离叫双曲线的焦距焦距. .思 考：平面内与两平面内与两定点定点F1，F2的的距离的差为距离的差为非零常数的非零常数的点的轨迹是点的轨迹是什么？什么？请思考？请思考？1、平面内与两定点的距离的差等于常数、平面内与两定点的距离的差等于常数2a（小于（小于|F|F1 1F F2 2| | ）的轨迹是什么？）的轨迹是什么？2、平面内与两定

3、点的距离的差的绝对值等于、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（等于常数（等于|F|F1 1F F2 2| | ）的轨迹是什么？）的轨迹是什么？3、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（大于常数（大于|F|F1 1F F2 2| | ）的轨迹是什么？）的轨迹是什么？双曲线的一支双曲线的一支是在直线是在直线F1F2上且上且 以以F1、F2为端点向外的两条射线为端点向外的两条射线不存在不存在相关结论：相关结论： 1、当|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|= 2a|F|= 2a|F|= 2a |F1 1F F2 2| |时时, ,M点的轨迹不存

4、在点的轨迹不存在4、当、当|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|= 2a=0|= 2a=0时，时，P点轨迹是双曲线点轨迹是双曲线其中当其中当|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|= 2a|= 2a时，时，M点轨迹是与点轨迹是与F2对对应的双曲线的一支；应的双曲线的一支； 当当|MF|MF2 2| | - - |MF|MF1 1|= 2a|= 2a时，时，M点轨迹是与点轨迹是与F1对应的双曲线的一支对应的双曲线的一支. M点轨迹是在点轨迹是在直直线线F F1 1F F2 2上且以上且以F1和和F2为端点向外的两条射线。为端点向外的两条射线。 M点的轨迹是线段点的轨迹是线段F F1

5、 1F F2 2的垂直平分线的垂直平分线 。xyo设设M（x , y）,双曲线的焦双曲线的焦距为距为2c（c0）,F1(-c,0),F2(c,0)常数为常数为2aF1F2M即即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = + 2a_以以F1,F2所在的直线为所在的直线为X轴，轴，线段线段F1F2的中点的中点o o为原点建立直角为原点建立直角坐标系坐标系1. 建系建系. .2.设点设点3.列式列式|MF1| - |MF2|= 2a如何求这优美的曲线的方程？如何求这优美的曲线的方程？4.4.化简化简. .F1F2xOyaycxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx

6、222)(ycxaacx)()(22222222acayaxac222bac)0,0(12222babyax焦点在焦点在y轴上的双曲线轴上的双曲线的标准方程的标准方程 想一想想一想F2F1yxo)0, 0( 12222babxayF1(0,-c), F2(0,c)222bac,焦焦 点点 位置确定：位置确定：椭圆看分母大小椭圆看分母大小双曲线看双曲线看x2、y2的系数正负的系数正负焦点在焦点在y轴上的双曲线的图象轴上的双曲线的图象是什么？标准方程怎样求？是什么？标准方程怎样求？x x2 2与与y y2 2的系数符号，决定焦的系数符号，决定焦 点所在的坐标轴，当点所在的坐标轴，当x x2 2,y

7、,y2 2哪哪个系数为正，焦点就在哪个个系数为正，焦点就在哪个轴上，双曲线的焦点所在位轴上，双曲线的焦点所在位置与分母的大小无关。置与分母的大小无关。注：注：例例1已知已知双曲线两个焦点的坐标为双曲线两个焦点的坐标为F1( - 5 , 0)、F2(5 , 0),双曲线上一点双曲线上一点P到到F1、F2的距离的差的距离的差的绝对值等于的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。，求双曲线的标准方程。解：因为双曲线的焦点在解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的轴上，所以设它的 2a=6 2c=10 2a=6 2c=10 a=3 c=5 a=3 c=5 b b2 2= 5= 52 2- 3- 32 2=

8、16 = 16 所求双曲线的标准方程为所求双曲线的标准方程为)00(12222babyax标准方程为标准方程为116922yx（2）双曲线的一个焦点坐标为（）双曲线的一个焦点坐标为（0，-6），经过点），经过点A（-5，6） 例例2已知已知双曲线的焦点为双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则，则 (1) a=_ , c =_ , b =_ (2) 双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为_(3)双曲线上一点，双曲线上一点， |PF1|=10, 则则|PF2|=_354116922yx4或或16| |PF1|

9、 - |PF2| | =6例例3 相距相距2000m的两个哨所的两个哨所A、B，听到远，听到远处传来的炮弹的爆炸声。已知当时的声速是处传来的炮弹的爆炸声。已知当时的声速是330m/s,在在A哨所听到爆炸声的时间比在哨所听到爆炸声的时间比在B哨哨所听到时迟所听到时迟4s，试判断爆炸点在什么样的曲，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程。线上，并求出曲线的方程。解（解（1）设爆炸点）设爆炸点P，由已知可得，由已知可得|PA|PB|=340 4=1360因为因为|AB|=20001360,又又|PA|PB|,所以点所以点P在在以以A、B为焦点的双曲线的靠近为焦点的双曲线的靠近B处的那支上。处

10、的那支上。（2）如图建立直角坐标系）如图建立直角坐标系xOy，使，使 A、B两点在两点在x轴上，并且点轴上，并且点O与线段与线段AB的中点重的中点重合合. 设爆炸点设爆炸点P的坐标为（的坐标为（x,y），则），则 即即2a=1360,a=680，2c=2000,c=1000 b2=c2a2=537600 所求双曲线的方程为：所求双曲线的方程为：6800,PAPB ) 0( 156440043560022xyx例例4 k 1,则关于则关于x、y的方程的方程(1- k )x2+y2=k2- 1所表示的曲线是所表示的曲线是 （ ) 解：原方程化为：解：原方程化为：A、焦点在、焦点在x轴上的椭圆轴上的椭圆C、焦点在、焦点在y轴上的椭圆轴上的椭圆B、焦点在、焦点在y轴上的双曲线轴上的双曲线D、焦点在、焦点在x轴上的双曲线轴上的双曲线 k1 k1 k k2 21 0 1+k 01 0 1+k 0方程的曲线为焦点在方程的曲线为焦点在y y轴上的双曲线。轴