2019-2020学年四川内江高二上期末数学试卷理科

1、2019-2020学年四川省内江市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡的指定位置上.）1. （5分）已知某班有学生 48人，为了解该班学生视力情况，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本已知3号，15号，39号学生在样本中，则样本中另外一个学生的编号是 （）A. 26B . 27C. 28D. 292. （5分）设B点是点A（2 ,3, 5）关于平面xOy的对称点，则|AB | （）A. 10B.V10C. v138D.383. （5分）直线2x y 1 0

2、和x 2y 1 0的位置关系是（）A,平行B.相交但不垂直C.垂直D.不能确定4. （5分）如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第 1次到第14次的考试成绩依次记为 A, A, A, , A4,如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么输出的结果是（）105. （5 分）方程（a 1）x y2a 1 0(aC. 7D. 6R）所表示的直线与圆（x 1）2 y2 25的位置关系是（）A.相离B .相切6. （5分）关于直线m、n及平面C.相交D.不能确定卜列命题中正确的个数是（）若m /若m /若m/ /若C. 2D. 37. (5 分)已知（%, y。

3、）为线性区域x, x2y120内的一点,1-0若2xo y° c 0恒成立，则c的取值范围是（A. (2,)B. 2 ,C. (1,)D. 1 ,8. （5分）已知点M (1,3)到直线 l : mx1 0的距离等于1 ,则实数m等于（9. （5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40 3 37 .（注：如果一个大于 1）在不超过11的素数中，随机的整数除1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数.选取2个不同的数，其和小于等于10的概率是（C.10. (5 分)若圆心坐标为2,1）的圆，被直线x

4、 y0截得的弦长为2,则这个圆的方程(x2)2 (y 1)2B.(x2)2 (y1)2C.(x222) (y 1)D.(x2)2 (y1)211. (5 分)已知正三棱锥BCD的外接球是球O ,正三棱锥底边BC点E在线段BD上，且2BEDE ,过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 （9A. ,3 42,3C. 2 , 4 11D. ,4 412. （5分）在直角坐标系内,已知 A（3,3）是以点C为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x y 1 0和uuir uun urnrx y 7 0,若圆上存在点 P,使得MPg：C

5、P CN） 0 ,其中点M （ m,0）、N（m,0）,则m的取值范围为（）A . （4,6）B. 4 , 6C. （3,7）D. 3 , 7二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. （5 分）已知 X1 , X2, X3 , Xn 的平均数为 a,则 2x 3, 2X2 3, 2% 3 的平均数是.14. （5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数 书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.已知一个5次多项式为f（X） 4x5 3x3 2x2 5x 1 ,用秦九韶算法求这个多项式当X 3时的值为.15. （5分）一条光

6、线从点（2, 4）射出，经直线 y x反射，其反射光线所在直线与圆22（X 3） （y 2） 1相切，则反射光线所在的直线方程为 .16. （5分）如图所示，在长方体 ABCD AB1CQ1中，BB1 RD1 ,点E是棱CQ上的一个动点，若平面BED1交棱AA于点F ,给出下列命题：四棱锥B1 BED1F的体积恒为定值；对于棱CG上任意一点E ,在棱AD上均有相应的点G ,使得CG/平面EBD1 ;存在点E ,使得B D 平面BD1 E ； 存在唯一的点E ,使得截面四边形 BED1F的周长取得最小值.其中为真命题的是 一.（填写所有正确答案的序号）D.G三、解答题：（本大题共6个小题，共70

7、分.解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. （10 分）已知直线 l:（a 1）x y 2 a 0（a R）.（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)当0(0,0)点到直线l距离最大时，求直线l的方程.18. (12分)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50 , 60) , 60 , 70) , 70 , 80) , 80 , 90) , 90 , 100.(I)求图中a的值;(n)根据频率分布直方图， 估计这100名学生语文成绩的平均分和中位数(要求写出计算过程，结果保留一位小数)19. (12分)如图，把长为 6,宽

8、为3的矩形折成正三棱柱 ABC A1B1C1 ,三棱柱的高度为3,矩形的对角线和三棱柱的侧棱BB、CCi的交点记为E、F .(1)在三棱柱ABC AB1C1中，若过Ai、E、F三点做一平面，求截得的几何体AB1C1EF的表面积;(2)求三棱柱中异面直线 AE与AF所成角的余弦值.20. (12分)某公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间 x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据:间隔时间x/分101112131415等候人数y /人232526292831再用剩下的2组数据进行检验.检调查小组先从这6组数据中选取4组

9、数据求线性回归方程,验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数？，再求？与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1,则称所求方程是“恰当回归方程” .(1)从这6组数据中随机选取 4组数据，求剩下的 2组数据的间隔时间相邻的概率；(2)若选取的是中间4组数据，求y关于x的线性回归方程 y依 夕，并判断此方程是否是“恰当回归方程”附：对于一组数据(Xi , yi), (X2 , y2),n(Xi X)(yi y)距的最小二乘估计分别为：t? J(Xi X)2i 121. (12分)如图，在四棱锥中 P ABCD中，AD,(Xn , yn),其回归直线y bX夕的斜率和截 n

10、Xi yi nXy二，夕 y bX .2-2Xi nX i 1CD, AD/BC, AD 2BC 2CD 4 ,PC 2而, PAD是正三角形.(1)求证：CD PA;(2)求AB与平面PCD所成角的余弦值.22 . (12分)已知圆心在X轴上的圆.一，3C与直线I:4x 3y 6 0切于点E(- , n),圆522P: x (a 3)x y ay 2a 2 0(1)求圆C的标准方程;(2)已知a 1,圆P与x轴相交于两点M , N (点M在点N的右侧).过点M任作一条倾斜角不为0的直线与圆C相交于A,B两点.问：是否存在实数a ,使得ANM BNM ?若存在，求出实数 a的值，若不存在，请说

11、明理由.2019-2020学年四川省内江市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡的指定位置上.）1. （5分）已知某班有学生 48人，为了解该班学生视力情况，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本已知3号，15号，39号学生在样本中，则样本中另外一个学生的编号是 （）A. 26B. 27C. 28D. 29【解答】解：样本间隔为48 4 12 ,则3 12 15 , 15 12 27 ,即另外一个学生编号是 27,故选：B .2. （5分）设

12、B点是点A（2 ,3, 5）关于平面xOy的对称点，则|AB | （）A . 10B . 710C.闻D. 38【解答】 解：Q点B是点A（2 ,3, 5）关于平面xOy的对称点，B的横标和纵标与 A相同，而竖标与 A相反，B（2 ,3,5）,直线AB与z轴平行，|AB| 5 （ 5） 10 ,故选：A .3. （5分）直线2x y 1 0和x 2y 1 0的位置关系是（）A,平行B.相交但不垂直C.垂直D.不能确定【解答】解：直线2x y 1 0的斜率K 2,1x 2y 1 0的斜率k2一.2可得斜率不相等，因此直线不平行.又kk21,因此不垂直.可得聊天直线位置关系是相交但是不垂直.故选：

13、B .4. （5分）如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第 1次到第14次的考试成绩依次记为 A, A, A, , A4,如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考第6页（共19页）试次数的一个算法流程图，那么输出的结果是（）画10C.i=M是D. 6解：分析程序中各变量、各语句的作用.根据流程图所示的顺序,可知该程序的作用是累计14次考试成绩大于等于 90分的次数.根据茎叶图可得大于等于90 分的成绩有 91, 93, 99, 98, 94, 95, 94, 102,105共9个.5. （5分）方程(a1)x2a 10（a R）所表示的直线与圆（x 1）2 y2 25的位置关系

14、是（）A.相离B.相切C.相交D,不能确定【解答】解:(a1)x2a 12) x y 10,联立x 2直线(a 1)x2a 10过定点(2,3),Q( 2221)2 321025,2,3)在圆(x1)2y2 25的内部,则直线(a 1)x y2a1 0与圆（x1)225的位置关系是相交.故选:6. （5分）关于直线n及平面卜列命题中正确的个数是（）若m/ , I若 m/ , n/ ,则 m/n若m, m/ / ,则若m, ，则mA. 0B. 1C. 2D. 3【解答】解：若m/ ,| n ,则m与n的关系是平行、异面，即 错误；若m/ , n/ ,则m与n的关系为平行、相交或异面，即 错误；若

15、m, m/ ,由面面垂直的判定定理，可知，即正确；若m , ，则m与 的关系是平行、相交（含垂直），即错误；所以只有正确，故选：B .x 2y 207. （5分）已知（% , yo）为线性区域 x, 1内的一点，若2x0 y c 0恒成立，则cx y 1-0的取值范围是（）A . （2,）B. 2 ,）C. （1, ）D. 1 ,）【解答】 解：由已知得到可行域如图：由图可知，对任意（x°, y°） D ,不等式2xo y c 0恒成立，即c 2x y恒成立，即c （2x y）max ,当直线z 2x y经过图中B（1,0）时z最大为2,所以c 2;故选：A.8. (5分)

16、已知点 M(1,3)到直线l :mx y 1 0的距离等于1,则实数m等于(C.D.【解答】 解：根据题意，点 M (1,3)到直线l :mx y 1 0的距离等于1,则有d 1mJJ1 1 ,解可得m -；,m2 149. (5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于 2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40 3 37 .(注：如果一个大于 1)在不超过11的素数中，随机的整数除1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数.选取2个不同的数，其和小于等于10的概率是()B.C.D.【解答】 解：根据题意，不超过 11的素数有2、3、5、7、11,

17、共5个,从中任选 2 个，有(2,3) , (2,5) , (2,7) , (2,11)、(3,5)、(3,7)、(3,11)、(5,7)、(5,11) , (7,11),共10种取法；其中和小于等于 10的取法有(2,3) , (2,5) , (2,7) , (3,5)、(3,7),共5种，则取出的两个数和小于等于10的概率P - - -10 2故选：A.10. (5分)若圆心坐标为(2,1)的圆，被直线x y 1 0截得的弦长为2,则这个圆的方程是()2222A. (x 2)2 (y 1)2 4B. (x 2)2 (y 1)2 4_ 22_ 22C. (x 2) (y 1)9D. (x 2

18、) (y 1)9【解答】解：由题意可得圆心到直线的距离d | 21| 2短，2所以圆的半径为：r2 d2 (-)2 9 ,所以圆的方程为：(x 2)2 (y 1)2 9;2故选：C .11. (5分)已知正三棱锥A BCD的外接球是球O ,正三棱锥底边BC 3,侧棱AB 2衣，点E在线段BD上，且2BE DE ,过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是()9-11A.,3 B. 2 , 3 C. 2 , 4 D.,4 44【解答】解：如图，设 BDC的中心为O1,球O的半径为R,连接 oQD , OD , O1E , OE , 2_ _2_ _ 2则 O1D 3sin60 -3 , A

19、O1AD DO1 3,在 Rt OO1D 中，R2 3 (3 R)2 ,解得 R 2 ,Q BD 3BE , DE 2 ,在 DEOi 中，Q E J3 4 2 V3 2 cos30 1 ,OE . O1E2 OO122 ,过点E作圆O的截面，当截面与 OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为：r 22 ( .2)22 ,最小面积为2当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4 .所得截面圆面积的取值范围是 2 , 4 .故选：C .12. (5分)在直角坐标系内，已知 A(3,3)是以点C为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点(异于点A)重合，两次的折痕方程分别为x

20、 y 1 0和uuir uun urnrx y 7 0,若圆上存在点 P,使得MPg：CP CN) 0 ,其中点M ( m,0)、N(m,0),则m的取值范围为()A . (4,6)B. 4 , 6C. (3,7)D. 3 , 7【解答】 解：由已知可得： A(3,3),A关于直线x y 1 0的对称点(2,4),A关于直线x y 7 0的对称点(4,4)均在以点C为圆心的圆上，故C点坐标为(3,4),半径为1,故设P点坐标为为(3 cos ,4 sin ), uuir则 MP (3 m cos ,4 sin ), uju uuir ujuCP CN NP (3 m cos ,4 sin ),

21、umr uur uuir2222MPgCP CN) cos 9 6cos m 16 8sin sin 10sin( ) 26 m 0(其中tan 3) 4故 m2 10sin( ) 26 16 , 36,解得：m 4 , 6故选：B .二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13. (5 分)已知 X1 , X2, X3 , Xn 的平均数为 a,则 2x 3, 2X2 3, 2% 3 的平均数是_2a 3【解答】 解：QX1, x2 , x3 , Xn的平均数为a ,XiX2X3Xn(2xi 3) (2X2 3) n(2 xn3)2X1X2Xnn故答案为：2a 3.14. (5

22、分)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.已知一个5次多项式为f(x) 4x5 3x3 2x2 5x 1 ,用秦九韶算法求这个多项式当x 3时的值为859 .【解答】 解：f(x) 4x5 3x3 2x2 5x 1 (4 x) x 3)x 2)x 5)x 1 ,贝U f (3)(4 3) 3 3) 3 2) 3 5) 3 1 859 ,故答案为：859.15. (5分)一条光线从点(2, 4)射出，经直线 y X反射，其反射光线所在直线与圆(X 3)2 (y 2)2 1相切，则反射光线所在的直线方程为X

23、 4 15x 8y 44 0_.【解答】解：点A( 2, 4)关于y轴的对称点为 A( 4, 2),当斜率存在时；故可设反射光线所在直线的方程为：y 2 k(x 4),化为kx y 4k 2 0 .Q反射光线与圆(x 3)2 (y 2)2 1相切，I 3k 2 4k 21圆心(3,2)到直线的距离d 1-不1 1 ,k2 ( 1)2化为8k 15 0;15.k 一.此时直线万程为：15x 8y 44 0 .8当斜率不存在时：直线的方程为X 4与圆(x 3)2 (y 2)2 1相切；反射光线所在的直线方程为：X 4, 15x 8y 44 0.故答案为：X 4, 15x 8y 44 0.16. (

24、5分)如图所示，在长方体 ABCD AB1C1D1中，BB1 BD1 ,点E是棱C。上的一个动点，若平面BED交棱AA于点F ,给出下列命题：四棱锥B1 BED1F的体积恒为定值；对于棱CCi上任意一点E ,在棱AD上均有相应的点G ,使得CG/平面EBDi ;存在点E ,使得B D 平面BDi E ;存在唯一的点E ,使得截面四边形 BED1F的周长取得最小值.其中为真命题的是 .（填写所有正确答案的序号）0.G【解答】解：由切割法可知， Vbi BEDF Ve BBDi Vf BBR ,因为CC"/AAi/平面BBQ ,所以E , F到平面 BBQi的距离为定值，可得四棱锥B B

25、EDiF的体积为定值，即 正确；可作出过CG的平面与平面EBD1平行，由面面平行的性质定理可得，存在无数个点E,在AD上均有相应的点G ,使得CG/平面EBD1 .同理，也存在无数个点 E ,在棱AD上均有相应的点 G ,使得CG与平面EBDi相交，即 错误；因为BB BDi ,所以对角面 BBiDiD为正方形，所以 BD BDi ,若BE BiC ,由三垂线定理知，BQ BE ,即有BD 平面BDiE ,故正确；存在点E使四边形BEDF为平行四边形，由对称性可得，当四边形BEDiF为菱形时，其周长取得最小值，即 正确.故答案为：.三、解答题：（本大题共6个小题，共70分.解答要写出文字说明，

26、证明过程或演算步骤.）17. (10 分)已知直线 l:(a 1)x y 2 a 0(a R).(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)当0(0,0)点到直线l距离最大时，求直线l的方程.【解答】解：(1)直线l : (a 1)x y 2 a 0,取x 0, y a 2 ,取 y 0, x a 1即a 2 a2，解得a 2或a 0, a 1故直线方程为x y 0或x y 2 0 .(2) l : (a 1)x y 2 a 0 变换得到 a(x 1) x y 2 0,故过定点 A(1,1),当直线l与AO垂直时，距离最大.koA 1 ,故 k 1,解得 a 0,故所求直线方程

27、为x y 2 0 .18. (12分)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50 , 60) , 60 , 70) , 70 , 80) , 80 , 90) , 90 , 100.(I)求图中a的值;(n)根据频率分布直方图， 估计这100名学生语文成绩的平均分和中位数(要求写出计算过程，结果保留一位小数)解：(1)由频率分布直方图中小矩形有面积之和为1,得:10(2a 0.02 0.03 0.04) 1,解得 a 0.005 .(2)这100名学生语文成绩的平均分为:55 0.05 65 0.4 75 0.3 85 0.2 95 0.05 73 （分

28、）Q这100名学生语文成绩在 50 , 70）的频率为（0.005 0.04） 10 0.45 ,这100名学生语文成绩在70 , 80）的频率为0.03 10 0.3, 05 0 45这100名学生语文成绩的中位数为：70 1071.7 （分）.0.319. （12分）如图，把长为 6,宽为3的矩形折成正三棱柱 ABC A1B1C1 ,三棱柱的高度为3,矩形的对角线和三棱柱的侧棱BR、CC1的交点记为E、F .（1）在三棱柱ABC AB1G中，若过AE、F三点做一平面，求截得的几何体AB1C1EF的表面积；（2）求三棱柱中异面直线 AE与AF所成角的余弦值.【解答】解：（1）由操作可知，该正

29、三棱柱的底面是边长为2的正三角形，正三棱柱的高为3.所求几何体的表面积为各面的面积之和.1 F 211, 21 _sin60 2 2sin60 . 3 ，21 2 2 2, 2BE B1C1 11 22 3,2AF V5, EF 而,AE 2五邪6 p邪.（2）延长CC到H ,使CH C F 1,连结AH , EH则易证AF / /AH ,p 一1 . _又 S/ACF - AC1S/ABC12 ABi1&ABE -A1B1 I 2S血边形B1cl FE又在三角形B1cB1E；CiFAEF 中,S/AEF。6 ,在 AEH 中，AE >/T-4 55, AH 疗7 F , EH

30、T-4 2夜,由余弦定值得cos EAH2,55 520. （12分）某公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间 x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间x/分101112131415等候人数y /人232526292831调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程， 再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数？，再求？与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1,则称所求方程是“恰当回归方程”.（1）从这6组数据中随机选取 4组数据，求剩下的 2组数

31、据的间隔时间相邻的概率；（2）若选取的是中间4组数据，求y关于x的线性回归方程 ？ & 充，并判断此方程是否是“恰当回归方程” .附：对于一组数据（Xi , yj,（X2, y2）, （Xn , yn）,其回归直线？ 右 夕的斜率和截(x X)(yi y)x y nxy距的最小二乘估计分别为:a? y 取.(xi x)22xinx【解答】解：（1）设“从这6组数据中随机选取 4组数据后，剩下的2组数据相邻”为事件A,记这六组数据分别为 1, 2, 3, 4, 5, 6,剩下的 2 组数据的基本事件有 12, 13, 14, 15, 16, 23, 24, 25, 26, 34, 35,

32、 36, 45 , 46, 56,共 15 种,其中相邻的有12, 23, 34, 45, 56,共5种,所以 P(A) 1 .1.2 ，15 3间隔时间（分钟）11121314等候人数（人）25262928国以 _ 11 12 13 14_ 25 26 29 28因为 x 12.5, y 44nn所以 (x x)(y y) 6, (x x)2 5, i 1i 1（2）中间4组数据是:27 ,所以Bn(Xi x)(yi y) i 1 n(X X)2 i i夕 y bx 27 1.2 12.512,所以 y 1.2x 12 ,当x 10时，y1.2 10 12 24,2423 1, 1 ;当 x 15 时，？ 1.2 15 12 30,30 311,1 1|, 1；所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”21. （12分）如图，在四