对几何直观的理解

1、对儿何直观的理解课标（2011年版）在“课程设计思路”中提出了“几何直观”这个与学习内容 有关的新的核心概念，怎样理解“几何直观”？它在小学数学学习和教学中有何作用？一、把握十个核心概念的三个层次第一层，主要体现在某一內容领域的核心概念，女口；数感、符号意识、运算能 力主要体现在数与代数领域，空间观念主要怵现在图形与几何领域，数据分析观念 主要处现在统计与概率领域；第二层，体现在不同领域的核心概念，包括几何直观、推理能力和模型思想：第三层，超越课程内容，整个小学数学课程都应特别注重培养学生的应用意识 和创新意识。二、对直观的理解1、直观是相对的，有不同的层面和表现。眼前的美景难以描幕，我们拍下

2、照 片，这是一种直观；抽象的道理难以领悟，我们讲了一个故事，这是直观：复杂的 逻辑关系难以梳理，我们画了一个流程图，这也是直观。2、直观含有可视化的意思（英丈Visual ）,作为一个隐嗡，直观意味着是感 宫可以直接感知的，但并不局限干视觉。比如，相较于文字的描绘，芦音、颜色、 气味、图形、味逍，可以直接作用于不同感官的东西都可以构成一种直观。3、直观它是认识的浅层次阶段，是进一步抽象的基础，三、几何直观的含义标准指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.借助几何直观 可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果. 几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学

3、学习过程中都发挥着董要作 用”著名数学家徐利治先生也有过对几何直观的描述：“几何直观是借助干见到的 或想到的几何图形的形象关系，产生对数匡关系的直接感知也有学者这么描述；“几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系 的一种直接的识别或猜想的心理状态”从这些描述中，我们可以有以下的认识：几何直观是一种运用图形认识事物的能力，或者说是一种解决数学问题的忌継方 式。这种能力可外化为一种在解决某些数学问题时的方法，这种方法区别于其他 方法的典型特征在于它是以几何图形为工具的一一即“几何”两字的意义.用这种方法解决问题，不是运用几何中常用的论证方法，而是通过经验、观 察、想象等途径，直观地感知问题

4、的结果或方向一一即“直观”两字的意义.例如，三年级学生要学习同分子分数大小比较，这个知识相对比较抽象，学生 较难理解.此时，学生如果能主动地采取画出（或想到）几何图形的方式，然后通 过观察（或想象）图形的特点及联系，那么就能直观地解决问题，并锂解“分子相 同的分数，分母小的反而大”的道理。学生如果具备这种解决问题的思维方式，拿 握这样的方法，我们就可以说学生有几何直观的能力四、几何直观与数形结合在理解几何直观意义的过程中，聂大的因惑就是滩以将几何宜观与数形結合清 晰地区别开来.比如说，上文所举的分数大小比较时用几何图形来思考的例子，在 以前，我们一直将其视为用数形结合思想来解决问題的典型而如今

5、，这样的观念 要调整，数形结合变成了几何直观，这就难免让人产生疑惑：数形结合与几何直 观，区别到底在哪里？什么是数形结合？数形结合，是一种至要的数学思想方法，也是解决数学问题 的有效策略.它杲指解决数学问题时，可借助干“形”的直观来理解抽象的“数”， 或反过来运用“数”与“式”的描述来刻画“形”的特征。数形结合最基本的形式为“以形助数"和“以数解形"。如小学数学中的分数 应用题，我们运用画线段图未分析其中的数呈关系，这样的情况就可叫做“以形助 数”，在小学数学中，以数解形例子极少。而我们在直角坐标系中，用数对来描述 劉形的变化如平移、旋转），或计算两点之间的距离等这样的情况

6、则可叫做 “以数解形”。“以形助数”，是在发挥“形”所具有的直观特点，来降低“数”的 抽象度：而“以数解形”，则是在利用“数"的精确性，来准确刻画“形”，让 "形”得以垦化。如此，直观与抽象相互配合，取长补短，从而顺利、有效地解决 问题。如圮用一个不太恰当的比喻来形容数形结合的特点，它就好比是架设在 “数”与“形”之间的一条双向通道，起着由此及彼、相互彳足进的作用尿几何直观的概念可知，它是指“利用圏形描述和分析数学问题”。几何直观 就是用“形”来解抉数学问题。尽管这个“数学问题”可能井不仅仅是"数”，可 以是“形”或者其他数学问题。但不管怎样，如果与数形站合做个对

7、比，那么它就 只能算是一条由“形”岀发的单向通道而己.几何直观，也是在用“形”，但这个“形”，可以是眼睛见到的，可以是画出 的也可以是大脑想到的。更重要的是，它是要依托“形”直接地产生对数1:关系 及事物其他本质属性的感知，即“未经充分逻辑推理而对事物本质的一种宜接洞 寡，直接把握对象的全貌和对本质的认识。”五、几何直观案例几何直观是一种立足于“形”却带有思维跳贾性的解决数学问题的方式，它是 基于表象的、在人头脑中进行的“快捷推理”【案例】苏教版四年级下册“解决问题的策略（画图”有这样一题：小营村原来有一个宽20米的长方形鱼池。后来因扩建公路，鱼池的宽诚少了5米，这样鱼池的面积就城少了 150

8、平方采。现在鱼池的面积是多少平方米？多数学生画好图后（如古），现在？平方米f>-150平方采a20米这样算：1504-5=30 （米），30X （20-5） =450 （平方米）°有的学生因为读 题不仔细，同时受此前几题都娃求原来面积的干扰，算成了 30X20=600 （平方 米）。只有极少数的学生，根据画的图，直按列式计算：150X3-450 （平方米）。 对这样的简便算法，很多学生一时还不理解，但经学生或老师的解释，也都能恍然 大悟。考察直接列式计算的学生的思维过程，闻图给他提供了直观的刺激：宽是5 米的3倍，长不变，面积自然也是减少部分的3倍；更言接的，先看减少的150平

9、 方米，以5米作为标尺，根据图形，现在的面积是就是150平方米的3倍。在这个 过程中，150宁5=30的计算、长方形的面积公式是可以跳过去的。这体现了几何直 观的特点：未经充分逻辑推理而对事物本质的一种宜接洞察，直接把握对象的全貌 和对本质的认识。【累例2】在北师大版数学五年级下册“分数混令运算”的敎学中，教师 出示題目；小华录入一份辐件，录入了 3/'4后 还4' 700字，小华录入了多少字？ 解法（1：设这份槁件共有X个字，X- 3/4X=700, X=2800,所以X=2100o 解法（2） : 7004- （1-3/4） X3/4 =2100o在汇报究上述两种常规算法后

10、，有一男生澈动地说；我还有一种解法，700X 3=2100o学生们七嘴八舌，都认为该生的结果杲凑出来。这曲男生不服气了，说：我可没凑，我有依据的。我是借助线嚴图来解題的。该生在黑板上画歼线段图（如右）,31 宀,?，00 字1111边指着线段图边解说：整条线段表示一本书字数，录入了 3/4就是把线段平均分成了 4份，其中的3份表示已录 入的，剩下1饴没录，还剩700字就是这没录的1份。求小华录入了务少字，就杲 求3份的字数，所以用700X3。【案例3】在人教版六年级数学上册“分数除法” 一道练习题（如下）9 学枝举行科技作朋A:奖氛 共收到科技作品120件.（I）把下夜中的空临址场完螯.占佚奖作呂总救的几分之几伎奖作品件故7箕1T二奖1 为三诉奖124学生可以按照一般方法，先用24-1/2=48 （件），求得获奖作品总件数：M 用48X1/3=16 （件求得二等奖获奖作品件数；然后用48X 1/6=8 （件）求得一等 奖获奖作品件数。其实也可以借助图形，通过合情推理的方法得到结杲，而省去了中间繁琐的计 算。24人=yp丿、-、1/2(16)人 入、8 )r1/3人Y1/6C1)他们都直接借助圏形来思考，借助的手段有欄几何”特色。(2) 借助图形思考跳过了一些步骤，更加简洁、快速地获得答案，体现了 “直 观”的特色。(3) 几学生分析与解决的问题都不属于“图形与几