09-13全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类-无答案

1、2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题(每小题 5分，共20分),其中区域D由直线x y1与两(x y)ln(1 -)1.计算x-dxdyD .1 x y坐标轴所围成三角形区域.22.设f(x)是连续函数，且满足 f(x) 3x2q f (x)dx 2,则f(x)2x 23 .曲面z 一 y 2平行平面2x 2y z 0的切平面方程是 24 .设函数y y(x)由方程xef(y) eyln29确定，其中f具有二阶导数，且 fd2y .2.dxe二、(5分)求极限蚂(-x 2xnx e)x ,其中n是给定的正整数.f (xt)dt,且 limx 0f(x)xA , A为常数，求g

2、(x)并讨论g (x)在x 0处的连续性L为D的正向边界，试证:四、(15分)已知平面区域 D ( x, y) | 0 x , 0 y ,sin ysin xsin ysin x .(1) xe dy ye dx xe dy ye dx;LL：xesinydyLsin yye dx五、(10分)已知y1x 2xxxe e , y2 xex xee2xe x是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程六、(10分)设抛物线y ax2 bx 2lnc过原点.当0 x 1时，y 0 ,又已知该抛物线1与x轴及直线x 1所围图形的面积为 1.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋

3、3转体的体积最小.七、(15 分)已知 Un(x)满足 Un(x) Un(x) xn1ex(n 1,2,),且 un -,求函数项 n级数Un(x)之和.n 12八、(10分)求x 1时，与xn等价的无穷大量n 02010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、(25分，每小题5分)(1)设 xn (1 a)(1 a2)L (1 a2n),其中 |a| 1,求 lim4. n2x71求 lim e x 1 。 xx(3)设 s 0,求 I ° e sxxndx(n 1,2,L )。 222(4)设函数f(t)有二阶连续导数，r Jx2 y2,g(x,y) f 1 ，求三 g rxy(

4、5)求直线l1: x y 0与直线l2:?上上U的距离。z 0- 421、(15分)设函数f(x)在()上具有二阶导数，并且f (x) 0, lim f (x)0, lim f (x)0,且存在一点飞，使得f (x0) 0。x 2t t三、(15分)设函数y f(x)由参数方程(ty (t)1)所确定，其中(t)具有二阶导数，曲线y,t23 ,与y e u du "在t 1出相切，求函数(t)。12en四、(15分)设an 0,Snak,证明:k 1a .(1)当 1时，级数 ,收敛；n 1 Sna.当1且Sn(n )时，级数 二发散。n 1Sn五、(15分)设l是过原点、方向为(，

5、)，(其中2 1)的直线，均匀椭球222xyz2 -2" -2" 1 ,其中(0 c b a,留度为1)绕l旋转。abc(1)求其转动惯量；(2)求其转动惯量关于方向 (，)的最大值和最小值。六、（15分）设函数 （x）具有连续的导数， 在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分?2xyd: (2x)dy的值为常数。 c x y(1)22设L为正向闭曲线（x 2）2 y 1,证明？c2xydx(x)dy 0420;x y(2)求函数 （x）;(3)设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求、2xydx (x)dy?42°c x y2011年 第三届全国大学生数学竞

6、赛预赛试卷计算下列各题（本题共 3小题，每小题各5分，共15分）（1）.求 limx 0sin x1 cosx；(2 ).求 limn(3)x已知yIn2tearctanet以。dx2（本题10分）求方程 2x y 4 dxx y 1 dy 0的通解。（本题15分）设函数f（x）在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且0 均不为0,证明：存在唯一一组实数k1,k2,k3,使得limh 0k1fhk2f 2h k3f 3hI23h20。四.（本题17分）设2x1 : a2 y_ b22 z T 1 c，其中a b c 0 ,222,1在上各点的切平面到原点2:z x y , 为1与 2的交线，求椭

7、球面距离的最大值和最小值。22x 3y 1五.（本题16分）已知S是空间曲线绕y轴旋转形成的椭球面的上半部z 0分（z 0）取上侧，是s在P x,y,z点处的切平面，x,y,z是原点到切平面 的距离，表示s的正法向的方向余弦。计算：（1）zdS； z x 3 y z dSS x, y,zS六.（本题12分）设f（x）是在内的可微函数，且 f、x mf x ,其中0 m 1 ,任取实数a0 ,定义anln f an 1 , n 1,2,.,证明an an 1绝对收敛。七.(本题15分)是否存在区间0,2上的连续可微函数f(x),满足f 0 f 21,21,f x dx 1 ?请说明理由。o第四届

8、全国大学生数学竞赛预赛试卷一、(本大题共5小题, 出重要步骤)每小题6分共30分)解答下列个体(要求写出要求写1求极限ljm(n!)芦y 3z5y 4z3,1)。0的两个互相垂直的平面1和2,使其中02x求通过直线l :5x一个平面过点(4,已知函数z u(x , y)eax by,且20。确定常数a和b ,使函数z z(x , y) x y2满足方程一- x y x设函数u u(x)连续可微，u(2) 1,且(x 2y)udx (x u3)udy在右半平 面与路径无关，求u(x,y)。(5)求极限 lim Vx"f sin t dtx x .t cost、(本题10分)计算0 e2

9、xsin x dx三、求方程x2sin 1 2xx501的近似解，精确到0.001.四、(本题12分)设函数y f(x)二阶可导，且f (x) 0, f(0) 0, f(0) 0,3求lim x"一,其中u是曲线y f (x)上点P(x , f (x)处的切线在x轴 x 0 f (x)sin u上的截距。五、(本题12分)求最小实数C，使得满足；f(、. x)dx Cf(x)dx 1的连续函数f(x)都有六、(本题12分)设f(x)为连续函数，t 0。区域 是由抛物面z x2 y2 和球面x2 y2 z2 t2 (z 0)所围起来的部分。定义三重积分F (t) f (x2 y2 z2

10、)dv七、(本题14分)求F(t)的导数F (t)设 an与bn为正项级数，证明:n 1n 1(1)若 lim nn1bn(2)若 lim nan 1bn1bn 1L bn 10,则级数 an收敛；n 10,且级数 bn发散，则级数an发散n 1n 1第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1： n1 .求极限 lim 1 sin 44n2 . n2 .证明广义积分2 dx不是绝对收敛的0 x3.设函数yy x由x3 3x2y 2y3 2确定，求y x的极值。4.过曲线y3/x x0上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的 3面积为一，

11、求点A的坐标。4（满分12）计算定积分Idxxsin x arctanex"21 cos x三、（满分12分）设f x在x 0处存在二阶导数f 0 ,且lim f30 x 0 x证明：级数 f收敛。n 1 nb四、（满分12分）设f x , f xx b ,证明 sin f x dx五、（满分14分）设的曲面积分Ix3a是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型x dydz 2y3 y dzdx 3z3 z dxdy。试确定曲面使积分I的值最小，并求该最小值。六、（满分14分）设Ia r ?ydx xdy,其中a为常数，曲线C为椭圆22c x yx2 xy y2 r2,取正向。求极限l

12、im Ia r r五、1.2.3.4.5.（满分14分）判断级数一n的敛散性，若收敛，求其和。 n 2向量代数和空间解析几何向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6 .球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面 方程及其图形.7 .空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程出、解析几何部分一、向

13、量与坐标1,向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算2.坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算3,向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角4,向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.5.应用向量求解一些几何、三角问题.二、轨迹与方程1,曲面方程的定义：普通方程、参数方程（向量式与坐标式之间的互化 ）及其关系.2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系3,建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程 4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程三、平面与空间直线1 .平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义2 .从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程3 .根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.4 .根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程四、二次曲面1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程2,椭球面、双曲面与抛物面的标准方程