复习一元一次方程

1、例例2 2：某校为了美化校园某校为了美化校园,准备在一块长准备在一块长32米米,宽宽20米的长方形场地上修筑若干条道路米的长方形场地上修筑若干条道路,余余下部分作草坪下部分作草坪,并请全校同学参与设计并请全校同学参与设计,现在现在有两位学生各设计了一种方案有两位学生各设计了一种方案(如图如图),根据两根据两种设计方案各列出方程种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分求图中道路的宽分别是多少别是多少?使图使图(1),(2)的草坪的草坪面积面积为为540540米米2 2. .(1)(2)(1)解解:(1):(1)如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x米，则米，则540)220)(232(xx化简得，

2、化简得，025262xx0) 1)(25(xx1,2521xx其中的其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.图图(1)中道路的宽为中道路的宽为1米米.则横向的路面面积为则横向的路面面积为 ，分析：此题的相等关系分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面是矩形面积减去道路面积等于积等于540540米米2 2。解法一、解法一、 如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x x米，米，32x 32x 米米2 2纵向的路面面积为纵向的路面面积为 。20 x 20 x 米米2 2注意：这两个面积的重叠部分是注意：这两个面积的重叠部分是 x x2 2 米米2 2所列的方程是不是所列的方程

3、是不是32 20(3220 )540 xx？图中的道路面积不是图中的道路面积不是3220 xx米米2 2。(2)所以正确的方程是：所以正确的方程是：232 203220540 xxx化简得，化简得，2521000,xx其中的其中的 x=50 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去超出了原矩形的长和宽，应舍去. .取取x=2x=2时，道路总面积为：时，道路总面积为：232 2 20 2 2 =100 (米米2)草坪面积草坪面积= =32 20 100= 540（米（米2）答：所求道路的宽为答：所求道路的宽为2 2米。米。122,50 xx解法二：解法二： 我们利用我们利用“图形经过移动，图形经过移

4、动，它的面积大小不会改变它的面积大小不会改变”的道理，的道理，把纵、横两条路移动一下，使列把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）的位置修路）(2)(2)如图，设路宽为如图，设路宽为x x米，米，草坪矩形的长（横向）为草坪矩形的长（横向）为 ，草坪矩形的宽（纵向）草坪矩形的宽（纵向） 。相等关系是：草坪长相等关系是：草坪长草坪宽草坪宽=540=540米米2 2(20-x)(20-x)米米（32-x)32-x)米米即即3220540.xx化简得：化简得：212521000,50,2xx

5、xx再往下的计算、格式书写与解法再往下的计算、格式书写与解法1 1相同。相同。1.如图是宽为如图是宽为20米米,长为长为32米的矩形耕地米的矩形耕地,要修筑要修筑同样宽的三条道路同样宽的三条道路(两条纵向两条纵向,一条横向一条横向,且互相垂且互相垂直直),把耕地分成六块大小相等的试验地把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验要使试验地的面积为地的面积为570平方米平方米,问问:道路宽为多少米道路宽为多少米?解解: :设道路宽为设道路宽为x x米，米，则则(322 )(20)570 xx化简得，化简得，035362xx0) 1)(35(xx1,3521xx其中的其中的 x=35超出了原矩形的宽，

6、应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.答答:道路的宽为道路的宽为1米米.2.如图如图,长方形长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外四周外围环绕着宽度相等的小路围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为已知小路的面积为246m2,求小路的宽度求小路的宽度.ABCD解解: :设小路宽为设小路宽为x x米，米，则则2015246)215)(220(xx化简得，化简得，01233522xx0)412)(3(xx241,(321xx舍去）答答:小路的宽为小路的宽为3米米.例例3. (2003年年,舟山舟山)如图，有长为如图，有长为24米的篱笆，一面米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度利用墙（墙的最

7、大可用长度a为为10米），围成中间隔米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为为x米，米，面积为面积为S米米2，（1）求）求S与与x的函数关系式的函数关系式;（2）如果要围成面积为）如果要围成面积为45米米2的花圃，的花圃，AB的长是多少米？的长是多少米？【解析】【解析】(1)(1)设宽设宽ABAB为为x x米，米，则则BCBC为为(24-3x)(24-3x)米，这时面积米，这时面积S=x(24-3x)=-3xS=x(24-3x)=-3x2 2+24x+24x(2)(2)由条件由条件-3x-3x2 2+24x=45+24x=45化为：化为：x x

8、2 2-8x+15=0-8x+15=0解得解得x x1 1=5=5，x x2 2=3=30024-3x1024-3x10得得14/3x14/3x8 8xx2 2不合题意，不合题意，AB=5AB=5，即花圃的宽，即花圃的宽ABAB为为5 5米米1.如图，用长为如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为要围成苗圃的面积为81m2,应该应该怎么设计怎么设计?解解:设苗圃的一边长为设苗圃的一边长为xm,则则81)18( xx化简得，化简得，081182xx0)9(2 x答答:应围成一个边长为应围成一个边长为9米的正方形米的

9、正方形.921xx1.如图，宽为如图，宽为50cm的矩形图案由的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为则每个小长方形的面积为【 】A400cm2 B500cm2 C600cm2 D4000cm22. 在一幅长在一幅长80cm，宽，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为，设金色纸边的宽为xcm，那么，那么x满足的方程是满足的方程是【 】Ax2+130 x-1400=0 Bx2+65

10、x-350=0Cx2-130 x-1400=0 Dx2-65x-350=080cmxxxx50cmABC 这里要特别注意:在列一元二次方在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求是否符合实际问题的要求 列一元二次方程解应用题的步骤与列一元二次方程解应用题的步骤与 列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答即审、设、列、解、检、答小结小结定义及一般形式:v 只含有一个未知数只含有一个未知数,未知数的最高次数是未知数的最高次数是_的的_式方程式

11、方程,叫做一元二次方程。叫做一元二次方程。v一般形式一般形式:_二次二次整整axax2 2+bx+c=o (ao)+bx+c=o (ao)练习一练习一1、判断下面哪些方程是一元二次方程、判断下面哪些方程是一元二次方程222221x2y24(1)x -3x+4=x -7 ( ) (2) 2X = -4 ( )(3)3 X+5X-1=0 ( ) (4) 3x -20 ( )(5)13 ( )(6)0 ( )xy 练习二练习二2、把方程（、把方程（1-x x)(2-x x)=3-x x2 化为一化为一般形式是：般形式是：_, 其二次项其二次项系数是系数是_,一次项系数是一次项系数是_,常数常数项是项

12、是_.3、方程（、方程（m-2)x x|m| +3mx x-4=0是关于是关于x的一元二次方程，则的一元二次方程，则 （ ）A.m=A.m=2 B.m=2 C.m=-2 D.m 2 B.m=2 C.m=-2 D.m 2 2 2x2-3x-1=02-3-1C解一元二次方程的方法有几种解一元二次方程的方法有几种? ? 例例:解下列方程解下列方程v、用直接开平方法、用直接开平方法：(x+2)2=v2、用配方法解方程、用配方法解方程4x2-8x-5=0解解:两边开平方两边开平方,得得: x+2= 3 x=-23 x1=1, x2=-5右边开平方右边开平方后，根号前后，根号前取取“”。两边加上相等项两边

13、加上相等项“1”。 解解:移项移项,得得: 3x2-4x-7=0 a=3 b=-4 c=-7 b2-4ac=(-4)2-43(-7)=1000 x1= x2 = 解解:原方程化为原方程化为 （y+2) 2 3（y+2）=0 (y+2)(y+2-3)=0 (y+2)(y-1)=0 y+2=0 或或 y-1=0 y1=-2 y2=141002 563x=先变为一般先变为一般形式，代入形式，代入时注意符号。时注意符号。83-把把y+2y+2看作一个看作一个未知数，变成未知数，变成(ax+b)(cx+d(ax+b)(cx+d)=)=0 0形式。形式。3 3、用公式法解方程、用公式法解方程 3x3x2

14、2=4x+7=4x+74 4、用分解因式法解方程：（、用分解因式法解方程：（y+2)y+2)2 2=3(y+2=3(y+2）4 同除二次项系数化为同除二次项系数化为1；移常数项到右边；移常数项到右边；两边加上一次项系数一半的平方；两边加上一次项系数一半的平方；化为直接开平方形式化为直接开平方形式;解方程。解方程。步骤归纳步骤归纳 先化为一般形式；先化为一般形式；再确定再确定a、b、c,求求b2-4ac； 当当 b2-4ac 0时时,代入公式代入公式:242bbacxa-=步骤归纳步骤归纳若若b2-4ac0,方程没有实数根。方程没有实数根。右边化为右边化为0,左边化成两个因式左边化成两个因式的积

15、；的积；分别令两个因式为分别令两个因式为0，求解。，求解。步骤归纳步骤归纳选用适当方法解下列一元二次方程选用适当方法解下列一元二次方程v1 1、 (2x+1)(2x+1)2 2=64 =64 ( ( 法法）v2 2、 (x-2)(x-2)2 2- -(x+(x+) )2 2=0 =0 ( ( 法法）v3 3、( (x-x-) )2 2 -(4-(4-x)=x)= ( ( 法法）v4 4、 x x- -x-10=x-10= ( ( 法法）v5 5、 x x- -x-x-= = ( ( 法法）v6 6、 x xx-1=0 x-1=0 ( ( 法法）v7 7、 x x -x-x-= = ( ( 法法

16、）v8 8、 y y2 2- y-1=0- y-1=0 ( ( 法法） 2小结：选择方法的顺序是：小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法直接开平方法 分解因式法分解因式法 配方法配方法 公式法公式法分解因式分解因式分解因式分解因式 配方配方公式公式配方配方分解因式分解因式公式公式直接开平方直接开平方练习三练习三一一元元二二次次方方程程一元二次方程的定义一元二次方程的定义一元二次方程的解法一元二次方程的解法一元二次方程的应用一元二次方程的应用把握住：把握住：一个未知数，最高次数是一个未知数，最高次数是2， 整式方程整式方程一般形式：一般形式：ax+bx+c=0（a 0）直接开平方法：直接开平方法

17、： 适应于形如（适应于形如（x-k） =h（h0）型）型 配方法：配方法： 适应于任何一个一元二次方程适应于任何一个一元二次方程公式法：公式法： 适应于任何一个一元二次方程适应于任何一个一元二次方程因式分解法：因式分解法： 适应于左边能分解为两个一次式的积，适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是右边是0的方程的方程1.解方程解方程: (x+1)(x+2)=62. 已知已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10 求求a2+b2 的值。的值。中考直击中考直击思考思考探究探究新知新知 一辆汽车以一辆汽车以20m/s的速度行驶的速度行驶,司机发司机发 现前方路面有情况，现前方路面有情况， 紧急紧

18、急 刹车后汽刹车后汽 车又滑行车又滑行25m后停车后停车（1）从刹车到停车用了多少时间）从刹车到停车用了多少时间?（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?（3）刹车后汽车滑行到）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精时约用了多少时间（精确到确到0.1s）?分析：分析： （1）刚刹车时时速还是）刚刹车时时速还是20m/s，以后逐渐减少，以后逐渐减少，停车时时速为停车时时速为0 因为刹车以后，其速度的减少都是受因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为速度为=(20

19、+0)2=10m/s，那么根据：路程，那么根据：路程=速度速度时间，时间，便可求出所求的时间便可求出所求的时间解：（解：（1）从刹车到停车所用的路程是）从刹车到停车所用的路程是25m；从刹车到停车的平均车速是从刹车到停车的平均车速是=(20+0)2=10（m/s） 那么从刹车到停车所用的时间是那么从刹车到停车所用的时间是2510=2.5（s）分析：分析：（2）很明显，刚要刹车时车速为）很明显，刚要刹车时车速为20m/s，停车，停车车速为车速为0，车速减少值为，车速减少值为20-0=20，因为车速减少值，因为车速减少值20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以是在从刹车到停车所用的时间内完成

20、的，所以20除以除以从刹车到停车的时间即可从刹车到停车的时间即可 解：（解：（2）从刹车到停车车速的减少值是）从刹车到停车车速的减少值是20-0=20 从刹车到停车每秒平均车速减少值是从刹车到停车每秒平均车速减少值是 202.5=8（m/s） 探究探究新知新知 一辆汽车以一辆汽车以20m/s的速度行驶的速度行驶,司机发司机发 现前方路面有情况，现前方路面有情况， 紧急紧急 刹车后汽刹车后汽 车又滑行车又滑行25m后停车后停车（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?分析：分析：（3）设刹车后汽车滑行到）设刹车后汽车滑行到15m时约用了时约用了xs 由由于平均每秒

21、减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到15米的车速，从而可求出刹车到滑行到米的车速，从而可求出刹车到滑行到15m的平均速度，的平均速度，再根据：路程再根据：路程=速度速度时间，便可求出时间，便可求出x的值的值解：解： （3）设刹车后汽车滑行到）设刹车后汽车滑行到15m时约用了时约用了xs，这时车，这时车速为（速为（20-8x）m/s,则这段路程内的平均车速为则这段路程内的平均车速为20+(20-8x)2=（20-4x）m/s, 所以所以x（20-4x）=15 整理得：整理得：4x2-20 x+15=0 解方程：得解方程：得x= x14.08（

22、不合，舍去），（不合，舍去），x20.9（s） 答：刹车后汽车行驶到答：刹车后汽车行驶到15m时约用时约用0.9s2105 一辆汽车以一辆汽车以20m/s的速度行驶的速度行驶,司机发现前方路司机发现前方路 面有情况面有情况,紧急紧急 刹车后汽车又滑行刹车后汽车又滑行25m后停车后停车 （3）刹车后汽车滑行到）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间时约用了多少时间 （精确到（精确到0.1s）?探究探究新知新知 （1）同上题，求刹车后汽车行驶）同上题，求刹车后汽车行驶10m时约用了多时约用了多少时间（精确到少时间（精确到0.1s）（2）刹车后汽车行驶到）刹车后汽车行驶到20m时约用了多少时时约用了

23、多少时间（精确到间（精确到0.1s）1一个小球以一个小球以5m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动速，滚动10m后小球停下来（后小球停下来（1）小球滚动了多少时间）小球滚动了多少时间?（2）平均每秒小球的运动速度减少多少平均每秒小球的运动速度减少多少?（3）小球滚动到）小球滚动到5m时约用时约用了多少时间（精确到了多少时间（精确到0.1s）?解解:（1）小球滚动的平均速度）小球滚动的平均速度=(5+0)2=2.5（m/s） 小球滚动的时间：小球滚动的时间：102.5=4（s） (2)平均每秒小球的运动速度减少为平均每秒小球的运动速度减少为(50)2.5=2（m/s） （3）设小球滚动到）设小球滚动到5m时约用了时约用了xs，这时速度为（，这时速度为（5-2x）m/s,则这则这段路程内