矩阵分析lecture3线性变换及其矩阵

1、第三讲线性变换及其矩阵一、线性变换及其运算定义：设V是数域P上的线性空间，T是V到自身的-个映射，使得 对于V中的任意元素x均存在唯一的ywU与之对应，则称T 为V的-个变换或算子，记为Tx=y称y为x在变换T下的彖，x为y的原彖（或象源）。若变化T述满足T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty)V9 k9leP称厂为V的个线性变换或线性算子。注：T(kx + ly) = k(Tx) + l(Ty). Vx, y g VkJ g PT(x+ y) = T(x) + r(y),T(2x) = AT(x)yx,y g V,V/Ig P例1二维实向量空间R1，将其绕原点旋转&角的操作就是个线性变换。证

2、明x =y = 7 =:=勺 cose +耳、=一盒 sin & + ： cos 0QOS 6一 sin 0siu&lp cos引由eR可见该操作厂为变换，下面证明其为线性变换k, leRcos。一 Sill 0si】。| kx + /zt cosO 1 kx2 + lz2COS&sinO 一 sin 0cosOX2_cos&-sin 0sin0 cos。=k(Tx) +1 (Tz)T是线性变换。例2次数不超过的全体实多项式化构成实数域上的一个” + 1维的 线性空间，其基可选为i,x,x2, -,r,微分算子d = 是e上的一 个线性变换。证明显然D对代而言是变换，要证明D满足线性变换的条件

3、V/,gw 化，k9 leR2D(kf + lg) = k(Df)+l(Dg)D是人上的线性变换。例：定义在闭区间n,b上的所有实连续函数的集介Ca,b构成线 性空间，由tT(/(0) = J f(u)du,a tb定义的变换为线性变换。2. 性质(1) 线性变换把零元索仍变为零元素(2) 负元素的彖为原来元素的彖的负元素(3) 线性变换把线性相关的元索组仍变为线性相关的元素组证明线性变换 T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty)(1) T(O)=T(Ox)=O(Tx)=O(2) T(-x)=(-/)(7：v)=-(7：t)(3) 元素组“入,宀线性相关，即存在组不全为零的数 &卡2,km使m

4、S k“ = 0r=l贝 IJT(kixi) = i(Txi)=T( ax, ax = ax(4) 变换的相等：7、7；是V的两个线性变换，VxgV ,均有Ttx = T2xf 则称 T = T2(5) 线性变换的和7+7；： VxeV, (Tl + T1)x = T,x + Tx1(6) 线性变换的数乘灯：VxgV, (kT)x = k(Tx)负变换：(-T)x = -(Tx)(7) 线性变换的乘积T VxgV, (T1T2)x=T1(T2(8) 逆变换厂h VxeV,若存在线性变换S使得(S7三x，则称S 为丁的逆变换S = Tlo逆变换亦为线性变换。但并非所有变 换都有逆。(9) 线性变

5、换的多项式：T” = TTT ,并规定Tq = T,/()=a。+如+卩异“= wnONN- f(T)x=a,rxH=0fl=0需要说明的是:1) 7；也称为单位变换，它的矩阵衣示为单位矩阵八2) %对应的矩阵农示为零矩阵；3) 和矩阵的乘积样，线性变换的乘积不满足交换律；4) 不是所有的变换都具有逆变换，只有满秩变换才有逆变换，ST=Tex5) 恒等变换、零变换、线性变换的和、乘积多项式及逆变换(若存 在)均为线性变换。6) 记L(V)为数域P上的线性空间V的全体线性变换组成的集合。易 证L(V)构成数域P上线性空间。7) 线性变换T的彖子空间(值空间人Ty)= TaaVT(V)的维数称为线

6、件变换的秩。8) 线性变换T的核了空间(零空间)：ker(T) = a e V | Ta = 0) =(0)kei(7)的维数称为线性变换T的零度。4. 定理：设T是n维线性空间V的线性变换，则有维数关系：dun T(V) + dim Tl (0) = n证明：设dm】厂Y0) = 勺,冬,q是厂(0)的一组基，我们将它扩充, 使弓,务 占，占成为V的一 组基，显然5 + / = Ko如能证明dun T(V) = t则定理便得证。现设X是V的任一向量，则有1-1 ;1由于r(e,) = O,/ = l,- -,5,所以，= f 仍丁 (巧)冃当然，T(x)eT(V)o所以上式表示T(V)中的任

7、一向量都是向量组TGMG),()(*)的线性组合.现证向量组(*)线性无关，设有叨()=01=1则T(工= 1-1从而尸工gwTT(O)所以，y可由厂0)的基勺尼，线性农示，即y=idiej因此，士 c声厂f d再=0|1J1因为弓，冬，尼占，店为V的一组基,故有q = O,dj = 0(/ = 1,f = 1,s)向量组(水)线性无关，mTg,)是T (V)的i组基，T (V)的维数等于t。例：给定矩阵1 3 54= 2 1 70 1 2将A视为线性变换：RR，求R(A)和N(A)的维数。二、线性变换的矩阵表示线性变换用矩阵农示，将抽象的线性变换转化为具体的矩阵形式。定理设V是数域P上的一个

8、11维线性空间，勺灼，总是它的一组 基。又g心,，乩是V的任意n个向量。则存在唯一的一个线性变换 T,使得T(el) = gl,T(e2)= g2,-J(en) = gn (1)证明：先证明唯一性。若除了满足条件(1)的线性变换T之外，还有线性变换S也满足：S(q)二 ,SG)二 g?,S(q)= g”现取xB,且设则有t w=nx 弘)=x 召T C)躯i-l/!同理,S(x) = Xi=l即对任一T,都有S(x) = 7x),所以S,唯一性得证。下证存在性。对V中任一向量兀，由等式W) = X躯 i=i定义V的一个变换T。T显然是V的一个变换。易证T是线性变换，现取X,则由(2)得丁 ()

9、= g,= l，川即线性变换T满足(l)o设T是线性空间V的一个线性变换，口血 是V的-个基,Vx 6 V ,存在唯一的坐标衣示 x=ee2, en :=勺勺 + 冬勺 + + 金S_ =T(矗1 +穿2 +即“)&=g Te2 Ten) 2=%因此，要确定线性变换丁，只需确定基元素在该变换卜的象就可 以了。现取V的一组基e晟,心，则每个飞都是V中的向量(i=l,-,n).故可设“,电,电=国，勺,总人称A为线性变换T在基勺,耳,耳卜的矩阵。对于任意元素x,在该基下，变换后7k的坐标农示为71%=勺2,，匕%:同时Tx=r (勺勺-)1&= e9e2, -9enA112=A2Jln_对比可知:

10、Tx A2从而可得如下定理：定理2：数域Pn维线性空间V的所有变换构成的线性空间L(V),在取定V的组基之下，它与数域P上切X”矩阵所构成的线性空 间严x是同构的。推论:dun L(V) = dun P” = tf定理3：设弓心，血是数域P上n维线性空间V的1基，在这组基卜，按照(3)式建立的线性变换同矩阵的对应关系，则有：(1) 线性变换的乘积对应矩阵的乘积；(2) nJ*逆线性变换对应的矩阵也nJ逆，且逆变换对应逆矩阵。 证明：1) 设T,S是线性空间V的两个线性变换，在所取定的基卜， 它们对应的矩阵分别是A,B,即是说，对于i=l,-mi,有Tq = X 叭=2 Vi因此得(75)弓=T

11、(Se,) = T( bkiek) = bj(ek)A=1E=X 瓦( 如勺*=1 /=1 /=1 1=1= tv/1这里/!5 =工认W = 1,町*=1上式表明，n阶矩阵C = Ci)”xn = AB因此，线性变换的乘积TS在所取基下的矩阵是AB。换言之， 当 TtAStB 时，则有 TS T AB。2) 单位线性变换I在基勺尼,匕卜，的矩阵是单位矩阵E,所以当有 ST = TS = I 时，BA=AB=E o 证毕。推论.设线性变换卩在V的基g,心下的矩阵为力，元素X在该基卜的坐标为（匚2,兌），则心在该基卜的坐标几）满足12=A &Jln_3和似矩阵定理1：设丁在V的两组基 w 及勺尼

12、，总的矩阵分别为A和B,从前组基到后组基的过度矩阵是C,则B=ClAC即人和B为相似矩阵（A与B相似）。证明由假设el9e2,-,en = el,e29-,enC71勺,勺,q =勺，勺，,勺A7勺,4,4,，耳从而有Te；,e；,=,eJC勺,勺，,即住=勺,勾,qAC所以CB=ACB = aAC定理2： 阶方阵A和相似的充要条件是A和B为同线性变换在不同基卜的矩阵。证明必要性：已知A和相似，即存在可逆矩阵P使B=P-AP 选取一个基勺，勺，勺,定义nel9e.9 -9en = elfe29 -,enA考虑lel9e29 -,e = el9e29 - ,enP可作为基,且Tel9e29-9e

13、J = Tel9e29-9eJP= ，七，讣W=也，讣4和B为同一线性变换在不同基下的矩阵。充分性的证明由相似矩阵定义的证明给出。矩阵相似为等价关系，即满足：1) 自反性：A = IlA/2) 对称性：若AB,则B从B = PlAP = A= PBP- =(p7)”BP3) 传递性：若43, BC,贝lMC3=甲幼,C=Tb& =c=(啟尸A(人片)三、线性变换及矩阵的值域和核1. 定义：设丁是线性空间V的线性变换，称R(T)=TxxeV为T 的值域;N(T)=xxeV,Tx=O称为 7 的核。R(T)和N(T)均为V”的子空间。设A为m x n阶矩阵,称R(A) = Ax I xe Rnor

14、xe Cn为矩阵 A 的值域；N(A) = |xg Rnorxe Cn, Ax = O为4 的核。 dim/?(T)、dimN(T)称为卩的秩和零度； dimR(A)、dimN(A)称为A的秩和零度。2. 定理:(1) dimR(T) + dimN(T) = dimVw(2) dim /?( A) = rank (A)(3) dim/?(A)+ dimN(A) = n ,舁为 A 的列数。若A是线性变换了的矩阵，则dimR(T) = dim, dimN(T)=dimN(A)四、不变子空间定义：设T是线性空间V的-个线性变换，又W是V的八个子空间。 若对任一都有TxeW9亦即TWqW9则称*为T的不变子空 间。易见，零空间及V本身都是T的不变了空间。现设匕是n维线性空间V的两个子空间，且均为线性变换T的不变子空间。如果：V = V1K且q,e”，e”与如,，分别为和匕的一组基，贝U向量组便构成V的组基。由于X，匕对T不变，则血勺启也尼+均扃您1汽仙曲知均斤2朋斤2卄M謠i7e=a,