矩形截面梁运动控制方程的建立

1、矩形截面梁运动控制方程的建立任建立控制微分方程的时候.本文主耍应用了弹性力学屮的能量变分原理和Reissner 原理.（1）能量变分原理弹性梁的非线性據动问题在数学上耍通过积分控制方程來粘确求解足相当困 难的.U人多数情况卜不能求得梢确解。因此.人们就致力用能量变分法或其 他方法來近似求解.而避免了控制微分方程的因难。能量变分法冇两种用处.一 是可以用能量泛函通过变分近似求解薄板的各种边值问题而无需建立板的控制 微分方程。二是薄板的控制微分方程及边界条件可以通过那难量法來建立，特别 是疑难的边界条件.如自由边的边界条件就是克希當夫用能鼠法建立的。能屋变 分法足近似解法中最有成效的方法Z -，而

2、li它足半解析法和有限元等数值汁 算方法的理论基础。对于能啟变分法它的本质其实就是把求解弹性力学的爆本 方程的疋解问题，变化成求泛函数的极人极小值（或驻值）问题。而在求解问题 的近似解的时候.泛函数的极人极小值（或驻值）问题乂进而变为西数的极人极 小值（或驻值）问题。垃后町以把问题卩纳总结为求解线性代数力程组的问题。（2）Reissiiei 原理如果弹性体处运动状态.则根据达朗贝尔原理，在个质点上加上愤性力 后就町以将运动问题当作静力问）题來处理°2.1梁的理论及其应用建立并研究如下图所示的矩形截血梁假设截血离度h和截血宽度b的尺寸都 远远小梁的长度I同时假设梁的上表面承受横向均布荷

3、戦q（x）。q(x)图1梁的模型图y1 "1hA L,z则我们町以写岀梁在直角坐标系下的位移场为(2-1)u = u°(x,t)-zp(x,t) w= w(xj)式屮u° g) 一一梁中线沿X方向的位移. w(&t)一一梁中线沿z方向的位移U梁沿方向的位移。w一梁z方向的位移.梁的横向扭转角丄对浅梁行0(x4) = _蝕&t)dx.2. 2梁的运动控制方程的推导2.2.1基本方程的推导(1)建立梁的儿何方程分析过程屮考虑梁的儿何菲线性因索则根据经典非线性弹性理论，梁内任一点在某一瞬时的应变|格林应变张彊W來描述在笛卡儿坐标系中的分吊:形式为:4 专

4、gj+U + UJkj)(2-2)4 专gj+U + UJkj)(2-2)则有q = £ + 2k°(2-3)J = 0+ w播而扭率 疋=族，对浅梁有此二-Wi（2）建立弹性体（梁）的本构关系根据经典梁理论.氏在笛卡儿坐标系下的广义内力町眾义为N/fjdzMx = <TxzdzQx = £严业(2-4)Nx-一梁的轴向力；Mx-一梁所承受的弯矩；Qx梁所承受的横向剪力。则弹性体（梁）的本构关系町衣示为如卜形式JN A 0mJ0 D w及Qx =Crxz式屮(2-5)6)式屮- bq(x,t)wdx- (Nu° + M)ds(2-10)A一一梁的薄

5、膜刚度；D一一梁的弯曲刚度)C = Gh,G是梁的横向剪切刚度。且 £° = £?°,k° = (fix2. 2. 2 Reissner变分原理及其应用(1)弹性体(梁)运动(平衡)微分方程采用Reissner变分原理建立弹性体(梁)的运动半衡微分方程.以及相应边界 条件.旨先引入Reissner函数dV-JPAdS(27)式屮B(q)弹性体的余能密度.§为沿坐标i方向上每单位体积内的体积力，P】为 沿坐标i方向上每卩位血积所承受的农血力，V为弹性体所占的空间，S为弹性体 表面上|fl|力己被给定的那部分面积.若设梁岛为h,梁的质量密

6、度为必，梁在上衣血用受分布荷载q(xj)。将以 上(21)、(23)、(2-4). (2-5)各式代入(27),并对其沿髙度积分后，(2-7)式 右边第一项变为tt . rfNTpOl口】"(m kJ+Q%(2-8)又根据达朗贝尔(DalembertJbe.R)原理,将惯性力-匹,.当作分布力,而忽略质 慣体力.则(2-7)式第二项变为口2=匕仏h(u>° +卑")+异形賈(2-9)乂令瓦x、和飯x是己经给泄的沿梁的周边所施加的外力和外力矩，则(27)式右边第二项变为- bq(x,t)wdx- (Nu° + M)ds(2-10)根据Reissner

7、变分原理.冇$口二0 即(111+11+113)= °将(2-8)>(2-9)、(2-10)式代入上式.并结合上文的推导，可解得用应力衣示的梁的运动(平衡)微分方程(2-11)- bq(x,t)wdx- (Nu° + M)ds(2-10)- bq(x,t)wdx- (Nu° + M)ds(2-10)及相应的边界条件(2-12)Nx = Nx 或 u = u°Qx + Nxwx = 或 w = wMx = Mx 或(p= (p上式中.U°. W和0分别为梁屮僧边界上的Ll知位移和转角。将(2-11) 'P的第三式对x求导，则可求出Q

8、g 代入(241)中的第二式.可得出梁的横向运动控制方程Mg +(Nxwx )x - 纟你=pohwtt -q(2-13)乂将儿何方程(2-3)中”匹的表达式代入本构关系(2-6)中得Qx = C(+wx)(2-14)由(2-11) +的第三式有(2-15)(2-16)Q« = Mx.x - 舉 %将(215)式代入(2-14)式得if x?oh30+w.R -式(2-16)屮.I；为跟踪常数，1=0衣示不考虑横向剪切变形.X = 17</J<横向剪切变形被考虑。将应力表达式(2-5)代入方程(211)叮得用位移表示的梁的运动微分方程形式+ ww ,xx ,xx txw,

9、eA oA o D U,xse ,x'3A22D Wg吒_ q雲盛DD12D #(DPnh3、0+W*=TS(D (DC 412C»Xz(2-17)23方程的无量纲参数化0下面引入无量刚量加,U = -1 11- bq(x,t)wdx- (Nu° + M)ds(2-10)- bq(x,t)wdx- (Nu° + M)ds(2-10)Wg =，h_h _=p- bq(x,t)wdx- (Nu° + M)ds(2-10)- bq(x,t)wdx- (Nu° + M)ds(2-10)将以上各式代入(217)式并整理得到0 + 7虽(2-18)qo 羊,A=Eh,Elf12(1-t>2)G = _l_02(l + u)现对(218)式进行必翌的简化处理。不考虑梁