相似三角形典型综合题

1、一、相似三角形中的动点问题1. 如图，在 Rt ABC 中，/ ACB=90 ° , AC=3 , BC=4 , 过点B作射线BB1 / AC .动点D从点A出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动， 同时动点E从点C沿 射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH 丄AB于H，过点E作EF丄AC交射线BB1于F, G是 EF中点，连接 DG 设点D运动的时间为t秒.(1 )当t为何值时，AD=AB，并求出此时 DE的长度；(2 )当厶DEG 与厶ACB相似时，求t的值.30cm，点P从A点出发，沿着 AB以每秒4cm的 速度向B点运动；同时点 Q从C点出发，沿CA以 每秒

2、3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时， Q点随之停止运动.设运动的时间为x .(1 )当x为何值时，PQ / BC ?(2) APQ与厶CQB能否相似？若能， 求出AP的 长；若不能说明理由.2. 如图，在厶 ABC 中，ABC = 90 ° , AB=6m , BC=8m , 动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动.同 时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B 移动.当其中有一点到达终点时，它们都停止移动.设 移动的时间为t秒.(1) 当t=2.5s时，求 CPQ的面积；求 CPQ的面积S (平方米)关于时间t (秒)的函数 解析式；(2) 在P, Q移动

3、的过程中，当厶CPQ为等腰三角形时， 求出t的值.5. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm , BC=6cm , 点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动； 点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s 的速度 移动.如果P、Q同时出发，用t (s)表示移动的时 间(0 v t v 6 )。(1 )当t为何值时， QAP为等腰直角三角形？(2 )当t为何值时，以点 Q、A、P为顶点的三角形 与厶ABC相似？3. 如图 1，在 Rt ABC 中，ACB = 90 ° , AC = 6 , BC =8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于 点E , EM丄BD，垂足为

4、 M , EN丄CD，垂足为N .(1 )当 AD = CD 时，求证：DE / AC ;(2)探究：AD为何值时， BME与厶CNE相似？二、构造相似辅助线一一双垂直模型在平面直角坐标系 xOy中，点A的坐标为(2 , 1), 正比例函数y=kx的图象与线段 OA的夹角是45 ° , 求这个正比例函数的表达式.4. 如图所示，在 ABC 中，BA = BC = 20cm , AC =在厶 ABC 中，AB= , AC=4 , BC=2，以 AB 为边 在C点的异侧作 ABD，使 ABD为等腰直角三角 形，求线段CD的长.12.四边形ABCD中，AC 为AB、AD的比例中项， 且AC

5、平分/ DAB。求证：在厶 ABC 中，AC=BC，/ ACB=90。，点 M 是 AC 上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线 MN折叠， 使得点C恰好落在边AB上的P点求证：MC : NC=AP : PB 6. 如图，在直角坐标系中，矩形 ABCO的边0A在x轴 上，边0C在y轴上，点B的坐标为(1 , 3),将矩形 沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且 AD交y轴 于点E .那么D点的坐标为()A. B.C. D.10.已知，如图，直线 y=- 2x + 2与坐标轴交于 A、B两 点以AB为短边在第一象限 做一个矩形 ABCD，使得矩 形的两边之比为1 : 2。 求C、D两点的坐标。1

6、3. 在梯形 ABCD 中，AB / CD , AB = b , CD = a , E 为AD边上的任意一点，EF / AB，且EF交BC于点F , 某同学在研究这一问题时，发现如下事实：(1)当时，EF= ; (2)当时，EF=;当时，EF=.当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论，并给出证明.14. 已知：如图，在 ABC中，M是AC的中点，E、 F是BC上的两点，且 BE = EF = FC。求 BN : NQ : QM .三、构造相似辅助线A、X字型11.如图： ABC中，D是 AB 上一点，AD=AC , BC 边上的中线AE交CD于F。 求证：18. 如图，

7、在 ABC中，已知 CD为边AB上的高, 正方形EFGH的四个顶点分别在 ABC上。求证：.证明：（1 ）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于 该顶点对边上中线长的.（注：重心是三角形三条中线的 交点）（2 ）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对 边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例.19. 已知，在 ABC中作内接菱形 CDEF，设菱形的边长为a .求证:四、相似类定值问题15. 如图，在等边厶 ABC 中，M、N分别是边 AB , AC 的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别 交AC、AB于点E、F .求证：.16. 已知：如图，梯形ABCD 中，AB/DC ，对角线A

8、C、 BD交于0，过0作EF/AB 分别交 AD、BC于E、F。 求证：.五、相似之共线线段的比例问题20. （ 1 ）如图1，点在平行四边形 ABCD的对角线 BD上，一直线过点P分别交BA , BC的延长线于点 Q, S,交于点.求证：（2）如图2，图3，当点在平行四边形 ABCD的对 角线或的延长线上时，是否仍然成立？若成立，试给 出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；21. 已知：如图， ABC 中，AB = AC , AD是中线，P 是AD上一点，过 C作CF / AB，延长BP交AC于E , 交 CF 于 F .求证：BP2 = PE PF .线分别相交于

9、点E、F、G、H. 求证：24.已知，如图，锐角 ABC中，AD丄BC于D , H 为垂心（三角形三条高线的交点）；在AD上有一点P, 且/ BPC为直角.求证：PD2 = AD DH。22. 如图，已知ΔABC 中，AD , BF分别为BC ,AC边上的高，过 D作AB的垂线交 AB于E，交BF于G,交AC延长线于 H。求证：DE2=EG ?EH六、相似之等积式类型综合25.已知如图，CD是Rt ABC 斜边AB上的高，E 为BC的中点，ED的延长线交CA于F。求证：26如图，在 Rt ABC中，CD是斜边 AB上的高， 点M在CD上，DH丄BM 且与AC的延长线交于点

10、E.求证：(1 ) AED CBM ; (2)已知如图，P为平行四边形 ABCD的对角线AC上一 点，过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长27. 如图， ABC 是直角三角形，/ ACB=90 ° , CD丄 AB于D , E是AC的中点，ED的延长线与 CB的延长 线交于点F.(1) 求证：.(2) 若G是BC的中点，连接GD , GD与EF垂直吗？ 并说明理由七、相似基本模型应用30. ABC和厶DEF是两个等腰直角三角形，/ A= / D=90 ° , DEF 的顶点 E 位于边BC的中点上.(1 )如图1，设DE与AB 交于点M , EF与AC交于点 N

11、,求证： BEM CNE ;(2)如图2，将 DEF绕点 E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M , EF与AC交于点N，于是，除(1 ) 中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形 并证明你的结论.28. 如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点 M , CG与AD相交于点N .求 证：.IIfi29. 如图，BD、CE分别是 ABC的两边上的高，过 D 作DG丄BC于G ,分别交CE及BA的延长线于 F、H。 求证：(1) DG 2 = BG CG ; (2 ) BG CG = GF GH31. 如图，四边形ABCD和四边 形ACED都是平行四边形，

12、点R 为DE的中点，BR分别交AC、 CD于点P、Q .(1)请写出图中各对相似三角形 (相似比为1除外)； (2 )求 BP : PQ : QR .32. 如图，在厶ABC中，AD丄BC于D , DE丄AB于E , DF丄AC于F。求证：答案：1.答案：解：（1 ） /ACB=90 ° , AC=3 , BC=4/ AB=5又 AD=AB , AD=5t t=1，此时 CE=3 , DE=3+3-5=1（2）如图当点D在点E左侧，即：0 W t W时，DE=3t+3-5t=3-2t若厶DEG与厶ACB相似，有两种情况： 厶DEGACB，此时，即：，求得： t= ； 厶DEGBCA，

13、此时，即：，求得： t= ；如图，当点D在点E右侧，即: t时，DE=5t-（3t+3）=2t-3若厶DEG与厶ACB相似，有两种情况： 厶DEGACB，此时，即：，求得： t= ； 厶DEGBCA，此时，即：，求得： t= 综上， t 的值为或或或3. 答案：解：（1 ）证明：T AD=CD/ A= / ACDDE平分CDB交边BC于点E/ CDE= / BDE / CDB CDB的一个外角/ CDB= / A+ / ACD=2 / ACD / CDB= / CDE+ / BDE=2 / CDE/ ACD= / CDE DE / AC(2)/ NCE= / MBE EM 丄 BD ， EN

14、丄 CD ， BME CNE，如图 / NCE= / MBE BD=CD又NCE+ / ACD= / MBE+ / A=90 °/ ACD= / A AD=CD AD=BD=AB 在 Rt ABC 中，ACB = 90 ° , AC = 6 , BC = 8 AB=10 AD=5/ NCE= / MEB EM 丄 BD ， EN 丄 CD ， BME ENC，如图 / NCE= / MEB EM / CD CD 丄 AB 在 Rt ABC 中，ACB = 90 ° , AC = 6 , BC = 8 AB=10 / A= / A，/ ADC= / ACB ACDA

15、BC综上：AD=5或时， BME 与厶CNE相似.4. 答案：解（ 1 ）由题意： AP=4x ， CQ=3x ， AQ=30-3x ， 当 PQ / BC 时，即：解得：（ 2 ）能， AP=cm 或 AP=20cm 厶APQCBQ打即卩解得：或（舍）此时： AP=cm 厶APQCQB打即卩解得：（符合题意）此时： AP=cm故AP=cm 或20cm 时， APQ与厶CQB能相似.5. 答案：解：设运动时间为t，贝U DQ=t , AQ=6-t ,AP=2t ， BP=12-2t .（1 ）若厶QAP为等腰直角三角形，则 AQ=AP，即:6-t=2t ， t=2 （符合题意） t=2时， Q

16、AP为等腰直角三角形.（2）/ B= / QAP=90 ° 当 QAPABC 时，即:,解得：（符合题意） ； 当 PAQABC 时，即：，解得：（符合题意） .当或时，以点 Q、A、P为顶点的三角形与 ABC相 似.6答案：解：分两种情况第一种情况，图象经过第一、三象限7答案：解：情形一:D址圏.当上m占=9<r廿：”建婆 0 过启r> fjc迪二世寺叢QE 交CA的延氏过点A作AB丄OA，交待求直线于点 B，过点A作平行 于y轴的直线交x轴于点C,过点B作BD丄AC 则由上可知：=90 °由双垂直模型知： OCA ADB A （2 , 1 ）, = 45 &

17、#176; OC = 2 , AC = 1 , AO = ABAD = OC = 2 , BD = AC = 1D点坐标为（2 , 3）B点坐标为（1 , 3）此时正比例函数表达式为：y = 3x第二种情况，图象经过第二、四象限VA又丁 DE丄8为等荒肓俟三角二久_ 8L4 "C-在中” CD= JqYEVH情形二:情形三:过点A作AB丄OA，交待求直线于点 B，过点A作平行 于x轴的直线交y轴于点C,过点B作BD丄AC 则由上可知：=90 °由双垂直模型知： OCA ADB A （2 , 1 ）,= 45 ° OC = 1 , AC = 2 , AO = AB

18、AD = OC = 1 , BD = AC = 2D点坐标为（3 , 1 ） B点坐标为（3,- 1 ）此时正比例函数表达式为：y = x并蛊.44-1=90 旺：诗逅 g 吐空D吃Bt：时画叹DF* 7 CB 37 E孔垃于占只V AB=25t AOAt 8C=2A淖丿护 址490 +求：DF亠CF JED为苟扛直堵三垢腹，/. 5/>45.丄胡匸*-阳4 90 .氏4匸-”丿肮士90A _SAC_FBD:、一 :.Dm BF=AC-:* trRiC中.石 7恥、总兰时；*蓬接CP过点Q作BQ边上的高线DP,交饬的 延上线于点从 过W 作直技FQ边上豹辰线4Q 交PQ于点？V皿=沁H匚

19、=4，BC2二 JC'+BC'B： f ._-dCB-90* ,又7 DEdE, .4BD为筹菠直角三角形“/. AD=BDf "a °二 9CT » z<dfiDW+G-iZ>= 90p 上QDA+fEDP=9Y v二 jgA-BDP-r.二.QAD当厶FDR*'/. AQ=DP DQ=BF8. 答案：证明：方法一：连接PC,过点P作PD丄AC于D，贝U PD/BC根据折叠可知MN丄CP/ 2+ / PCN=90。，/ PCN+ / CNM=90 °/ 2= / CNM/ CDP= / NCM=90 ° P

20、DC s MCN MC : CN=PD : DC/ PD=DA MC : CN=DA : DC/ PD/BC DA : DC=PA : PB MC : CN=PA : PB方法二：如图，过M作MD丄AB于D，过N作NE丄AB于E由双垂直模型，可以推知 PMD s NPE，则，根据等比性质可知，而MD=DA , NE=EB , PM=CM ,PN=CN , MC : CN=PA : PB9. 答案：A解题思路：如图过点D作AB的平行线交BC的延长线于点 M，交x轴于点 N，则/ M= / DNA=90 ° ,由于折叠，可以得到 ABC ADC ,又由B (1 , 3) BC=DC=1

21、, AB=AD=MN=3 ，/ CDA= / B=90 ° / 1+ / 2=90 °/ / DNA=90 ° / 3+ / 2=90 ° / 1= / 3 DMC AND ,设 CM=x，贝U DN=3x , AN=1 + x , DM = 3x += 3 x =，则。答案为A10. 答案：解：过点C作x轴的平行线交y轴于G,过点D作y轴 的平行线交x轴于F，交GC的延长线于E。直线y= - 2x + 2与坐标轴交于 A、B两点 A (1,0 ), B (0,2 ) OA=1 , OB=2 , AB=/ AB : BC=1:2 BC=AD=/ ABO+

22、 / CBG=90。，/ ABO+ / BAO=90 ° / CBG= / BAO又/ CGB= / BOA=90 ° OAB GBC GB=2 , GC=4 GO=4 C (4,4 )同理可得厶ADFBAO，得 DF=2 , AF=4 OF=5 D (5,2 )11. 答案：证明：(方法一)如图延长AE至U M使得EM=AE，连接CM/ BE=CE，/ AEB= / MEC BEA CEM CM=AB，/ 1= / B AB / CM / M= / MAD，/ MCF= / ADF MCF ADF/ CM=AB , AD=AC(方法二)过D作DG / BC交AE于G则厶

23、ABE ADG , CEF DGF,/ AD=AC , BE=CE12. 答案：证明：过点D作DF / AB交AC的延长线于点 F，则/ 2= / 3/ AC 平分/ DAB/ 1= / 2/ 1= / 3 AD=DF/ DEF= / BEA，/ 2= / 3 BEA DEF/ AD=DF/ AC为AB、AD的比例中项即又/ 1= / 2 ACD ABC过点E作PQ / BC分别交BA延长线和DC于点P和点Q/ AB / CD , PQ / BC四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形 PB = EF = CQ ,又 T AB = b , CD = a AP = PB-AB = EF-b ,

24、 DQ = DC-QC = a-EF=AN : MF = 3:2 / BN : NM = 1:1 , NQ : QM = 3:2 BN : NQ : QM = 5:3:2如图1 , AD、BE ABC 的中线，且 AD、BE交于点O过点C作CF / BE，交AD的延长线于点 F/ CF / BE且E为AC中点 / AEO =Z ACF，/ OBD =Z FCD , AC = 2AE/ EAO =Z CAF AEO ACF/ D 为 BC 的中点，/ ODB =Z FDC BOD CFD BO = CF同理，可证另外两条中线三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线连接MF/ M是AC的中点，E

25、F = FC MF / AE 且 MF = AE BEN BFM BN : BM =BE : BF = NE : MF / BE = EF BN : BM = NE : MF =1:2 BN : NM = 1:1 设 NE = x，贝U MF = 2x , AE = 4x AN = 3x T MF / AE NAQ MFQ NQ : QM 如图2 , AD ABC的角平分线过点C作AB的平行线CE交AD的延长线于E 则/ BAD= / E AD ABC的角平分线 / BAD= / CAD / E= / CAD AC = CE/ CE / AB BAD CED16.答案：证明:如图，作 DP /

26、 AB , DQ / AC则四边形MDPB和四边形NDQC均为平行四边形且 DPQ是等边三角形 BP+CQ = MN , DP = DQ = PQ/ M、N分别是边AB , AC的中点MN = BC = PQ/ DP / AB , DQ / AC CDP CFB , BDQ BEC.DP = DQ = PQ = BC = AB AB ()=17.答案： 证明： EF/AB , AB/DC EF/DC AOE ACD , DOE DBA21.答案:证明:/ AB = AC , AD 是中线, AD 丄 BC,BP=CP / 1= / 2又ABC= / ACB / 3= / 4/ CF / AB1

27、8.答案：证明： EF / CD , EH / AB / 3= / F, / 4= / F 又EPC= / CPF AFE ADC , CEH CABEF = EH EPC CPF BP2 = PE PF即证所求22.答案：证明： DE丄AB=90=9019.答案：证明： EF / AC , DE / BC ADE DBEEF = DE = a20.答案：(1 )证明：在平行四边形 ABCD中，AD / BC , / DRP= / S，/ RDB= / DBS DRP BSP同理由AB / CD可证 PTD PQB BFE BCA , AED ABC(2)证明：成立，理由如下： 在平行四边形A

28、BCD中，AD / BC , / PRD= / S，/ RDP= / DBS DRP BSPDE2=BF 丄 AC=90 °=90。且 BEG HEA = DE2=EG&bull;EH23. 答案：证明： 四边形ABCD为平行四边形 AB / CD , AD / BC / 1= / 2，/ G= / H，/ 5= / 6 PAH PCG又3= / 4 APE CPF同理由AB / CD可证 PTDpqb答案：证明：如图，连接 BH交AC于点E ,BD CT H为垂心 BE 丄 AC/ EBC+ / BCA=90 °/ AD 丄 BC 于 D/ DAC+ / BCA=

29、90 °/ EBC= / DAC又/ BDH= / ADC=90 ° BDH sADC,即/ / BPC 为直角，AD 丄 BC PD2 =BD&middot;DC PD2 = AD&middot;DH24. 答案：证明：T CD是Rt ABC 斜边AB上的高，E 为BC的中点 CE=EB=DE/ B= / BDE= / FDAt/ B+ / CAB=90。，/ ACD+ / CAB=90 °/ B= / ACD/ FDA= / ACDt/ F= / F FDAFCDt/ ADC= / CDB=90 °，/ B= / ACD ACDCBD

30、即25. 答案：证明：(1 )t / ACB =/ ADC = 90 / A + / ACD = 90 °/ BCM +/ ACD = 90 ° / A = / BCM同理可得：/ MDH =/ MBDt/ CMB =/ CDB +/ MBD = 90 °+/ MBD/ADE =/ ADC +/ MDH = 90 °+/ MDH / ADE =/ CMB AED CBM(2)由上问可知：，即故只需证明即可t/ A = / A，/ ACD =/ ABC ACD ABC,即26. 答案：(1 )将结论写成比例的形式，可以考虑证 明厶FDB FCD (已经有一个公共角/ F)Rt ACD中，E是AC的中点 DE=AE / A= / ADEt/ ADE= / FDB / A= / FDB而/ A+ / ACD=90 &