关于矩阵的基本知识点

1、关于矩阵的基本知识点：主要意图：1. 掌握矩阵的加法，乘法及数与矩阵的乘法运算法则。及其基本性质，并熟练地对矩阵进行运算。2. 了解几种特殊矩阵的性质。 矩阵的运算 1 矩阵相等 我们将在一个数域上来讨论。令F是一个数域。用F的元素aij作成的一个m 行n 列矩阵 A= 叫做F上一个矩阵。A 也简记作（aij）。为了指明 A的行数和列数，有时也把它记作Amn或（aij ）mn。 一个 m行n列矩阵简称为一个m*n矩阵。特别，把一个n*n 矩阵叫做一个 n阶正方阵，或n阶矩阵。 F上两个矩阵，只有在它们有相同的行数和列数，并且对应位置上的 元素都相等时，才认为上相等的。以下提到矩阵时，都指的是数

2、域F上的矩阵。我们将引进三种运算：数与矩阵的乘法，矩阵的加法以及矩阵的乘法。先引入前两种运算。2 矩阵的线性运算定义 1 数域F的数 a 与F上一个m*n 矩阵A=(aij) 的乘法aA指的是m*n 矩阵（aaij） 定义 2 两个m*n 矩阵A=(aij)，B=(bij) 的和A+B指的是m*n 矩阵（aij+bij）。注意 ，我们只能把行数相同，列数相同的两个矩阵相加。以上两种运算的一个重要特例是数列的运算。 现在回到一般的矩阵。我们把元素全是零的矩阵叫做零矩阵，记作0。如果矩阵 A=(aij )，我们就把矩阵（- aij），叫做A 的负矩阵，记作A。3 矩阵线性运输的规律A+B=B+A；

3、(A+B)+C=A+(B+C)；0+A=A；A+(-A)=0；a(A+B)=Aa+Ab；(a+b)A=Aa+Ba ；a(bA)=(ab)A ；这里A,B 和 C 表示任意m*n 矩阵，而a 和 b 表示 F中的任意数。利用负矩阵，我们如下定义矩阵的减法：AB=A+（B）。于是有A+B=CA=CB。由于数列是矩阵的特例，以上运算规律对于数列也成立。 4 乘法定义 3 数域F 上的m*n矩阵A=(aij)与n*p矩阵B=(bij) 的乘积AB 指的是这样的一个m*p 矩阵。这个矩阵的第I行第j列（I=1,2,，m; j=1,2, p） 的元素cij等于A的第I行的元素与B的第j列的对应元素的乘积的

4、和： cij=ai1b1j+ai2b2j+ainbnj。 注意，两个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能相乘。 我们看一个例子: =.5 矩阵乘法的运算规律：对于数的乘法成立的运算规律，对于矩阵的乘法说并不都成立。值得一提的是以下两点。两个非零矩阵的乘积肯是零矩阵，例如： .矩阵的乘法不满足交换律。首先，当 p¹ m时 AmnBnp有意义，但BnpAmn没有意义。其次，AmnBnp 和BnmAmn虽然有意义，但是当m¹n时，头一个乘积是m阶矩阵而第二个是n阶矩阵，它们不相等。最后，AnnBnn和BnnAnn虽然都是n阶矩阵，但它们也未必相等。 例如 但是距阵

5、乘法满足结合律: (AB)C=A(BC)事实上,可以假定A=(aij)mn,B=(bij)np, C=(cij)pq,那么(AB)C和A(BC)都是m*n距阵,我们来证明它们的对应元素相等,令 AB=U=(uij), BC=V=(vij).由距阵乘法知, = , ,因此(AB)C=UC的第I行第j列的元素是 (1) 另一方面, A(BC)=AV 的第I行第 j列的元素是(2) 由于双重求和符号可以交换次序,所以(1)和(2)的又端相等.这就证明了结合律.我们知道,数1乘任何数a仍得a.对距阵的乘法来说,存在这样的距阵,他们有类似于数1的性质.我们把主对角线上(从左上角到右下角的对角线

6、)上的元素都是1,而其它元素都是0的n阶正距阵1 0 00 1 00 0 1叫做n阶单位距阵 ，记作In,有时简记作I.In显然有以下性质：InAnp=Anp; AmnIn=Amn.距阵的乘法和加法满足分配律：A(B+C)=AB+AC;(B+C)A=BA+CA;这两个式子的验证比较简单，我们留给读者。注意，由于距阵的乘法不满足结合律，所以着两个式子并不能互推。距阵的乘法和数与距阵的乘法显然满足以下运算规律： a(AB)=(aA)B=A(aB).给了任意r个距阵A1,A2, Ar,只要前一个距阵的列数等于后一个距阵的行数，就可以把它们依次相乘，由于距阵的乘法满足结合律，作这样的乘积时，我们可以把

7、因子任意结合，而乘积A1A2A r有完全确定的意义。特别，一个n阶正方阵A的r 次方（r 是正整数）有意义 我们再约定 A0=I这样一来，一个n 阶距阵的任意非负整数次方都有意义。设 f(x)=a0+a1+amxm是Fx中有确定的意义，它仍然是F 上的一个n阶正方阵，我们将它记作f(x): f(A)=a0I+a1A+amAm.如果f(x), g(x)Fx,而A 是一个 n阶距阵，令 u(x)=f(x)+g(A),v(x)=f(x)g(x) 于是有 u(A)=f(A)+g(A),v(A)=f(A)g(A)5 距阵的转置 定义4 设m*n距阵 a11 a12 a1n A= a21 a22 a2n

8、am1 am2   amn把A的行变为俩所得到的n×m距阵 a11 a21 am1A= a12 a22 am2 a1n a2n amn 叫A 的转置距阵的转置规律a) (A)=A,b) (A+B)=A+Bc) (AB)=BAd) (aA)=aA 我们只验证(5),其它三个规律容易验证.设A= , B= 首先容易看出,(AB)和BA都是pm矩阵.其次,位于(AB)的第i行第j列的元素就是位于AB的第j行第i列的元素,因而等于 aj1b1i+aj2b2i+ajnbni. 位于BA的第i行第j列的元素等于B的第i行的元素与A的第j列的对应元素的乘积之和,因而等于B的第i列的元素与A的第j行的对应元素的