椭圆型方程非齐次边值问题的变分形式4

1、目录1 引言2椭圆型方程非齐次第一边值问题的变分形式2.1建立第一边值条件等价极小位能原理2.2建立第一边值条件等价的虚功原理3椭圆型方程非齐次第二边值问题的变分形式3.1建立第二边值条件的极小位能原理3.2建立第二边值条件的虚功原理4椭圆型方程非齐次第三边值问题的变分形式4.1建立第三边值条件的极小位能原理4.2建立第三边值条件的虚功原理椭圆型方程非齐次边值问题的变分形式1 引言很多实际问题的微分方程是通过泛函的变分得到的 , 在变分过程中增加了未知函数导 数的阶数 . 反之某些变分方程的定解问题可通过构造相应的泛函 , 使求泛函的极小值与求 解微分方程的定解问题等价也就是说 , 变分法最终

2、寻求的是极值函数 , 它们使得泛函取得 极大或极小值 . 变分原理在物理学中 , 尤其是力学中有着广泛运用 , 如著名的虚功原理、 极 小位能原理、余能原理和哈密顿原理等 , 几乎所有的自然定律都能用变分原理的形式予以 表达 . 在当代变分已成为有限元法的理论基础 ,是求解边值问题的强力工具 .2 椭圆型方程第一边值问题的变分形式椭圆型方程第一边值问题：(k v) u f,(x,y) G,(1.2)u G, 其中 是边界, G 是平面区域k k(x, y) c1(G), min0,G定义：H1(I) f f L2(I), f L2(I),I (a,b)(k u)x(kxux)y (kxyu)y

3、)在解决第一边值问题的变分形式的过程中C(G), 0,f L2(G), g C( ), 我们先运用格林第一公式和极小位能原理建立等价的 变分形式 , 再运用虚功原理建立等价的变分形式 .为此我们需要考虑如下结果 : 极小位能原理 , 虚功原理 , 格林第一公式 .格林第一公式 ：G是 xy平面上的一有界区域，其边界 为分段的光滑曲线， n为曲线 的单位外法向量， n 是u沿n的方向导数，则有G ( u)vdxdy G( xu xvu vu)dxdy vds.y yn2.1.3)u f (x, y), ( x, y) G,u 0,( )1 定义： J(u) a(u,u) ( f ,u).222

4、其中 是 Laplace 算符 2 2 .x2y22极小位能原理 : 设u* C 2(G)是边值问题 ，()的解，则 u*使 J(u) 达到极小 .,反之，若u* C2(G) H01(G)使 J(u)达到极小，则 u*是边值问题( )，()的解 .虚功原理: 设u C2(G)，则u满足()，()的充要条件是： u H 1E且对于任意 v H1E 满 足变分方程，a(u,v) ( f,v) 0.2.1 建立第一边值条件等价的极小位能原理( 1)极小位能原理：设 u0 C2(G) 为一特定函数， ug令 v u u0，则得到( 2.1)，( 2.2)的等价问题：u(k v) v F f (k 0

5、) u0y y .v0构造 v 的二次泛函J W内 W外 ,12W内( (k v) v v2 ) dxdy2GW外 - FvdxdyG12J ( (k v)v v2 2Fv)dxdy2G1( (k v) v,v) (F,v).2在 C2 中，(F,v) Fvdxdy G1J ( (k v) v,v) (F,v)211 2(k v)vdxdyv2dxdyFvdxdy .2 G2 G G 变分问题表述为： 求 u* H 1E 使 J(v* ) min1 J(v).(k v)vdxdy Gvv(k ) (k ) vdxdyGxxyykv2vkvv k 2 vGxxxyyk v k vv v dxdy

6、 ( G x x y y G x2vv k 2 v dxdyy2v2v2 kv2ykv)dxdy .运用格林第一公式k v k vvG x x y yv 2 v2 k ( )2 ( )2 dxdy.xyv kv v kvvv dxdy G ( vx kxv vy kyv)dxdy vnkvdsu v u v令 a(u,v) k( ) dxdyy uvdxdy.G x x y y G1则 J(v) a(v,u) (F,v).2下面回到原问题1J a(v,v) (F,v)21 k( u2 G xfG1 u 2u0 2uu0 2 1 20 )2 k(0)2 dxdy (u u0 )2 dxdyxyy

7、 2 Gu0u0(k 0 ) (k 0 )u0 (u u0)dxdyxxyyu u0 u u0200 )dxdyu 2dxdyy y Gk( )2 k( )2 dxdy k(2 G x y G x xuu0dxdyfudxdy (k u0 ) dxdy.G G G x x依据极小位能原理：v* v*(x) 是下列变分问题的解 , J(v*) min J(v) .v H E(H1E 是所有满足非齐次边值( 2.2)的函数类构成 H1(I) 的子空间 )2.2建立第一边值条件等价的虚功原理对任意的 v H 1E , 有 a(u,v) (f ,v) 0.证明: 以 v乘( 2.1)的两端并在 G上积

8、分，得(k v)v v Fv dxdyG vv(k ) (k ) vdxdy FvdxdyG x x y y G2k v k v vv v dxdy ( 2G x x y y G xu v u vkv 2v2y2kv) dxdyFvdxdyGk( dxdy uvdxdy Fvdxdy G x x y y a(u,v) ( f,v).原问题的变分问题变为： 求 u，u C2 H 1E ，满足变分方程 a(u,v) (F,v) 0 ，对任意的 v H1E .3 椭圆型方程的第二边值问题在求椭圆型方程第二边值问题的变分形式时 , 我们考虑如下模型 poisson方程 . 我们先运用格林 第一公式和极

9、小位能原理建立 poisson 方程第二边值问题的变分形式 再运用虚功原理建立等价的变分 形式.就 poisson方程 :(3.1.1)v f ( x, y), ( x, y) G.G是 xy平面上的一有界区域，其边界为分段的光滑曲线， n为曲线 的单位外法向量 .在 上u满足 第二边值条件n3.1 建立第二边值条件的极小位能原理取一特定函数 u0 C2（u） ， u0，令 v u u0，则 v 0.nn 先运用极小位能原理和虚功原理导出等价的变分问题，则得到（），（ ）的等价问题v fu0 F,构造二次泛函J W内 W外 , 其中, W外Fvdxdy ,G( v)vd x d. y G所以

10、,J(v) W内 W外1( v)vdxdy Fvdxdy2 G G1( v,v) (F,v)21 (v,v) (F,v)211 ( v)22 G x v2( v)2Gxv2( )2 dxdy yv2( )2 dxdyy12av ds Fvd xdy2uu u0u u00 0 dxdy u x xy y121 auu0dsfud xdyu0ud xdy 常数2 0 01 au2ds2u u u0u u0u0J(u) 0 0 dxdy0dsu0ud xdy 常数 .u x x y y n u其中，J(u) u u0J(u) u x xu uy0 dxdy ( un0)ds u u0udxdy.又由

11、格林第一公式知道u0ud xdyuu u0 u x xu u0yydxdy ( u0 )ds. n(3.1.6)原问题的变分问题的变分形式为：求 u* H 1E (u)，使得 J(u* ) muin J(u)unJ(u) 12uxux0uyuy0 dxdyfudxdy.2 Gxxyy3.2 建立第二边值条件的虚功原理1对任意的 v H1E ,有a(u, v) (f,v) 0以 v 乘( 1.1)的两端并在 G 上积分，得( u)v fv dxdy 0, ( )G利用公式( )及关于 u,v 的边值条件( )()得uvuvu( u)vdxdy ()dxdyvdsG Gxxyynuvuv()dxd

12、y.G x x y y定义双线性形式 :u v u v a(u,v) ( )dxdy G x x y y则( )写成 a(u,v) ( f,v) 0.设 u C2(G),v H 1E ，则由 得到，a(u,v) ( f ,v)( u f )vdxdy,G则原问题的变分问题的变分形式还可以表述为：求 u，u C2(G) H 1E ，对任意 v H1E,a(u,v) (f,v) 0.4 椭圆型方程的第三边值问题 ：在求椭圆型方程第三边值问题的变分形式时 , 我们考虑如下模型 poisson方程 . 我们先运用格林第一公式和极小位能原理建立 poisson 方程第三边值问题的变分形式再运用虚功原理建

13、立等价的变分形 式.就 poisson方程 u f（x, y）,（x,y） G.（ ）uG是 xy平面上的一有界区域， 其边界 为分段的光滑曲线， n为曲线 的单位外法向量，是u沿nn 的方向导数 .在 上u 满足第三边值条件uu 0（ ）n4.1建立第三边值条件等价的极小位能原理取一特定函数 u0 C2（u） ， u0u0，令n则得到（ 3.3,1），（ 3,3,2）的等价问题vv u u0 ，则v 0,n4.1.3)v n1 所以,J(v) ( v,v) (F,v)121 (v,v) (F,v)12 ( vx)22 G x1 ( v)22 G x1v 0.4.1.4)v2( v)2yv2(

14、 v)2y12dxdy av ds Fvd xdy2u u u0u u0 dx xy ydxdyuxdy 1 au2ds2auu0dsfud xdyu0udxdy 常数2J(u)uuu ux ux0 uy uy0 dxdy ( un0)ds u u0udxdy 常数v fu0 F,其中，u u0J(u) u xu ux0u u0yydxdy ( n)dsu0ud xdyu又由格林第一公式知道u0udxdyu u0u u0u u x x y yudxdy ( u0 )ds.n原问题的变分问题的变分形式为：1求 u* H 1E (u)，使得 J(u* ) min J(u)un uJ(u)12xuu

15、x0uyuy0dxdy12u2dxdyfudxdy uds.2 G x x y y 2 u4.2建立第三边值条件等价的虚功原理依据虚功原理，对任意的 v H 1E ,有，a(u,v) ( f,v) 0证明：以 v乘( 的两端并在 G 上积分，得( u)v fv dxdy 0( )G利用公式（ 1.2.3）及关于 u,v 的边值条件（ 4.1.2）得( u)vdxdyGu v u vu( )dxdy vdsG x xy ynG (4.1.3) u v u v( )dxdy uvds.G x x y y定义双线性形式 :u v u vua(u,v) ( )dxdy ( u)vds, G x x y

16、 yn则( )写成，a(u,v) ( f,v) 0u)vds.设 u C2(G),v H 1E ，则由 得到a(u,v) (f,v) ( u f )vdxdy (G边值问题的另一变分形式是：求 u U ，对任意的 v U , 使a(u,v) ( f,v).结束语经过两个多月的努力， 论文终于完成 在整个设计过程中， 出现过很多的难题， 但都在老师和同学的 帮助下顺利解决了， 在不断的学习过程中我体会到： 写论文是一个不断学习的过程， 从最初刚写论文时 对变分问题的模糊认识到最后能够对该问题有深刻的认识， 我体会到实践对于学习的重要性， 以前只是 明白理论，没有经过实践考察，对知识的理解不够明确

17、，通过这次的做，真正做到理论实践相结合。 总之，通过毕业设计 , 我深刻体会到要做好一个完整的事情，需要有系统的思维方式和方法，对待要解 决的问题， 要耐心、 要善于运用已有的资源来充实自己。 同时我也深刻的认识到， 在对待一个新事物时， 一定要从整体考虑，完成一步之后再作下一步，这样才能更加有效 .参考文献1 李荣华 . 偏微分方程的数值解法 M 北京 . 高等教育出版社 ,2010.11:P1-223 刘世强 . 数学分析 M. 广西 . 广西民族出版社， 2006:P125致谢在本文完成之际，无论我的论文是否能够真的运用，这里面每一个公式的书写，每一行语句的修改，每 一段文本的输入之中都

18、有我辛勤的汗水。半年的设计时间虽然短暂，我却从中学到了很多的东西。我由衷地 感谢关怀、教诲、帮助、支持和鼓励我完成学业的老师、朋友和亲人。 特别感谢我的导师张现强老师，这小半年来他在学习、科研上一直对我悉心指导，严格要求、热情鼓励，为 我创造了很多锻炼提高的机会。张老师洞察全局、高屋建瓴，为我的论文的顺利完成指出了很好的方向，张 老师渊博的知识、宽广无私的胸怀、夜以继日的工作态度、对事业的执著追求、诲人不倦的教师风范和对问 题的敏锐观察力，都将使我毕生受益。 在此我谨向我的导师以及在毕业设计过程中给予我很大帮助的老师、同学们致以最诚挚的谢意！椭圆型方程非齐次边值问题的变分形式数学计算机学院 数学与运用数学师范 专业 2013 届 全欢欢摘要 ：.首先本文采用了极小位能原理和虚功原理建立椭圆型方程非齐次D 条件边值问题等价的变分形式，随后我们采用类似方法讨论了椭圆型方程非齐次 N 条件边值问题及混合型 D / N 边值条件的变分 问题.变分形式关键词 ：椭圆型方程 非齐次边值问题中图分类号 :O172Variational of Elliptic Equations With Nonhomogeneous Boundary ConditionsAbstract: In this paper, we first apply Princip