梁弯曲时横截面上的正应力

1、梁弯曲时横截面上的正应力在确定了梁横截面的内力之后， 还需要进一步研究横截面上的应力与截面内力之间的定量关系，从而建立梁的强度设计条件，进行强度计算。1、纯弯曲与横力弯曲从火车轴的力学模型为图 2-53a 所示的外伸梁。 画其剪力、弯矩图（见图 2-53b 、c）, 在其 AC、BD段内各横截面上有弯矩 M和剪力 FQ 同时存在，故梁在这些段内发生弯曲变形的同时还会发生剪力变形， 这种变形称为剪力弯曲， 也称为横力弯曲。在其 CD段内各段截面， 只有弯矩 M而无剪力 FQ，梁的这种弯曲称为纯弯曲。2、梁纯弯曲时横截面上的正应力如图 2-54a 所示，取一矩形截面梁，弯曲前在其表面两条横向线 m

2、m和 nn，再画两条纵向线 aa 和 bb，然后在其两端外力偶矩 M，梁将发生平面纯弯曲变形（见图 2-54b) 。此时可以观察到如下变形现象：横向线 mm和 nn 任为直线且与正向线正交， 但绕某点相对转动了一个微小角度。纵向线 aa 和 bb 弯成了曲线，且 aa 线缩短，而 b b 线伸长。由于梁内部材料的变化无法观察，因此假设横截面在变形过程中始终保持为平面，这就是纯梁弯曲时的；平面假设。可以设想梁由无数条纵向纤维组成，且纵向纤维间无相互的挤压作用，处于单向受拉或受压状态。从图 2-54b 中可以看出，；梁春弯曲时，从凸边纤维伸长连续变化到凹边纤维缩短，期间必有一层纤维既不伸长也不缩短

3、，这一纵向纤维层称为中性层（见图 2-54c ）。中性层与横截面的交线称为中性轴。 梁弯曲时， 横截面绕中心轴绕动了一个角度。由上述分析可知，矩形截面梁弯曲时的应力分布有如下特点：中性轴的线应变为零，所以其正应力也为零。距中性轴距离相等的各点， 其线应变相等。 根据胡克定律， 它们的正应力也必相等。在图 2-54b 所示的受力情况下， 中性轴上部分各点正应力为压应力 （即负值），中性轴下部分各点正应力为拉应力（即正值） 。横截面上的正应力沿y 轴呈线性分布，即ky （k 为特定常数），如图 2-55 、图 2-56 所示。最大正应力（绝对值）在离中性轴最远的上、下边缘处。由于距离中性层上、 下

4、的纵向纤维的线应变与到中性层的距离y 成正比，当其正应力不超过材料的比例极限时，由胡克定律可知yEE ?E ? y2-24对于指定的横截面，E 为常数（即为上述 k 的值）看，由于此时梁轴线的曲率半径还是一个未知量，通过静力学平衡关系z (F ) =0，可得图 2-55 正应力分布图图 2-56 梁纯弯曲时横截面上的内力和应力ydA M2-25A将公式 (2-24)代入（ 2-25 ），得E y2 dAEy 2dA MAA令I zy 2dAA为截面对中性轴z 轴的轴惯性矩 (mm4 ) ，则1 M EI z这是研究梁变形的一个基本公式，式中EI z 称为梁的抗弯刚度。将公式（ 2-26 ）代入（ 2-24 ），即得到梁在纯弯曲时截面上任一点处的正应力计算公式：MyI z为计算梁横截面上的最大正应力，可定义抗弯截面系数 WzI z，则式（ 2-27 ），ym ax可写作：maxMWz式中M截面上的弯曲（ N·mm）；3Wz抗弯截面系数（ mm） .I z 和 Wz 是仅与截面几何尺寸有关的量，常用型钢的I z 和 Wz 可在有关设计手册中查得。式（ 2-27 ）和（ 2-28 ）是由梁受纯弯曲变形推导出的，但只要梁具有纵向对称面，且载荷作用在其纵向对称面内，梁的跨度又较大的，横力弯曲也可