均值不等式及应用

1、均值不等式及应用均值不等式应用一均值不等式1.（1）若，则（2）若，则（当且仅当时取=）2. （1）若，则（2）若，则（当且仅当时取=）（3）若，则（当且仅当时取=）3.若，则（当且仅当时取=）;若，则（当且仅当时取=） 若，则（当且仅当时取=）3.若，则（当且仅当时取=）若，则（当且仅当时取=）4.若，则（当且仅当时取=）注：（1）3.已知x,yR,x+y=s,xy=p.若p为定值，那么当且仅当时，s=x+y有 ；若s为定值，那么当且仅当 时，p=xy有 。（2）求最值的条件一正，二定，三取等应用一：求最值解题技巧： 技巧一：凑项例1：已知，求函数的最大值。解：因，所以首先要调整符号，又不是

2、常数，所以对要进 行拆、凑项，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积 为定值。技巧二：凑系数例1.当时，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积 为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意 到为定值，故只需将凑上一个系数即可。当，即x=2时取等号当x=2时，的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得 到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设，求函数的最大值。解：当且仅当即时等号成立。技巧三： 分离例3.求的值域。解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑 出含有

3、（x+1）的项，再将其分离。当，即时，（当且仅当x=1时取=号）。技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令1，化简原式在分离求最值。当，即t=时，（当t=2即x=1时取=号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开 或将分母换t=x元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到 的情况，应结合函数的单调性。例：求函数的值域。 解：令，则 因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。 因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。 所以，所求函数的值

4、域为。 练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.(1) (2)(3) 2已知，求函数的最大值.；3，求函数的最大值.条件求最值1.若实数满足，则的最小值是.解：都是正数， 当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6 变式：若，求的最小值.并求x,y的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取 等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知，且，求的最小值。错解：，且， 故 。 错因：解法中两次连用均值不等式，在等号成立条件是， 在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是 解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种

5、方法。 正解：，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 。变式：(1)若且，求的最小值(2)若且，求最小值技巧七、已知x,y为正实数，且x2+=1，求x的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式abw。同时还应化简中y2前面的系数为，x=x=x 下面将x，分别看成两个因式：x0得，0vbv15令t=b+1,1vtv16,ab= = 2(t+) +34vt+ 2=8 abw18二y 当且仅当t=4,即b=3,a=6时，等 号成立。法：由已知得：30ab=a+2b：a+2b230ab2令u=则u2+2u30w0,5u变式：1.已知a0,b0,ab(a+b)=1,求a+b的最小值。2.

6、若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。 技巧九、取平方5、已知x,y为正实数，3x+2y=10,求函数W= +的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，w,本题很简单+ w=2解法二：条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向和为定值条件靠拢。W 0,W2= 3x+2y+2 =10+2w10+()2()2=10+(3x+2y)=20二WW=2变式:求函数的最大值。解析：注意到与的和为定值。又,所以当且仅当=，即时取等号。故。评注：本题将解析式两边平方构造出和为定值，为利用均 值不等式创造了条件。应用二：利用均值不等式证明不等式1已知为两两不相等的实数，求证：2正数a,b,c满足a+b+c=1,求证：(1a)(1b)(1c)8abc3、已知a、b、c,且。求证： 解：a、b、c， 。同理， 。上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得 。当且