杆件的内力截面法

1、第二章杆件的内力 . 截面法一、基本要求1了解轴向拉伸与压缩、扭转、弯曲的概念； 2掌握用截面法计算基本变形杆件截面上的内力； 3熟练掌握基本变形杆件内力图的绘制方法。二、内容提要1轴向拉伸和压缩1）轴向拉伸或压缩的概念 受力特点：外力或合外力与轴线重合； 变形特点：杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。图 2-12）轴力 轴向拉压时，杆件截面上分布内力系的合力的作用线与杆件轴线重合，称为轴力。一般 用 FN 表示，单位为牛顿（ N ）。轴力的正负号规定：拉为正，压为负。3）轴力图 表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。该图一般以平行于杆件轴线的横坐标x 轴表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上轴力的大小

2、。正的轴力画在x 轴上方，负的轴力画在 x轴下方。2扭转1）扭转的概念 受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。 变形特点：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。轴：以扭转为主要变形的杆件称为轴。2）外力偶矩传动轴所受的外力偶矩通常不是直接给出， 而是根据轴的转速 n 与传递的功率 P 来计算 当功率 P 单位为千瓦（ kW），转速为 n（r/min）时，外力偶矩为PM e 9549 （N .m）n当功率 P 单位为马力（ PS），转速为 n（r/min）时，外力偶矩为M e 7024 P(N .m) n3）扭矩、扭矩图当外力偶矩已知，利用截面法可求任

3、一横截面上的内力偶矩扭矩，用T 表示。扭矩的正负号规定：按右手螺旋法则， T 矢量背离截面为正，指向截面为负（或矢量与 截面外法线方向一致为正，反之为负） 。表示扭矩随杆件轴线变化规律的图线称为扭矩图。扭矩图作法与轴力图相似。正的扭矩 画在 x轴上方，负的扭矩画在 x 轴下方。3弯曲内力1）基本概念弯曲变形 ：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直 线的轴线变为曲线的变形称为弯曲变形。以弯曲变形为主要变形的杆件称为 梁。对称弯曲 ：工程中最常见的梁，其横截面一般至少有一根 对称轴，因而整个杆件有一个包含轴线的纵向对称面。若所有 外力都作用在该纵向对称面内时，梁弯曲变形后的轴线将是位 于该平面

4、内的一条曲线，这种弯曲形式称为 对称弯曲 。其力学模 型如图 2-3 所示。2）梁的计算简图 静定梁 ：所有支座反力均可由静力平衡方 程确定的梁。静定梁的基本形式有 简支梁 、悬臂梁、外伸梁。计算简图分 别如图 2-4（a）、（b）、（c）所示。 3）剪力和弯矩剪力：受弯构件任意横截面上与横截面相切的分布内力系的合力，图 2-4 称为剪力 ，用 FS 表示。弯矩 ：受弯构件任意横截面上与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩，称为 弯矩，用 M表示。之为负），如图 2-5（ c）、（ d）所示剪力和弯矩的正负号规定：从梁中取出长为 dx的微段，若横截面上的剪力使 dx 微段有 左端向上而右端向下的相

5、对错动趋势时，此剪力 FS 规定为正，反之为负（或使梁产生顺时针 转动的剪力规定为正，反之为负） ，如图 2-5（a）、（b）所示；若弯矩使 dx 微段的弯曲变形凸 向下时，截面上的弯矩 M 规定为正，反之为负（或使梁下部受拉而上部受压的弯矩为正，反根据内力与外力的平衡关系，若外力对截面形心取矩为顺时针力矩，则该力在截面上产生正的剪力，反之为负的剪力（顺为正，逆为负） ；固定截面，若外力或外力偶使梁产生上挑4）的变形，则该力或力偶在截面上产生正的弯矩，反之为负的弯矩（上挑为正，下压为负） 剪力方程和弯矩方程一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。若以坐标 x 表示横截面 在梁轴

6、线上的位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为 x 的函数，即 FS FS（x）M M（x） 上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。5）剪力图和弯矩图为了直观地表达剪力 FS和弯矩 M 沿梁轴线的变化规律，以平行于梁轴线的横坐标 x 表 示横截面的位置，以纵坐标按适当的比例表示响应横截面上的剪力和弯矩，所绘出的图形分 别称为剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图的绘制方法有以下两种：（ 1）剪力、弯矩方程法 ：即根据剪力方程和弯矩方程作图。其步骤为： 第一，求支座反力。第二，根据截荷情况分段列出 FS（x）和 M（x）。在集中力（包括支座反力） 、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和弯矩方程可能

7、 发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。第三，求控制截面内力，作 FS、M 图。一般每段的两个端点截面为控制截面。在有均布 载荷的段内， FS=0 的截面处弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯矩值。将控制截面的内力 值标在的相应 位置 处。 分段 点之 间 的图形可根据 剪力方程和 弯矩方程绘出 。并 注明FS、Mmax的数值。max（ 2）微分关系法 ：即利用载荷集度、剪力与弯矩之间的关系绘制剪力图和弯矩图 载荷集度 q（ x）、剪力 FS（x）与弯矩 M（x）之间的关系为 :dFS(x)dxq(x)dM (x)dxFS(x)2dFS(x)dxq(x)d2M (x)dx2根据上述

8、微分关系，由梁上载荷的变化即可推知剪力图和弯矩图的形状。（a）若某段梁上无分布载荷，即 q（x） 0 ，则该段梁的剪力 FS（x）为常量，剪力图为平行 于 x 轴的直线；而弯矩 M （x） 为 x的一次函数，弯矩图为斜直线。（b）若某段梁上的分布载荷 q（x） q（常量），则该段梁的剪力 FS（x）为 x 的一次函数，剪 力图为斜直线；而 M （x） 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。当 q 0（ q 向上）时，弯矩图为 向下凸的曲线；当 q 0（ q向下）时，弯矩图为向上凸的曲线。（c）若某截面的剪力 FS（x）=0，根据 dM （x） 0 ，该截面的弯矩为极值。 dx利用以上各点，除可以

9、校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系 直接绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下：第一，求支座反力（对悬臂梁，若从自由端画起，可省去求支反力） ；第二，分段确定剪力图和弯矩图的形状；第三，求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；第四，确定 FS max和 MmaxFS max可能出现的地方：集中力 F作用处；支座处。 M max可能出现的地方：剪力 max maxFS=0的截面；集中力 F 作用处；集中力偶 M作用处。6）平面刚架和平面曲杆的弯曲内力 刚架：杆系结构若在节点处为刚性连接，则这种结构称为 刚架 。 平面刚架 ：由在同一平面内、不同

10、取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。 各杆连接处称为 刚节点 。刚架变形时，刚节点处各杆轴线之间的夹角保持不变。 静定刚架 ：凡未知反力和内力能 由静力学平衡条件确定的刚架。平面刚架各杆的内力，除了剪力和弯矩外，一般还有轴力。作刚架内力图的方法和步骤 与梁相同，但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定：弯矩图画在各杆的受压 一侧，且不注明正、负号。剪力图及轴力图可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架外 侧），且必须注明正负号；剪力正负号的规定与梁相同，轴力仍以拉伸为正，压缩为负。平面曲杆 ：轴线为一平面曲线的杆。平面曲杆横截面上的内力情况及其内力图的绘制方 法，与刚架相类似

11、。12122D三、典型例题分析 例 2-1 在图 2-6（ a）中，沿杆件轴线作用 F1、 F2、F3、F4。已知： F1=6kN，F2=18kN，F3=8kN， F4=4kN。试求各段横截面上的轴力，并作轴力图。解： 1计算各段轴力AC 段：以截面 1-1将杆分为两段，取左段部分 （图（ b）。由 Fx 0 得图2-6FN1 F1 6kN （拉力）CD段：以截面 2-2将杆分为两段， 取左段部分 （图（c）。由 Fx 0 得FN 2 F1 F2 12kN（压力）FN 2的方向与图中所示方向相反。DB段：以截面 3-3将杆分为两段， 取右段部分 （图（d）。由 Fx 0 得FN 3 F4 4

12、kN （压力）FN 3的方向与图中所示方向相反。2绘轴力图以横坐标 x 表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的轴力 FN ，选取适当比例，绘出轴 力图（图（ e）。在轴力图中正的轴力（拉力）画在 x 轴上侧，负的轴力（压力）画在 x轴下 侧。例 2-2 传动轴在图 2-7（a）所示。主动轮 A 输入功率为 PA 36kW，从动轮 B、 C、D 输出功率分别为 PB PC11kW ，PD 14kW，轴的转速为 n300r/min。试作轴的扭矩图。解： 1计算各轮上的外力偶矩PAM A 9549 1146N mnM B M C 9549 PB 350N m nM D 9549 D 446N mn2

13、计算各段扭矩BC段：以截面 II 将轴分为两段，取左段部 分（图 （b）。由平衡方程T1 M B 0446N .m350N .m700N. m图2-7T M B 350N m负号说明 T1所假定的方向与实际扭矩相反 同理，在 CA 段内，T2T2M C M B 0MC M B 700N m在 AD 段内，T3 M D 0 T3 M D 446N m3以横坐标 x 表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的扭矩大小，选取适当比例，绘 出扭矩图。正的扭矩画在 x轴上侧，负的扭矩画在 x 轴下侧。例 2-3弯矩图。 解：图示简支梁受集中力 F 作用，试利用剪力方程 和弯矩方程绘出该梁的剪力图和1. 求支

14、反力。由 Fy0,M A (F) 0 ，得Fbl ,FB2. 列剪力、弯矩方程在段内，FAFalFS(x) FAFb , 0 x a l图2-8M (x) FA x Fb x, 0 x a在 BC段内FS(x)FBFa , a x l lFax Fa l x , a x l 3. 求控制截面内力， 作剪力图、弯矩图。FS图：在 AC、CB 段内，剪力方程均为常数，因此两段剪力图均为平行于Fa ，FSC右 Fb ，左、右两侧截面的剪力值发生突变，突变量M (x) FB lx 轴的直线。在集中力 F 作用处， FSC左FblFaFla) F；M 图：在 AC、CB段内，弯矩方程 M (x)均是x的

15、一次函数，因此两段弯矩图均为斜直线。求出控制截面弯矩 MA MB 0，MC Fab ，标在 M x坐标系中，并 F 作用处左、右两侧截面上弯矩值不变， F 作用处弯矩图上为折角点。分别连成直线，即得该梁的弯矩图。显然在集中力但在该截面处弯矩图斜率发生突变，因此在集中力例 2-4 受均布载荷作用的简支梁，如图 2-9 梁的剪力图和弯矩图。 解： 1.求支反力所示，试作FAy FBy ql 22. 列剪力、弯矩方程FS(x) FAy qx q2l qx, 0 x lx qlqx2M (x) FAy x qx x ql x qx , 0 x l2 22ql/ql/2ql 2 /83. 求控制截面内力

16、，作剪力图、弯矩图。FS 0 ql ,FS lql22M 0 0,M l 0,M l ql28ql ql 2,M max2 max 8图2-9FSmax在某一段上作用分布载荷， 剪力图为一斜直线， M 取得极值。弯矩图为一抛物线。 且在 FS=0 处弯矩例 2-5 如图 2-10 所示简支梁，在 C 点处受矩为 Me 的集中力偶作用，试作梁的剪力图 和弯矩图。解： 1.求支反力由平衡方程 M B(F) 0和 M A(F) 0得Mel2. 列剪力、 在 AC段内弯矩方程FS1 (x )FAym0 , 0 x a在 BC段内M 1 (x ) FAym0 x, 0 x am0l0 , a x l M

17、2(x) FBy3. 求控制截面内力，作剪力图、弯矩图。FS 0 FS lMl eFS2 (x) FByx , a x l图2-10Mea l 在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为 变。M 0 M l 0，M左，M右MeblM eb M e allM e ，而剪力图无改例 2-6 如图 2-11 所示简支梁 解： 1.求支反力。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。由平衡方程 M B (F) 0和M A (F )0求得FA 83ql ，FB2. 列剪力、弯矩方程AC 段：18qlFS(x)3F A qx ql qx8(0 x 2l )M ( x)FAx 1 qx2 3qlx

18、281qx2(0 x 2)CB 段：FS(x)FB18qlM (x)FB(l1x) 8ql (l x)(2 x l)l2l233l8118ql892ql128116ql2图2-113求控制截面内力，绘 Q、 M 图FS图： AC 段内，剪力方程 FS(x) 是 x的一次函数，剪力图为斜直线，求出两个端截面的 31剪力值， FSA 3ql ，FSC1ql ，标在 FS x坐标系中，连接两点即得该段的剪力图。 CB88段内，剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值，连一水平线即为该段剪力图。梁 AB 的剪力图如图 2-11(b)所示。M 图：AC 段内，弯矩方程 M (x) 是 x的二次函数，弯矩

19、图为二次曲线，求出两个端截面1的弯矩， MA 0，M C 1 ql 2 ，分别标在 M x坐标系中。在 FS 0处弯矩取得极值。令剪A C 16 S3 3 9力方程 FS(x) 0，解得 x l ，求得 M ( l) ql ，标在 M x 坐标系中。根据上面三点S 8 8 128 绘出该段的弯矩图。 CB 段内，弯矩方程 M (x)是 x的一次函数，分别求出两个端点的弯矩， 标在 M x 坐标系中，并连成直线。 AB 梁的 M 图如图 2-11(c)所示。例 2-7 梁的受力如图 2-12(a)所示，试利用微分关系作梁的 FS、 M 图。 解： 1.求支反力。由平衡方程 M B(F) 0和 M

20、 A(F) 0求得FA 10kN ， FB 5kN2. 分段确定曲线形状 由于载荷在 A、 内力图。D 处不连续，应将梁分为三段绘根据微分关系dFS(x) q(x) ， dM (x) FS(x) ， dx dx2d2M (x) dFS(x)q(x)，在 CA 和 AD 段内， q 0，m=3.6kN.mq=10kN/m0.6m0.6m1.2mF=3kNdx 2 dx 剪力图为水平 线， 弯矩 图为斜 直线 ；DB 段内， q 常数 ，且为负值，剪力图为斜直线， 3.求控制截面的内力值，绘 FS、 M 图FS 图： FSC右3kN ， FSA右 7 kN ，据此可作出 CA 和7kN图2-12M

21、 图为向上凸的抛物线AD 两段 FS 图的水平线。FSD右 7kN ，FSB左5kN ，据此作出 DB 段FS图的斜直线。M 图： MC 0，M A左 1.8KN m ，据此可以作出 CA 段弯矩图的斜直线。 A 支座的约 束 反 力 FA 只 会 使 截 面 A 左 右 两 侧 剪 力 发 生 突 变 ， 不 改 变 两 侧 的 弯 矩 值 ， 故 MA左 MA右 M A 1.8KN m ， M D左 2.4kN m ，据此可作出 AD 段弯矩图的斜直线。 D 处的集中力偶会使 D 截面左右两侧的弯矩发生突变，故需求出 MD右1.2KN m，M B 0；由 DB 段的剪力图知在 E 处 FS