等差数列学习要点

1、等差数列学习要点等差数列学习要点 练习练习: 求和求和1. 1+2+3+n 答案答案: Sn=n(n+1)/22. 2+4+8+2n 答案答案: Sn=2n+1-2方法：直接求和法方法：直接求和法例1 求数列 x, 2x2,3x3, nxn， 的前n项和。 解：解：当当x=0时时 Sn=0当当x=1时时 Sn=1+2+3+ n=n(n+1)/2当当x1时时 Sn=x+ 2x2+3x3+ + nxn xSn= x2 +2x3+3x4 + (n-1)xn +nxn +1 得：得：(1-x)Sn=x+ x2+x3+ +xn - nxn +1 化简得：化简得： Sn =x(1- xn )/(1-x)

2、2 - nxn +1 /(1-x) 0 (x=0) 综合得综合得 Sn= n(n+1)/2 (x=1) x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x) (x1）小结小结 1:“错项相减法错项相减法”求和求和,常应用于型常应用于型如如anbn的数列求和的数列求和,其中其中an为等为等差数列差数列, bn 为等比数列为等比数列.练习练习 1求和求和: 1/2+2/4+3/8+n/2n 方法方法:可以将等式两边同时乘以可以将等式两边同时乘以2或或1/2,然后利用然后利用“错位相减法错位相减法”求和求和.例例2：求和：求和Sn=125 +158 +1811 + +1(3n-1) (

3、3n+2) 解：解：数列的通项公式为数列的通项公式为an=1(3n-1) (3n+2) =13 (13n-1 -13n+2 )Sn=13 (12 -15 +15 -18 +18 -111 +13n-4 - 13n-1 +13n-1 -13n+2 )=13 (12 -13n+2 )=16n+4 小结小结2：本题利用的是本题利用的是“裂项相消法裂项相消法”，此，此法常用于形如法常用于形如1/f(n)g(n)的数列求和，的数列求和，其中其中f(n),g(n)是关于是关于n（nN)的一次的一次函数。函数。把数列中的每一项都拆成两项的把数列中的每一项都拆成两项的差，从而产生一些可以相消的项，差，从而产生

4、一些可以相消的项，最后剩下有限的几项。最后剩下有限的几项。方法：方法：对裂项公式的分析，通俗地对裂项公式的分析，通俗地说，裂项，裂什麽？裂通项。说，裂项，裂什麽？裂通项。此方法应注意：此方法应注意：练习练习 2： 求和求和114 +147 +1710 +1(3n-2)(3n+1) 接下来可用接下来可用“裂项相消裂项相消法法”来求和。来求和。an=1(3n-2)(3n+1) =13 (13n-2 -13n+1 )分析分析：例例 3：求和：求和1+(1+12 )+(1+12 +14 )+(1+12 +14 +12n-1 )解：解：an=1+12 +14 +12n-1 =1（1-12n ）1-12

5、=2-12n-1 Sn=(2-120 )+(2-121 )+(2-122 )+(2-12n-1 ) =2n-( 120 +121 +122 +12n-1 )=2n-1（1-12n ）1-12 =2n+12n-1 2小结小结 3：本题利用的是本题利用的是“分解转化求和法分解转化求和法”方法：方法：把数列的通项分解成几项，从把数列的通项分解成几项，从而出现几个等差数列或等比数而出现几个等差数列或等比数列，再根据公式进行求和。列，再根据公式进行求和。练习练习 3求和：求和：1+（1+2）+（1+2+22)+(1+2+22 +2n-1)分析：利用分析：利用“分解转化求和分解转化求和”总结：总结： 直接求和直接求和（公式法）（公式法）等差、或等比数列用求和公等差、或等比数列用求和公式，常数列直接运算。式，常数列直接运算。倒序求和倒序求和等差数列的求和方法等差数列的求和方法错项相减错项相减数列数列 anbn的求和，其中的求和，其中an是等差数列，是等差数列，bn是等比数列。是等比数列。裂项相消裂项相消分解转化法分解转化法把通项分解成几项，从而出现把通项分解成几项，从而出现几个等差数列或等比数列进行几个等差数列或等比数