第五章 数字控制器模拟设计法

1、计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院 1. 概述概述2. 传递函数与传递函数与Z传递函数的相互转换传递函数的相互转换4. 数字数字PID调节器的设计调节器的设计3. 数字滤波器数字滤波器计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院典型的计算机控制系统典型的计算机控制系统图图5.1-1 计算机控制系统计算机控制系统计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计

2、 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院 经典法经典法状态空间设计法状态空间设计法间接设计法间接设计法模拟化设计法模拟化设计法直接设计法直接设计法数字化设计法数字化设计法设计设计数字控制器数字控制器：设计一个可靠、实用、结构简单：设计一个可靠、实用、结构简单并易于实现的数字控制器，使上图所示的闭环控制并易于实现的数字控制器，使上图所示的闭环控制系统既要满足系统的期望指标，又要满足实时控制系统既要满足系统的期望指标，又要满足实时控制的要求。的要求。计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院)(sR)(

3、sE)(sD)(sU)(sG)(sY)(tr)(ty图图5.1-2 连续控制系统连续控制系统模拟模拟控制器控制器数字数字控制器控制器系统的传系统的传递函数递函数系统的性能系统的性能指标要求指标要求离散离散设计设计模拟系统模拟系统计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院)(sR)(tr)(zD)(0sHTT)(sG)(zY)(sY)(zHG图图5.1-3 离散闭环控制系统离散闭环控制系统由于人们对于连续控制系统的设计方法（如频率由于人们对于连续控制系统的设计方法（如频率法、根轨迹法等）比较熟悉，因而应

4、用模拟方法法、根轨迹法等）比较熟悉，因而应用模拟方法设计数字控制器比较易于接受和掌握。但是这种设计数字控制器比较易于接受和掌握。但是这种方法并不是按照真实情况设计的，因此又可称为方法并不是按照真实情况设计的，因此又可称为间接设计法间接设计法。计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院 seTs1)(0tu)(0tu)(tu图图5.1-4 零阶保持器的信息传递零阶保持器的信息传递设有模拟信号设有模拟信号 ，)(0tu零阶保持器的输入为零阶保持器的输入为 ，输出为，输出为 。)(0tu)(tu离散信号离散

5、信号 的频谱函数为的频谱函数为)(0tu)(1)(00ksjkjUTjU 采样角频率采样角频率s零阶保持器的传递函数为零阶保持器的传递函数为sesHTs1)(0计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院零阶保持器零阶保持器输出输出 的频率特性的频率特性202)2sin(1)(TjTjeTTTjejH)(tu)()()(00jUjHjU其频率特性为其频率特性为)(2)2sin(02ksTjjkjUeTT当信号当信号 的截止频率的截止频率 时，则时，则)(0jUsmax12)2sin(TT计算机控制系统计

6、算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院)()(02jUejUTj于是于是上式说明，输出和输入频谱的的差别是有零阶保上式说明，输出和输入频谱的的差别是有零阶保持器产生的相位移持器产生的相位移 ，如果能补偿这一相位，如果能补偿这一相位2/Tje移或者大大减小这一相位移对系统的影响（如前置移或者大大减小这一相位移对系统的影响（如前置滤波、超前校正等），就可以保证离散控制器和模滤波、超前校正等），就可以保证离散控制器和模拟控制器具有完全一致或非常接近的频率特性，即拟控制器具有完全一致或非常接近的频率特性，即实现二者的完全

7、等效。实现二者的完全等效。计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院由以上分析可知，若系统的采样频率相对于系统由以上分析可知，若系统的采样频率相对于系统滞后影响可忽略时，系统的数字控制器可用模拟控滞后影响可忽略时，系统的数字控制器可用模拟控频率是足够高的，以至于采样保持器所引起的附加频率是足够高的，以至于采样保持器所引起的附加制器代替，使整个系统可采用模拟化方法设计。制器代替，使整个系统可采用模拟化方法设计。! 等效的必要条件是采样频率足够高。等效的必要条件是采样频率足够高。若若 时，其滞后相角大约为

8、时，其滞后相角大约为 ，于是，于是就有就有101/maxs18)()(0jUjU即即)()(0tutu计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院（1）在已知被控对象的传递函数）在已知被控对象的传递函数G(s)的情况下，的情况下，根根据性能指标要求，用连续系统的设计方法确定闭环据性能指标要求，用连续系统的设计方法确定闭环反馈控制系统的模拟控制器反馈控制系统的模拟控制器D(s)。如图。如图5.1-2所示。所示。（2）选择适当的离散化方法将）选择适当的离散化方法将D(s)转换为数字调转换为数字调节节（3）用

9、求得的）用求得的D(z)构成图构成图5.1-3所示的离散控制系所示的离散控制系统，统，（4）若满足要求，设计过程结束，否则进行再设）若满足要求，设计过程结束，否则进行再设器器D(z)。并分析系统的动态特性，看其是否满足要求。并分析系统的动态特性，看其是否满足要求。计。计。计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院（5）将）将D(z)转化为差分方程，在计算机上用数字算转化为差分方程，在计算机上用数字算法实现。法实现。为简便起见，零阶保持器的传递函数可近似为为简便起见，零阶保持器的传递函数可近似为)212

10、11 (1)1 (1122TsTsseesseTsTsTsTsTsT2212计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院在经典的连续控制理论中，已详细介绍了用根轨在经典的连续控制理论中，已详细介绍了用根轨二阶系统是工业生产过程中最常见的一种系统。二阶系统是工业生产过程中最常见的一种系统。迹法或频率法设计迹法或频率法设计D(s)。这里介绍用二阶工程设计。这里介绍用二阶工程设计法来设计法来设计D(s)。二阶系统闭环传递函数的一般形式是二阶系统闭环传递函数的一般形式是11)()()(1222sTsTsRsYs

11、Gc计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院当系统的阻尼比为当系统的阻尼比为 时，其性能最好，则时，其性能最好，则707. 021212TT 2212TT 或或设单位负反馈系统的开环传递函数为设单位负反馈系统的开环传递函数为 ，则由，则由)(sGk)(1)()(sGsGsGkkc得到品质最佳的二阶系统开环传递函数（图得到品质最佳的二阶系统开环传递函数（图5.1-2）) 12(1)()()(11sTsTsGsGsDk（5.1-1）有有计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计

12、算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院式中式中 为系统参数，且为系统参数，且 。 在实际的生产过程中，被控对象的数学模型相当复在实际的生产过程中，被控对象的数学模型相当复杂，对应的传递函熟的阶次也比较高。在模拟控制器杂，对应的传递函熟的阶次也比较高。在模拟控制器的设计中，一般找出影响系统动态性能的主要环节和的设计中，一般找出影响系统动态性能的主要环节和参数，对系统进行简化，得到二阶的开环传递函数。参数，对系统进行简化，得到二阶的开环传递函数。设被控对象规范化后的传递函数为设被控对象规范化后的传递函数为) 1)(1()(21ssKsG21,K21计算机控制系统计算机

13、控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院从快速性和稳定性角度来看，用计算机实现被控对从快速性和稳定性角度来看，用计算机实现被控对象的动态校正，就是要求计算机与被控对象一起组成象的动态校正，就是要求计算机与被控对象一起组成的闭环系统具有二阶最佳设计的基本形式。设被计算的闭环系统具有二阶最佳设计的基本形式。设被计算机取代的模拟控制器的传递函数为机取代的模拟控制器的传递函数为D(s)，则，则) 12(1) 1)(1()()()()(11210sTsTssKsDsGsDs因此，因此，D(s)的形式为的形式为（5.1-2）sTs

14、TsDba1)(（5.1-3）计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院这是一个这是一个PI控制器。将控制器。将D(s)代入式（代入式（5.1-2），则），则) 12(1) 1)(1() 1(1121sTsTsssTsTKba（5.1-4）为使为使PI控制器能抵消被控对象中较大的时间常数，可控制器能抵消被控对象中较大的时间常数，可选择选择1aT（5.1-5）式（式（5.1-4）两边的系数相等，则有）两边的系数相等，则有1KTTb（5.1-6）计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模

15、拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院于是可得于是可得)11 (1)(11111sKTsKTssD（5.1-7）计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院Z变换法变换法差分法差分法冲激响应不变法冲激响应不变法阶跃不变法阶跃不变法零阶保持器法零阶保持器法零极点匹配映射法零极点匹配映射法后向差分法后向差分法前向差分法前向差分法双线性变换法双线性变换法预防频率失真的双线性变换法预防频率失真的双线性变换法计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计

16、算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院 从信号理论角度看，从信号理论角度看，模拟控制器模拟控制器就是把模拟信号就是把模拟信号滤波器滤波器作为作为校正装置校正装置。模拟控制器离散化成的数。模拟控制器离散化成的数字控制器，也可以认为是字控制器，也可以认为是数字滤波器数字滤波器。 离散后的数字控制器与等效前的连续控制器应具离散后的数字控制器与等效前的连续控制器应具有近似相同的动态特性和频率响应特性，但这是有近似相同的动态特性和频率响应特性，但这是不容易实现的。采用某种离散化技术可能达到相不容易实现的。采用某种离散化技术可能达到相同或几乎相同的同或几乎相同的，但不能具有较

17、好，但不能具有较好的的逼真度，反之亦然。逼真度，反之亦然。 对于大多数情况，要匹配等效前后的频率响应特对于大多数情况，要匹配等效前后的频率响应特性是很困难的。离散后数字控制器的动态特性性是很困难的。离散后数字控制器的动态特性取取计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院决于采样频率和特定的离散化方法。如果决于采样频率和特定的离散化方法。如果采样频率足采样频率足够高够高，等效离散的数字控制器和原连续控制器具有很，等效离散的数字控制器和原连续控制器具有很近似的特性。近似的特性。基本思想：设计的数字控制器的

18、基本思想：设计的数字控制器的Z传递函数传递函数D(z)的的单位冲激响应序列单位冲激响应序列d(kT)与其对应的传递函数与其对应的传递函数D(s)的的单位脉冲响应单位脉冲响应d(t)的采样值的采样值 相等。即由相等。即由)(kTds)()(kTdkTds计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院对对 采样，有采样，有来建立来建立D(z)与与D(s)的等效关系。的等效关系。一般连续环节的传递函数可展成部分分式一般连续环节的传递函数可展成部分分式niiiasAsD1)(nitaiieAsDLtd11)()(

19、)(tdnikTaisieAkTd1)(它的单位脉冲响应为它的单位脉冲响应为计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院式中：式中： 为连续环节为连续环节 的参数。的参数。按等效的要求，与按等效的要求，与 对应的对应的 为为)(sD)(zDkknikTaiszeAkTdZkTdZzDi 01)()()(niTaizeAi111、Aiia)(sD可见，用冲激不变法将可见，用冲激不变法将D(s)转换为转换为D(z)就是第三章就是第三章讨论过的部分分式法求讨论过的部分分式法求Z变换。变换。计算机控制系统计算机

20、控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院（2）若）若D(s)稳定，则稳定，则D(z)稳定。稳定。（4）D(z) 将将 的整数倍频率变换到的整数倍频率变换到Z平面上的同平面上的同 s一个点的频率，因而出现了混叠现象。一个点的频率，因而出现了混叠现象。（3）D(z)不能保持不能保持D(s)的频率响应。的频率响应。应用范围应用范围：连续控制器：连续控制器D(s)应具有部分分式应具有部分分式结构或结构或能较容易地分解为并联结构。能较容易地分解为并联结构。D(s)具有陡的衰减特具有陡的衰减特性，且为有限带宽信号的场合。这时采样频

21、率足够性，且为有限带宽信号的场合。这时采样频率足够高，可减少频率混叠影响，从而保证高，可减少频率混叠影响，从而保证D(z)的频率特的频率特性接近原连续控制器性接近原连续控制器D(s)。（1） D(z)与与D(s)的脉冲响应相同。的脉冲响应相同。冲激不变法的冲激不变法的特点特点：计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院则则 与与 等效。等效。基本思想：数字控制器的基本思想：数字控制器的Z传递函数传递函数D(z)的单位阶跃的单位阶跃响应序列响应序列u(kT)等于连续传递函数等于连续传递函数D(s)的单位

22、阶约响应的单位阶约响应u(t)的采样值的采样值 。即，若。即，若)(kTus)()(kTukTus)(zD)(sD连续环节单位阶跃响应是连续环节单位阶跃响应是1)()()()(11ssDLsEsDLtu离散值离散值)()(kTukTus计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院按设计要求按设计要求1)()()()(ssDZkTuZkTuZzUs1)()1 (11)()()()(1ssDZzzzssDZzEzUzD数字调节器数字调节器计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算

23、机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院串联，然后进行串联，然后进行Z变换离散化为变换离散化为 。即要求。即要求 的的基本思想基本思想：用零阶保持器：用零阶保持器 与模拟控制器与模拟控制器)(0sH)(sD)(zD)(zD输出响应序列输出响应序列 u(kT) 等于带有零阶保持器的连续传等于带有零阶保持器的连续传递函数递函数 输出量输出量 u(t) 的采样值的采样值 ，即，即)()(0sDsH)(kTus ，于是，于是)()(kTukTus)(1)(sDseZzDTs或或)()1 ()(1ssDZzzD计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计

24、算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院例例5.2-1 已知已知 ，用零阶保持器法求，用零阶保持器法求 。asasD)()(zD【解解】1111)1 ()1 ()(zeezasaZzzDaTaT控制算法：控制算法：)()1 ()()(TkTeeTkTuekTuaTaT零阶保持器法的特点：零阶保持器法的特点：（1）若）若D(s)稳定，则稳定，则D(z)也稳定；也稳定；（2）D(z)不能保持不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。的脉冲响应和频率响应。计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大

25、学机电工程学院：S域中零极点的分布直接决定了系统的域中零极点的分布直接决定了系统的特性，特性，Z域中亦然。因此当域中亦然。因此当S域与域与Z域时，应当保证零域时，应当保证零极点具有一一对应的映射关系。根据极点具有一一对应的映射关系。根据S域与域与Z域的转域的转换关系换关系 ，可将，可将S平面的零极点直接一一对应地平面的零极点直接一一对应地映射到映射到Z平面上，使平面上，使D(z)的零极点与的零极点与D(s)的零极点完的零极点完全相匹配，这种等效离散法称为全相匹配，这种等效离散法称为“零极点匹配法零极点匹配法”或或“根匹配法根匹配法”。Tsez 计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控

26、制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院（1）将）将D(s) 进行因式分解进行因式分解)()()()()(2121nmspspspszszszsksD (mn)（2）将）将D(s)的零点或极点映射到的零点或极点映射到Z平面，变换关系平面，变换关系为为a. 实数的零点或极点实数的零点或极点1zsezasaT计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院a. 可以用可以用 或或 在相对应的某期望特征频率在相对应的某期望特征频率 c. 无穷远处的零点无穷远处的零点a

27、TaTTjbaebTzezbasezjbas2222)(cos2)(1 z)(sD（3）Z传递函数中的增益传递函数中的增益 的确定：的确定：zK)(sD)(zDb. 复数的零点或极点复数的零点或极点点上的值相等来确定。点上的值相等来确定。计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院记记 的频率特性的频率特性记记 的频率特性的频率特性 )()()(jDjDs)(sD)(zD)()()()()(zzzTjATjDeD选取某一特征点选取某一特征点 ，并使，并使 ，即，即1)()(11TjseDjD)()()(

28、)(1111jjjAjAzz幅频幅频相频相频特别地，令特别地，令 ，利用，利用0)()()()()()(110高通低通zszszDsDzDsD或或可求得可求得 。zK计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院（ 为采样频率为采样频率 ），即），即D(s)有位于有位于S平面主频带之外平面主频带之外（4）如果）如果 D(s) 有有 的零点，其中的零点，其中（1）当）当D(s)的零极点已知时，采用零极点匹配法非的零极点已知时，采用零极点匹配法非常方便；常方便；（2）若）若D(s)稳定，则稳定，则D(z)必稳

29、定；必稳定；（3）有时）有时D(s)的分母比分子的阶数高（的分母比分子的阶数高（nm），考），考虑虑 D(s) 有有n-m个无限远的零点，在个无限远的零点，在D(z)中用中用 mnz ) 1(0jas20s来匹配，因此来匹配，因此 D(z) 的分母与分子是同阶的；的分母与分子是同阶的；s计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院的零点，则变换后的零点，则变换后 D(z) 的频率特性将出现混叠现象，的频率特性将出现混叠现象，不宜使用此种转换方法。不宜使用此种转换方法。例例5.2-2 已知已知 求数字控制

30、器求数字控制器D(z). ,015. 0,10420)(TsssD11115. 0106. 0861. 01942. 0111)(zzkzezeksDzz,417. 0)(, 8)(10zzskzDsD【解解】17.19zk于是有于是有11861. 01942. 0117.19)(zzzD所以所以计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院：模拟控制器的传递函数：模拟控制器的传递函数D(s)可转换为微可转换为微分方程，再离散为差分方程，最后求得分方程，再离散为差分方程，最后求得 Z 传递函数传递函数D(

31、z)。这种方法就是第三章介绍的由积分环节求。这种方法就是第三章介绍的由积分环节求Z传传递函数的方法。递函数的方法。微分环节微分环节积分环节积分环节ssEsUsDssEsUsDiidd1)()()()()()(tiddttetudttdetu0)()()()(计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院差分方程差分方程微分环节微分环节)()()()()()()(111jTeTTkTukTuTjTeTkTuTjTekTuiikjikjiTTkTekTekTud)()()(TzzEzUzDzETzzUddd1

32、11)()()()(1)(积分环节积分环节Z传递函数传递函数111)()()()()()(zTzEzUzDzETzUzzUiiii计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院S平面的虚轴平面的虚轴 ，经后向差分变换，经后向差分变换 ，可见后向差分的变换关系为可见后向差分的变换关系为Tzs11Tsz11TzssDzD11)()(js 或或即即Tjz11可推导出可推导出2222111TTjTz222211)Im()Re(Tzz计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的

33、模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院映射到映射到Z平面上是一个圆心在（平面上是一个圆心在（1/2，j0），半径为），半径为222)21()Im(21)Re(zzj或或这是这是Z平面上的一个圆。可见，平面上的一个圆。可见，S平面上的虚轴平面上的虚轴 ，1/2，与单位圆相切的一个小圆；，与单位圆相切的一个小圆；S的左半平面映射为的左半平面映射为SZReIm图图5.2-1 后向差分变换后向差分变换S与与Z的关系的关系j计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院这个小圆的内部，如图这个小圆的

34、内部，如图5.2-1所示。所示。因此，若因此，若D(s)稳稳定，则定，则D(z)必稳定。必稳定。微分环节微分环节积分环节积分环节TkTeTkTekTud)()()(dttdetud)()(tidttetu0)()(TTkTeTkTukTuTjTeTkTuTjTekTuiikjikji)()()()()()()(2010TTkTekTeTkTu)()()(计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院对于前向差分，当对于前向差分，当 时，时， ，即，即S平面的平面的由上述差分方程可推得前向差分的由上述差分方

35、程可推得前向差分的D(s)和和D(z)的变换的变换关系关系Tzs1Tsz1TzssDzD1)()(js 或或所以所以Tjz1虚轴映射到虚轴映射到Z平面上，是一条过（平面上，是一条过（1，j0）平行于虚）平行于虚轴轴的直线。的直线。S左半面平面映射到左半面平面映射到Z平面上，只有一部分平面上，只有一部分在单位圆内，因此若在单位圆内，因此若 D(s) 稳定，稳定，D(z) 不一定稳定。不一定稳定。计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院jReImSZ单位圆单位圆图图5.2-2 前向差分变换前向差分变换S

36、与与Z的关系的关系基本思想：根据定义基本思想：根据定义 取取z与与s 的线性近似关系的线性近似关系实现实现 D(s)与与D(z) 的转换。的转换。Tsez 计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院则则 离散化后的离散化后的Z传递函数传递函数于是有于是有 或或212122TsTseeezTsTsTs112zzTs11112zzTs)(sD由由Z变换的定义及级数展开式可知变换的定义及级数展开式可知11112)()(zzTssDzD同样同样2121)()(TsTszzDsD计算机控制系统计算机控制系统第五

37、章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院其中其中T为正数，令为正数，令 ，上式写成，上式写成再看映射关系再看映射关系112zzTsjz) 1)(1(1)(1(2112jjjjTjjTs2222) 1(212jT若若Re(s)0，则上式右边的实部，则上式右边的实部 ，即，即0122122可见，可见，S平面的负半平面映射为平面的负半平面映射为Z平面中以原点为圆心平面中以原点为圆心计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院的单位圆的内部，如图的

38、单位圆的内部，如图5.2-3所示。所示。SZImReImRe001-1j-j图图5.2-3 双线性变换的映射关系双线性变换的映射关系双线性变换的映射结果与双线性变换的映射结果与Z变换变换 的映射结果总的映射结果总Tsez 体上是一致的，稳定域相同，然而在对离散控制器的体上是一致的，稳定域相同，然而在对离散控制器的暂态响应和频率响应特性方面，二者却有很大的差暂态响应和频率响应特性方面，二者却有很大的差计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院： （1）将）将S平面的整个左半平面映射至平面的整个左半平面映

39、射至Z平面的单位平面的单位圆内，没有混叠效应。圆内，没有混叠效应。 （2）若）若D(s)稳定，稳定，D(z)也稳定。也稳定。 （3）D(z)不能保持不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。的脉冲响应和频率响应。D(s)的频率的频率 和和D(z)的频率的频率 之间存在非线性。之间存在非线性。异。与原连续控制器相比，用双线性变换法获得的异。与原连续控制器相比，用双线性变换法获得的离散控制器的暂态响应特性有显著的畸变，频率响离散控制器的暂态响应特性有显著的畸变，频率响应也有畸变，所以在工程设计中常采用双线性变换应也有畸变，所以在工程设计中常采用双线性变换法预防畸变校正设计。法预防畸变校正设计。ad计算

40、机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院上式表明了模拟频率上式表明了模拟频率 和离散频率和离散频率 之间的非之间的非设设 ，代入，代入 ，用欧拉公式化，用欧拉公式化率率 之间却存在非线性关系。之间却存在非线性关系。双线性变换，将双线性变换，将S平面的虚轴变换到平面的虚轴变换到Z平面的单位圆平面的单位圆周，因而没有混叠现象。但是在模拟频率周，因而没有混叠现象。但是在模拟频率 与离散频与离散频adTjadezjs,11112zzTs22TtgTda简得到简得到线性关系。当线性关系。当 取取 0 时，时， 的

41、值为的值为 0 .addTa计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院这意味着模拟滤波器的频率响应特性被压缩到离散滤这意味着模拟滤波器的频率响应特性被压缩到离散滤波器的波器的 频率范围之内。这两种频率之间频率范围之内。这两种频率之间Td0的非线性特性，使得由双线性变换所得的离散频率响的非线性特性，使得由双线性变换所得的离散频率响应产生畸变，因此可以采用预防畸变的办法来补偿频应产生畸变，因此可以采用预防畸变的办法来补偿频率特性的畸变。率特性的畸变。基本思想基本思想：在设计离散数字调节器：在设计离散数字调

42、节器D(z)代替模拟调代替模拟调节器节器D(s)时，对双线性变换关系式进行修正，其时，对双线性变换关系式进行修正，其修正修正准则准则是要求在某一关键频率（如截止频率）处，使是要求在某一关键频率（如截止频率）处，使D(s)与与D(z)的频率特性相同。的频率特性相同。计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院将将 代入上式求得代入上式求得设在设在 处处D(s)与与D(z)的频率特性相同，按的频率特性相同，按0da11112zzATsTjezjs0,0上述准则，将双线性变换关系式修改为上述准则，将双线性变换

43、关系式修改为)2(200TtgTA则则110011)2(zzTtgs计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院于是数字调节器为于是数字调节器为110011)2()()(zzTtgssDzD)()(00TjzseDjD在所设计的在所设计的 处，必然满足处，必然满足0（1）具有前述双线性变换的特点；）具有前述双线性变换的特点； （2）D(z)不能保持不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应；的脉冲响应和频率响应； （3）在设计点所得到的离散频率响应不产生畸变。）在设计点所得到的离散频率响应不产生畸变。计算机控

44、制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院（1）上述各方法，除了前向差分外，若原系统稳）上述各方法，除了前向差分外，若原系统稳定，则变换后的离散系统也是稳定的。定，则变换后的离散系统也是稳定的。（2）采样频率对设计结果有影响。当采样频率远高）采样频率对设计结果有影响。当采样频率远高于系统的截止频率时，用任何一种方法所变换的离散于系统的截止频率时，用任何一种方法所变换的离散系统与原连续系统相差不大。随着采样频率降低，各系统与原连续系统相差不大。随着采样频率降低，各方法就有差别。按设计结果的优劣排序为：双线性变方

45、法就有差别。按设计结果的优劣排序为：双线性变换法、零极点匹配法、后向差分、阶跃响应不变法换法、零极点匹配法、后向差分、阶跃响应不变法、冲激不变法。冲激不变法。计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院（3）上述个方法各有自己的特点：阶跃不变法和冲）上述个方法各有自己的特点：阶跃不变法和冲激不变法可以保证离散系统的响应与连续系统相同。激不变法可以保证离散系统的响应与连续系统相同。零极点匹配法能保证变换前后直流增益相同。双线性零极点匹配法能保证变换前后直流增益相同。双线性变换法可以保证前后特征频率不变。变

46、换法可以保证前后特征频率不变。计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院滤波滤波：根据信号中的有用信号与噪声的不同特性，：根据信号中的有用信号与噪声的不同特性，剔除噪声，提取有用信号的过程称为滤波。剔除噪声，提取有用信号的过程称为滤波。滤波器滤波器：实现滤波功能的装置或系统。：实现滤波功能的装置或系统。滤波是一种信号处理的过程。滤波是一种信号处理的过程。模拟滤波器模拟滤波器：由电阻、电容、电感和运算放大器所：由电阻、电容、电感和运算放大器所组成的、可对模拟信号实现滤波功能的硬件组成的、可对模拟信号实现

47、滤波功能的硬件装置。装置。计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院可对可对数字数字信号实现滤波的功能。信号实现滤波的功能。随着微电子和计算机技术的迅速发展和广泛应用，随着微电子和计算机技术的迅速发展和广泛应用，数字滤波技术的应用也越来越广泛。数字滤波器具有数字滤波技术的应用也越来越广泛。数字滤波器具有精度高、灵活、方便、可靠性高等优点。精度高、灵活、方便、可靠性高等优点。数字滤波器数字滤波器：是一种算法，编程之后，在计算机上：是一种算法，编程之后，在计算机上计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章

48、计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院D(s)D(z)e(t)e(k)u(t)u(k) 差分方程：差分方程：e(k) u(k) Z传递函数：传递函数：D(z) 频率特性函数：频率特性函数：)(TjeD2) 1()()(kekeku21)(1zzD2sin21)(2/TjeeeDTjTjTj计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院 递归式数字滤波器递归式数字滤波器无限冲激响应滤波器无限冲激响应滤波器IIRminiiiiTkTuaiTkTebkTu

49、01)()()(niiimiiizazbzEzUzD101)()()(miiiTkTebkTu0)()( 非递归式数字滤波器非递归式数字滤波器有限冲激响应滤波器有限冲激响应滤波器FIRmiiizbzEzUzD0)()()(按按结构结构分分按按频带频带分分：低通、高通、带通、带阻滤波器：低通、高通、带通、带阻滤波器计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院D(s)D(z)ttesin)(kTkTesin)()(sin)()(tAtu)(sin)()(kTMkTu连续系统：连续系统： )(sDe(t)u(

50、t)e(k)u(k)输入输入稳态稳态输出输出离散系统离散系统：)(zD)()(jDA)(Re)(Im)(1jDjDtg 线性时不变系统的稳态响应线性时不变系统的稳态响应稳态输出与输入的频率相同稳态输出与输入的频率相同E(z)U(z)计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院Z变换的定义：变换的定义： ，令，令Tsez js )()()(TjTseDeDzD数字滤波器的频率特性数字滤波器的频率特性可用可用 来描述：来描述：)(TjeD幅频特性幅频特性)()(TjeDM相频特性相频特性)(Re)(Im)(

51、)(1TjTjTjeDeDtgeD计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院 nkkmrrpzzzKzD11)()()(nkkTjmrrTjpezeKzD11)()()(krjkkTjjrrTjeBpeeAzeKBAKeDMnkkmrrnkkmrrTj1111)()()(将将D(z)的分子分母分解成的分子分母分解成因式因式将复变量写成极坐标形式将复变量写成极坐标形式则幅频特性和相频特性为则幅频特性和相频特性为计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计

52、 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院例例5.3-1 已知数字滤波器的已知数字滤波器的Z传递函数传递函数 ，11)()(pzzzKzD0Re试用几何法求其频率特性，并说明零、极点的位置试用几何法求其频率特性，并说明零、极点的位置对频率特性的影响。对频率特性的影响。ImP104r2r1z1pAB,0TjePAzePzTj11BpePpTj11)(1zeTj)(1peTjBAKpezeKeDTjTjTj11)(计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院0ReImP104r2r1z1pAB幅频特性幅频特

53、性BAKeDTj)(相频特性相频特性KeDTj)()(0K00KK当频率较低时，当频率较低时，当频率较高时，当频率较高时，,BA ,BA 取值很大；取值很大；)(TjeD)(TjeD 取值很小。取值很小。计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院由上图及上述分析可知：由上图及上述分析可知：若若D(z) 的零点的零点 ，极点，极点 ，则数字滤波器，则数字滤波器具有具有低通低通特性。特性。反之，若零点反之，若零点 ，极点，极点 ，则数字滤波器，则数字滤波器具有具有高通高通特性。特性。01z01p01z01

54、p计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院 设计模拟滤波器设计模拟滤波器D(s)数字滤波器数字滤波器D(z) 根据数字滤波器零极点的分布对频率特性的影响，根据数字滤波器零极点的分布对频率特性的影响，通过适当配置通过适当配置D(z)的的零、极点，就能构成具有所零、极点，就能构成具有所期望的频率特性的数字调节器期望的频率特性的数字调节器【例例5.3-2】 已知低通滤波器已知低通滤波器Z传递函数的形式为传递函数的形式为 ，试设计低通滤波器，试设计低通滤波器D(z)，要求带宽，要求带宽)()1 ()(azz

55、azD为为0250rad/s.计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院当当 时，时， ，具有最大值，具有最大值【解解】 D(z)的零点的零点 ，极点，极点 ，01zap 1aeeaMeDTjTjTj)1 ()()(频率特性频率特性0111)0(aaM设带宽截止频率为设带宽截止频率为 ，m21)1 ()(aeeaMTjTjm)cos1)(cos3(cos2TTTammm若采样周期若采样周期T=1ms，带宽，带宽 rad/s，可算得，可算得250m,4734. 0a14734. 015266. 0)(z

56、zD计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院 什么是什么是PID控制器？控制器？按偏差的比例（按偏差的比例（Proportional）、积分）、积分 （Integral）、微分（）、微分（Differential）进行控制。）进行控制。自自20世纪世纪30年代出现以来，在工业控制领域得到年代出现以来，在工业控制领域得到很大发展和广泛应用。很大发展和广泛应用。 PID控制器的特点控制器的特点结构简单，可灵活改变（如结构简单，可灵活改变（如PI，PD），参数），参数易于调整。特别是在工业过程控制中，由于

57、被控对易于调整。特别是在工业过程控制中，由于被控对计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院象的精确数学模型难以建立，系统的参数经常发生变象的精确数学模型难以建立，系统的参数经常发生变化，运用控制理论进行分析综合，不仅耗费很大代化，运用控制理论进行分析综合，不仅耗费很大代价，且难以实现预期的控制。在用计算机实现控制的价，且难以实现预期的控制。在用计算机实现控制的系统中，用计算机算法（系统中，用计算机算法（数字数字PID调节器调节器）代替模拟）代替模拟式式PID调节器，很容易通过编程实现。调节器，很容易

58、通过编程实现。计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院 在能量和信息的传输过程中，由于管道和传输通在能量和信息的传输过程中，由于管道和传输通道等原因会引入时间上的滞后，往往导致系统的道等原因会引入时间上的滞后，往往导致系统的响应变差，甚至不稳定响应变差，甚至不稳定 为改善系统的调节品质，常引入偏差的为改善系统的调节品质，常引入偏差的比例比例调节调节 大多数被控对象有储能元件存在，造成系统对输大多数被控对象有储能元件存在，造成系统对输入的响应有一定的惯性入的响应有一定的惯性以保证系统的以保证系统的快速

59、性快速性，引入偏差的，引入偏差的积分积分调节以控调节以控计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院式中式中 为比例系数；为比例系数； 为积分时间常数；为积分时间常数； 为微分为微分制制精度精度，引入偏差的，引入偏差的微分微分调节来消除系统的调节来消除系统的惯性惯性的影的影响。响。tdipdttdeTdtteTteKtu0)()(1)()(pKiTdT时间常数。取拉氏变换时间常数。取拉氏变换)()()()(ssETsTsEsEKsUdip（5.4-1）（5.4-2）模拟模拟PID调节器的微分方程为调节器

60、的微分方程为计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院 为微分系数。为微分系数。其中：其中： 为积分系数；为积分系数；传递函数为传递函数为sKsKKsTsTKsEsUsDdipdip11)()()(ipiTKK dpdTKK pKsKisKd)(sG)(te)(tu)(tr)(ty+-图图5.4-1 模拟模拟PID控制系统控制系统（5.4-3）计算机控制系统计算机控制系统第五章第五章 计算机控制系统的模拟化设计算机控制系统的模拟化设计计 中南大学机电工程学院中南大学机电工程学院（1）比例比例调节器：对