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文档简介

1、第十章计数原理10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理考纲要求理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,会用它们分析和解决一些简单的实际问题1分类加法计数原理:完成一件事情可以有n类方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事情共有_种不同的方法2分步乘法计数原理:完成一件事情需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事情共有_种不同的方法14封不同的信投入三个不同的信箱中,所有投法的种数是()A34 B43 C D24个人去借3本不同的书(全部

2、借完),所有借法的种数是()A34 B43 C D3有A,B两种类型的车床各一台,现有甲、乙、丙三名工人,其中甲、乙都会操作两种车床,丙只会操作A种车床,现在要从三名工人中选2名分别去操作以上车床,不同的选派方法有()A6种 B5种 C4种 D3种4有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数是_5农科院小李在做某项试验中,计划从花生、大白菜、大豆、玉米、小麦、高粱这6种种子中选出4种,分别种植在4块不同的空地上(1块空地只能种1种作物)若小李已决定在第1块空地上种玉米或高粱,则不同的种植方案有_种(用数字作答)一、分类加法计数原理的应用【例1】高

3、三(1)班有学生50人,男30人,女20人;高三(2)班有学生60人,男30人,女30人;高三(3)班有学生55人,男35人,女20人(1)从高三(1)班或(2)班或(3)班选一名学生任学生会主席,有多少种不同的选法?(2)从高三(1)班、(2)班男生中,或从高三(3)班女生中选一名学生任学生会主席,有多少种不同的选法?方法提炼运用分类加法计数原理时,首先要根据问题的特点,确定分类标准,分类应满足:完成一件事的任何一种方法,必属于某一类而且仅属于某一类,即“类”与“类”间有独立性与并列性请做演练巩固提升1二、分步乘法计数原理的应用【例21】现要排一份5天的值班表,每天有一个人值班,共有5个人每

4、个人都可以值多天班或不值班,但相邻两天不准由同一个人值班,问此值班表共有多少种不同的排法?【例22】已知集合M3,2,1,0,1,2,P(a,b)表示平面上的点(a,bM),问:(1)P可表示平面上多少个不同的点?(2)P可表示平面上多少个第二象限的点?(3)P可表示多少个不在直线yx上的点?方法提炼运用分步乘法计数原理时,首先要根据问题的特点,按事件发生的过程合理分步,然后再确定每一步中完成任务有多少种方法,最后根据分步乘法计数原理求出所有的方法数请做演练巩固提升4三、两个计数原理的综合应用【例31】如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂1种颜色,相邻的

5、区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有()A72种 B96种C108种 D120种【例32】编号为A,B,C,D,E的五个小球放在如图所示的五个盒子里,要求每个盒子只能放一个小球,且A球不能放在1,2号盒子中,B球必须放在与A球相邻的盒子中,则不同的放法有_种方法提炼对于某些复杂的问题,有时既要用分类加法计数原理,又要用分步乘法计数原理运用两个计数原理解题时是先分类、后分步,还是先分步、后分类,应视具体问题而定,并搞清分类或分步的具体标准是什么,完成事情的含义和标准是什么请做演练巩固提升5注意分情况求解勿重勿漏【典例】在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不

6、同排列表示不同信息若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A10 B11 C12 D15解析:(方法一)分0个相同、1个相同、2个相同讨论(1)若0个相同,则信息为:1001.共1个(2)若1个相同,则信息为:0001,1101,1011,1000.共4个(3)若2个相同,又分为以下情况:若位置一与二相同,则信息为:0101;若位置一与三相同,则信息为:0011;若位置一与四相同,则信息为:0000;若位置二与三相同,则信息为:1111;若位置二与四相同,则信息为:1100;若位置三与四相同,则信息为:1010.共有6个故与信息0110至多有两个对应

7、位置上的数字相同的信息个数为14611.(方法二)若0个相同,共有1个;若1个相同,共有C4(个);若2个相同,共有C6(个)故共有14611(个)答案:B答题指导:1本题考查的是分类加法计数原理,难度不大,属中档题2本题要求至多有两个对应位置上的数字相同,应按照0个相同、1个相同、2个相同进行讨论,本题易错点是易漏掉0个相同的情况16名同学安排到3个社区A,B,C参加志愿者服务,每个社区安排两名同学,其中甲同学必须到A社区,乙和丙同学均不能到C社区,则不同的安排方法种数为()A12 B9 C6 D52五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室,比赛后都回到休息室取衣服由于灯光暗淡,看不清自己的外衣

8、,则至少有两人拿对自己的外衣的情况有()A30种 B31种 C35种 D40种3形如45132这样的数称为“波浪数”,即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大,则由1,2,3,4,5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的个数为()A12 B24 C16 D204在2012年伦敦奥运选手选拔赛上,8名男运动员参加100米决赛,其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有_种5若一份试卷共有10道选做题,分为两个系列,每个系列有5道题,要求考生选做6道题,但每个系列至多选4道题,则每位考生选做方案种数为_参考答案基础梳理自测知识梳

9、理1Nm1m2mn2Nm1×m2××mn基础自测1A解析:每封信有3种投法,根据分步乘法计数原理,4封不同的信投入三个不同的信箱,共有3×3×3×334种投法2B解析:每本书有4种借法,根据分步乘法计数原理,4个人去借3本不同的书(全部借完)共有4×4×443种借法3C解析:从三名工人中选甲、乙两人有2种选派方法;选中甲、丙,则只有1种选派方法;选中乙、丙,只有1种选派方法,共2114种412解析:先选上衣,从4件上衣中选一件有4种,第二步选长裤,从3条长裤中选一条有3种,由分步乘法原理可知有4×312种

10、配法5120解析:由已知条件可得第1块地有C种种植方法,则第24块地共有A种种植方法,由分步乘法计数原理可得,不同的种植方案有CA120种考点探究突破【例1】解:(1)从高三(1)班50人中选一人有50种选法;从高三(2)班60人中选一人有60种选法;从高三(3)班中选一人有55种选法,共有506055165(种)(2)从高三(1)班、(2)班男生中选一人有303060(种)选法,从高三(3)班女生中选有20种选法,共有30302080(种)【例21】解:先排第一天,可排5人中的任一人,有5种排法;再排第二天,此时不能排第一天已排的人,有4种排法;再排第三天,此时不能排第二天已排的人,仍有4种

11、排法;同理,第四、五两天均各有4种排法由分步乘法计数原理可得值班表共有不同排法数为:5×4×4×4×41 280(种)【例22】解:(1)确定平面上的点P(a,b)可分两步完成:第一步确定a的值,共有6种取法;第二步确定b的值,共有6种取法故P可表示平面上36个不同的点(2)确定第二象限点,可分两步完成:第一步确定a,由于a0,所以有3种取法;第二步确定b,由于b0,所以有2种取法由分步乘法计数原理,得到P可表示第二象限的点的个数是3×26.(3)点P(a,b)在直线yx上的充要条件是ab,因此a和b必须在集合M中取同一元素,共有6种取法,即在

12、直线yx上的点有6个由(1)得P可表示不在直线yx上的点共有36630(个)【例31】B解析:若1,3不同色,则1,2,3,4必不同色,有3A72种涂色法;若1,3同色,有CA24种涂色法根据分类加法计数原理可知,共有722496种涂色法【例32】30解析:根据A球所在位置分三类:(1)若A球放在3号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的三个盒子放球C,D,E有A6种不同的放法,则根据分步计数原理,此时有A6种不同的放法;(2)若A球放在5号盒子内,则B球只能放在4号盒子内,余下的三个盒子放球C,D,E有A6种不同的放法,则根据分步计数原理,此时有A6种不同的放法;(3)若A球放在4号盒子内

13、,则B球可以放在2号,3号,5号盒子中的任何一个,余下的三个盒子放球C,D,E有A6种不同的放法,根据分步计数原理,此时有AA18种不同的放法综上所述,由分类计数原理得不同的放法共有661830种演练巩固提升1B解析:当乙、丙中有一人在A社区时有6种安排方法;当乙、丙两人都在B社区时有3种安排方法,所以共有9种不同的安排方法2B解析:至少有两人拿对自己的外衣,分为2人拿对,3人拿对和全拿对自己的外衣,2人拿对有C×220种,3人拿对有C×110种,全拿对有1种,共2010131种3C解析:当十位数字和千位数字排4,5时,有AA12个“波浪数”;当十位数字排3,千位数字排5时,万位数字必须排4,其他两位排1,2,有A2个“波浪数”;同理,交换3与5的位置,也有A2个“波浪数

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