高三数学上学期练习卷《简单几何体》

1、 数学忘忧岛 由勾股定理得 ACCD 又PA面 ABCD CD Ì 面 ABCD PACD，PAAC=A，CD面 PAC， 又 CD Ì 面 PCD， 面 PAC面 PCD （2）证明：作 CF/AB 交 AD 于 F， 作 EF/AP 交 PD 于 E，连接 CE CF/AB EF/PA CFEF=F PAAB=A 平面 EFC/平面 PAB， 又 CE 在平面 EFC 内， CE/平面 PAB Q BC = 1 AD , AF = BC 2 F 为 AD 的中点， E 为 PD 中点 故棱 PD 上存在点 E，且 E 为 PD 中点，使 CE/面 PAB 22解：解法一

2、： （1）证明：平面 A1 B1C1 平面 ABC B1C1 BC BC AC B1C1 A1C1 又平面 AB1C 平面 ABC ，平面 AB1C I 平面 ABC = AC BC 平面 AB1C BC AB1 又 A1C1 I B1C1 = C1 , AB1 I B1C1 = B1 B1C1 为 AB1 与 A1C1 的公垂线。 （2 过 A 作 AD B1C 于 D ， DAB1C 为正三角形， D 为 B1C 中点， BC 平面 AB1C 又 BC I B1C = C BC AD AD 平面 VBC V A1 B1 C1 D 线段 AD 的长即为 A 到平面 VBC 的距离 A H C

3、 B 3 在等边三角形 AB1C 中， AD = AC = 3a 2 点 A 到平面 VBC 的距离为 3a 。 （3 过 D 作 HD VB 于 H ，连结 AH 由三垂线定理知 AH VB ÐAHD 是二面角 A - VB - C 的平面角 在 Rt DAHD 中， AD = DH = 3a ， DB1 DH DB1 BC ， DH B1 D = BC B1 B B1 D × BC AD 5 = 15 = a ， tan ÐAHD = DH B1 B 5 V 所以，二面角 A - VB - C 的大小为 arctan 15 。 法二：取 AC 中点 O ，连结

4、 B1O ，易知 B1O 平面 ABC ， 过 O 作直线 OH BC 交 AB 于 H 取 O 为空间直角坐标系的原点， OH 、 OC 、 OB1 所在直线分别 数学忘忧岛 z A1 C1 y B1 H A O B C x 数学忘忧岛 为 x, y , z 如图建立空间直角坐标系，则 ( ) BC · AB = (- a,0,0) · (0, a, 3a) = 0 （1 BC = (- a,0,0), AB1 = 0, a, 3a 1 A(0,-a,0), B(a, a,0), C(0, a,0) B1 0,0, 3a ( ) BC AB1 ， BC AB1 ， 又 B

5、1C1 BC ，由已知 BC AC ， A1C1 AC B1C1 A1C1 , B1C1 AB1 ， 即 B1C1 为 AB1 与 A1C1 的公垂线。 （2 设 n = (x, y, z ) 是平面 VBC 的一个法向量，又 BC = (- a,0,0), BB1 = - a,-a, 3a ， 则í ( ) ì ïn · BC = 0 ï în · BB1 = 0 ，即 í ì- ax = 0 î- ax - ya + 3az = 0 ，令 z = 3 ，则 x = 0, y = 3 n =

6、0,3, 3 设所求距离为 d ， ( ) d= AB1 · n n = 3a + 3a 12 = 3a 点 A 到平面 VBC 的距离为 3a 。 （3 设平面 VAB 的一个法向量为 m = (s, t, f ) ，又 AB = (a,2a,0) 令 f = - 3 ，则 s = -6, t = 3 - as - at + 3 af = 0 ï m · BB = 0 î 1 î ur 即 m = -6,3, - 3 ，设二面角 A - VB - C 为 a ， n = 0,3, 3 r ur r ur n·m 9-3 1 cos n, m = r ur = = n m 2 3×4 3 4 则í 则í ì ïm