二次函数的概念及一般形式习题

1、知识点一二次函数的概念二次函数我们把形如y =ax2+bx+c (其中a、b、c为常数，a = o)的函数叫做二次函数。例，下例函数中，是二次函数的是()2_2122_3A, y=2x B, y = x C, y = (x2) -x D, y=x -2x + 1x补充：判断一个函数是否为二次函数的方法和步骤；(1)先将函数进行整理，使其右边是含有自变量的代数式，左边是因变量；(2)判断右边含自变量的代数式是否为整式；(3)判断含自变量的项的最高次数是否为2;(4)判断二次项的系数是否为零。1、下列函数中，是二次函数的是()A“ 2'C -88A： y =68x +1 B ； y=8x+

2、1C： y= D : y = - +1xx2、函数y =(mn)x2+mx+n是二次函数的条件是()A：m、n为常数，且 m w 0。B:m、n为常数，且 mwn。C：m、n为常数，且nw0。d:m、n可以为任何数。2 ,3、函数y=(m +m)x 是二次函数，那么 m的值是()A: 2 B:-1 或 3 C : 3 D : ±14、下列关系中，是二次函数关系的是()A:当距离S 一定时，汽车行驶的时间 t与速度V之间的关系。B：在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量 x之间的关系。C:圆的面积S与圆的半径r之间的关系。D :正方形的周长 C与边长a之间的关系。5、已知x为矩形的

3、一边长，其面积为y ,且y = x(4-x)，则自变量的取值范围是()A: x >0 B: 0Mx<4 C:0W x <4 D : x > 46、二次函数 y=J3xx2 中，a=, b=, c=。227、已知函数y=(m -m)x +(m1)x+m+1。若这个函数是二次函数，求 m的取值范围。知识点二二次函数的一般形式任何一个二次函数的解析式都可以化成y =ax2+bx+c (a、b、c为常数，a*o)的形式，因此，把y =ax2+bx+c (a、b、c为常数，a = o)叫做二次函数的一般形式。其中ax2、bx、c分别是二次项、一次项和常数项；而 a,b,c分别是二

4、次项系数，一次项系数和常数项。补充：在一般形式中，只有 a#0时，y =ax2+bx+ c才是二次函数，当 a=0时，y = bx + c,若b#0,则它是一次函数，若 b=0,则它是一个常数函数。例，把下列二次函数化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数、常数项：,.、22(1) y=x +(x+1)(2) y =(2x+3)(x 1)+52(3)y =4x 12x(1 +x)(4) y=(x+1)(x1)习题1,在下列函数关系式中，哪些是二次函数(是二次函数的在括号内打上，不是的打“ x”).2)y=x-x ()2)y = 3x - 3()2(l ) y = -2x( )(2(3 ) y

5、 =2(x 一1)2 +5 ( )(4(5) s = a(8 - a) ()2,函数 y =ax2bx c (a,b,c是常数)问当a,b,c满足什么条件时:(l )它是二次函数;(2 )它是一次函数 (3 )它是正比例函数知识点三：y=ax2 常量a对二次函数的影响函数a的符号图象开口方向顶点坐标对称轴增减性最大(小)值2 y=axa>0向(_，_!x>0时，y随x增大而x<0时，y随x增大而2y=axa<0向(_，x>0时，y随x增大而x<0时，y随x增大而引例：在同一直角坐标系中试着画出下列二次函数的图象：第一组：y=x2y=-x 2第二组：y=2x2

6、y=-2x 2函数y=ax2(a w 0)的图象与性质：3. a的绝对值决定抛物线的开口 , |a|越大抛物线开口就 习题：1.函数y=ax2 (aw。)的图象与a的符号有关的是()A.顶点坐标 B. 开口方向 C. 开口大小 D.2、二次函数如右图所示，则它的关系式是 3、二次函数y =3x2的图像开口向 ，顶点是(),对称轴;|a|越小抛物线开口就越大。它是抛物线的最 点， 第2题对称轴是 ,在对称轴的左侧，图像从左往右 ;在对称轴的右侧，图像从左往右 ;4、二次函数y=-3x2的图像开口向 ，顶点是(),它是抛物线的最 点，对称轴是 在对称轴的左侧，图像从左往右 ;在对称轴的右侧，图像从

7、左往右 ;5、已知关于x的二次函数y=mx|m|中，当x>0时，y随x的增大而增大，则 m =.1 2 .6、已知抛物线y= x的图像经过点(a,4.5)和(a, y1)，则y1的值是1 c7、下列各组点中，两个点都在抛物线y = x2上的是()。21A： (0,0),(1,2)B: (2,1),( -1,-) C: (2,2),( 一2,2)D:(一1,2),(2, 一2)8、关于抛物线 y =x2和y = -X2 ,下列说法不正确的是()A:顶点相同 B :对称轴相同 C :开口方向相反 D :都有最小值一2 一的增大而9 .当m=时，抛物线y =(m+1)xm开口向下，对称轴是 ,

8、在对称轴左侧，y随x在对称轴右侧，y随x的增大而。10 .若函数y=ax2的图象是一条不经过一、二象限的抛物线，则 a的符号是 。11 .函数y=ax2 (aw0)与y=-ax+b在同一坐标系的图象可能是图中的()ABCDx12已知函数y = -5x2的图像上有三个点（x1，y1）,（x2, y2）,（ x3, y3）,若 x Ax? >x3 >0 ,则y1，y2与y3的大小关系为13、如右图所示，点 A是抛物线y=-x2上一点，AB -L x轴于B点，若B点坐标为 (2,0),则 Svaob=。2 .14、已知抛物线 y =ax经过点(2,8)。(1)求此抛物线的函数关系式。(2

9、)判断点B(1,4)是否在此抛物线上。(3)求出此抛物线上纵坐标为 6的点的坐标。15、底面是边长为 x cm的正方形，高为 0.5 cm的长方体体积为 y cm2。(1)求y关于x的函数式。(2)列出对应值表，画出函数图像。(3)根据图像求出 y =8cm3时，底面边长x的值。(4)根据图像，求出 x为何值时，y >4,5cm3 ?16、已知抛物线 y=ax2经过点A(2,1)。(1)求这个函数解析式；(2)写出抛物线上点 A关于y轴的对称点B点的坐标。(3)求VOAB的面积。(4)抛物线上是否存在点 C,使VABC的面积等于VOAB面积的一半，若存在，求出 C点的坐标；若不存在，请说

10、明理由。知识点五：二次函数 y=ax2+bx+c(a w 0)的图象与性质函数二次函数 y=ax2+bx+c(a , b, c是常数，aw。)图象a>0a<0性质(1)当a>0时，抛物线开口向 ,并向无限b 4呢-必延伸，顶点2a' 4a是它的最点.iX -(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右,在对称轴的右侧，抛物线自左右.(1)当a<0时，抛物线开口向 ,并向无限b 4呢-必延伸，顶点 2/ 4a是它的最点.b(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右;在对称轴右侧，抛物线自左向右 _二总结：抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用a, b, c的代数式作用字母的符号图象的特征a1 .决定抛物线的开口方1可；2 .决定增减性a>0开口向A<0开口向c决定抛物线与y轴交点的位置，交 直坐标为(0 , c)c>0交点在C=0抛物线过C<0交点在决定对称轴的位置，对称轴是直线4X 2aab>0对称轴在y轴ab<0对称轴在y轴b2-4ac决定抛物线与x轴公共点的个数b2-4ac>0抛物线与x轴有交点b2-4