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文档简介

解: 令u = xy, 则du = xdy + ydx 代入方程并整理得 u(1 + udx + (1 - u(xdu - udx = 0 即 2u 2dx + x(1 - udu = 0 u -1 2dx du = 2 u x 1 2 两边积分得 + ln u = ln x + c u 1 x 变量还原得通解为 - ln = c. xy y 分离变量后得 三、应用举例 例8、雪球的融化 设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例， 且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的 半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm，求 雪球的体积随时间变化的关系。 解: 设在时刻t雪球的体积为 v(t , 表面积为s(t ,则 根据球体的体积和表面积的关系得 dv (t = - ks (t dt 1 3 2 3 s(t = (4p 3 v (t 2 3 引入新常数 g = (4p 3 k , 再利用题中条件得 1 3 2 3 dv = -k (4p 3 v = -gv , dt v(0 = 288 p , v(2 = 36p 1 3 分离变量并积分得方程的通解为 v (t = ( c - gt . 27 由初始条件得 c = 363 p , g = 93 p 6 6 代入得雪球的体积随时间的变化关系为 1 3 2 3 2 3 2 3 v(t = p 6 (12 - 3t

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