第八章中档题目强化练

1、中档题目强化练 立体几何A 组 专项基础训练（时间： 40 分钟 ）一、填空题1. 已知直线li, I2与平面a则下列结论中正确的是 .（填序号）若I1? aI2Ca= A则Ii , I2为异面直线;若I1/ I2I1/a 则I2/a；若li 丄 I2 ,li丄a 则I2/a；若11 丄 a,I?丄a 则I1/I2.答案解析 对于，当A li时，结论不成立；对于 ，当12? a时，结论不成立2. 设 a伙丫是三个互不重合的平面，m、n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是.（填序号 ）若a丄3,3丄 y则a丄Y若m/ an/ 3a丄3则mn；若a丄3,m丄a ,则 m/ 3；若a/ 3m?3m

2、/ a 则m/3.答案解析对于 若a丄3, 3丄y a丫可以平行，也可以相交，错；对于，若m/ a, n / 3,a丄3,则m, n可以平行，可以相交，也可以异面，错；对于，若a丄3, m丄a则m可以在平面3内，错；易知正确3. 设a 3、丫为平面，I、m、n为直线，则下列是 m丄3的一个充分条件为 （填序号） a丄 3, aCl A I , mX I ; n丄 a, n丄 3, m a; aC y= m, a_L y 3丄 Y a_L y 3丄 Y m _L a.答案 解析 如图1知错；如图2知错；如图3在正方体中，两侧面 a与3相交于I，都与底面y垂直，丫内的直线ml a,但m与3不垂直，

3、故错；由n丄a, n丄3 得 a/ 3又 口丄a,贝U m 3,故正确.64. 如图，在正四棱柱（底面是正方形的直四棱柱 ）ABCD AiBiCiDi中，E、F分别是ABi、BCi的中点，则下列结论不成立的是 . EF与BBi垂直； EF与BD垂直； EF与CD异面； EF与AiCi异面答案解析连结BiC，AC，则BiC交BCi于F，且F为BiC的中点，i又E为ABi的中点，所以EF綊2AC,而BiB丄平面ABCD，所以BiB丄AC, 所以BiB丄EF,正确；又AC丄BD，所以EF丄BD ,正确；i显然EF与CD异面，正确；由EF綊2AC, AC / AiCi,得EF / AiCi.故不成立的

4、为 .5. 底面直径和母线长相等的圆柱称为等边圆柱.已知一等边圆柱的底面半径为2，则其体积为答案 i6n解析由题意，圆柱的高为 4，则V = n 4= i6 n.6. 三棱锥P ABC中，PA丄底面ABC, PA = 3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P ABC的体积等于.答案 .3解析 / PA丄底面ABC, FA为三棱锥 P ABC的高，且 PA = 3.底面ABC为正三角形且边长为 2, 底面面积为22x sin 60 =3, VPABC =23x 3 = 3.7. 已知四棱锥P ABCD的底面ABCD是矩形，PA丄底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，贝U 棱AB与

5、PD所在直线垂直； 平面 PBC与平面 ABCD垂直； 、PCD的面积大于 PAB的面积; 直线AE与直线BF是异面直线.以上结论正确的是.(写出所有正确结论的编号)答案解析由条件可得AB丄平面PAD , AB丄PD，故正确；若平面 PBC丄平面 ABCD，由PB丄BC,得PB丄平面ABCD，从而PA / PB，这是不可能的，故 错;1 1Spcd = qCD PD, Spab = qAB PA,由AB= CD , PDPA知正确；由E、F分别是棱PC、PD的中点，可得 EF / CD，又 AB / CD , EF / AB, 故 AE与BF共面，错.8三棱锥S- ABC中，/ SBA=Z S

6、CA= 90 ABC是斜边AB= a的等腰直角三角形，则以下结论中： 异面直线SB与AC所成的角为90 直线SB丄平面ABC; 平面SBC丄平面SAC;1 点C到平面SAB的距离是2a.其中正确结论的序号是 答案解析 由题意知 AC丄平面SBC,故AC丄SB, SB丄平面ABC,平面SBC丄平面SAC, 正确；取AB的中点E,连结CE,(如图)可证得CE丄平面SAB,故1CE的长度即为 C到平面SAB的距离qa,正确、解答题89如图，已知在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，AD 丄 DC , AB / DC , DC = DDj= 2AD = 2AB=2.(1) 求证：DB丄平面B1B

7、CC仁设E是DC上一点，试确定 E的位置，使得 D1E/平面A1BD ,并说明理由(1) 证明 在 Rt ABD 中，AB = AD = 1, BD = . 2,又 BC = 2, CD = 2,/ DBC = 90 即 BD 丄 BC.又 BD丄BBi, BiB n BC = B, BD 丄平面 BiBCCi.(2) 解 DC的中点即为E点，连结 DiE, BE, / DE / AB, DE = AB,四边形ABED是平行四边形. AD 綊 BE.又 AD 綊 A1D1, - BE 綊 A1D1 ,四边形AiDiEB是平行四边形. DiE / AiB.T DiE?平面 AiBD , AiB?

8、平面 AiBD, DiE / 平面 AiBD.i0.在正方体 ABCD A B C D中，棱 AB, BB , B C , C D的中点分别是 E,F, G , H，如图所示.(1) 求证：AD /平面 EFG ;(2) 求证：A C丄平面EFG ;(3) 判断点A, D , H , F是否共面？并说明理由(i)证明连结BC.在正方体 ABCD A B C D 中，AB = C DAB / C D,所以四边形 ABC D是平行四边形，所以 AD/ BC.因为F, G分别是BB , B C 的中点，所以 FG / BC ，所以 FG / AD .因为EF, AD 是异面直线，所以AD ?平面EF

9、G.因为FG?平面EFG，所以AD/平面EFG .A E B证明连结B C.在正方体 ABCD A B C D中，A B 丄平面BCC BBC ?平面 BCC B ,所以A B丄BC .在正方形 BCC B中，B C丄BC ,因为A B 平面 A B C, B C?平面 A B C, A所以BC 丄平面A B C.因为A C?平面A B C,所以BC 丄A C.因为FG / BC ，所以A C FG,同理可证 A C EF.因为 EF?平面 EFG , FG?平面 EFG , EF n FG = F ,所以A C丄平面EFG.(3) 解点A, D , H , F不共面.理由如下：假设 A, D

10、 , H , F 共面，连结 C F, AF, HF.由(1)知，AD / BC ,因为 BC ?平面 BCC B , AD ?平面 BCC B . 所以AD /平面BCC B .因为 C D H,所以平面 AD HF n平面BCC B = C F.因为 AD ?平面 AD HF，所以 AD / C F.所以C F/ BC ，而C F与BC 相交，矛盾. 所以点A, D , H , F不共面.B组专项能力提升(时间：40分钟)1.已知直线I丄平面a,直线m?平面3,有下面四个命题: a/ 3? I丄m； a丄 3? I / m； I / m? a丄 3； I 丄 m? a/3其中正确的命题有.

11、答案a/ 3 I 丄 3、解析中，？1丄m,故正确；I丄a m? 3 中，I与m相交、平行、异面均有可能，故 错；I / m m 丄 a 中，? a丄3,故正确;I丄am? 3 中，a与3也有可能相交，故错误.分别为PA、PD的中点在此几何体中，给出下面四个结论: 直线BE与直线CF异面； 直线BE与直线AF异面； 直线 EF /平面 PBC; 平面 BCE丄平面 PAD.其中正确的有.答案解析 对于，因为E、F分别是PA、PD的中点，所以EF / AD.又因为AD/ BC,所以EF / BC.所以BE与CF共面.故不正确.对于，因为BE是平面APD的斜线，AF是平面APD内与BE不相交的直线

12、，所以 BE 与AF不共面.故正确.对于，由，知EF / BC,所以EF /平面PBC.故正确.对于，条件不足，无法判断两平面垂直 nn3. 有一个内接于球的四棱锥 P ABCD ,若PA丄底面ABCD , / BCD = -, / ABC*勺，BC = 3,CD = 4, FA= 5，则该球的表面积为 .答案 50 n解析 由/ BCD = 90知BD为底面ABCD外接圆的直径，则 2r = . 32 + 42 = 5.又/ DAB = 90 PA丄AB, FA丄 AD, BA丄AD.从而把PA, AB, AD看作长方体的三条棱，设外接球半径为R,则(2R)2= 52+ (2r)2= 52

13、+52,4R2= 50,二 5球=4 nR2= 50 n.4. 将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为可换命题”.给出下列四个命题： 垂直于同一平面的两直线平行； 垂直于同一平面的两平面平行； 平行于同一直线的两直线平行； 平行于同一平面的两直线平行.其中是“可换命题”的是 .(填命题的序号)答案解析 由线面垂直的性质定理可知 是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命 题，故是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以是假命题，不是可换命题”；由公理4可知是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是 真命题，故 是“可换命题”

14、；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故是假命题，故不是“可换命题”.5如图，直角梯形 ABCD 中，AB/ CD，/ BCD = 90 BC = CD = 2, AD = BD, EC 丄底面 ABCD , FD 丄底面 ABCD，且有 EC= FD = 2.(1) 求证：AD丄BF;(2) 若线段EC上一点M在平面BDF上的射影恰好是 BF的中点N , 试求二面角 B-MF C的余弦值(1)证明 / BC 丄 DC,且 BC = CD = , 2, BD = 2 且/ CBD = / BDC = 45.又 AB / DC ,可知 / DBA = / CDB = 45./ AD

15、 = BD , ADB是等腰三角形，且 / DAB = / DBA = 45./ ADB = 90 即 AD 丄 DB./ FD丄底面 ABCD于D , AD?平面ABCD , AD丄DF.又 DF A DB = AD 丄平面 BDF ,/ BF?平面 DBF , AD 丄 BF.解 以点C为原点，直线 CD、CB、CE方向为x, y , z轴建系.则 D( 2, 0,0) , B(0 ,2 , 0) , F( .2 , 0,2) , A(2 . 2 ,2 , 0), N恰好为BF的中点， n( ,，1).设 M(0,0 , Z0), MN =(子，1 z0).MN BD = 0 , 由 T

16、T解得Z0= 1.MN DF= 0 ,故M为线段CE的中点.设平面BMF的一个法向量为 叫=(X1 , y1 ,引,且 BF = 0,2 , .2 , 2) , BM = (0 , 2 , 1),E3F m= 0 , 由BM n 1= 0可得炉严+ 2Z1= 0，2y1 + z1 = 0 ,取 x1= 1,则12MS平面MFC的一个法向量为 n2= (0,1,0),/ cos叫，n2ni n2|ni|n 2|1故所求二面角B MF C的余弦值为 勺1(锥体体积公式 V= Sh,其中S为底面面积，h为高)又因为N为B C的中点，所以MN / AC 又 MN?平面 A ACC , AC ?平面 A ACC，所以 MN / 平面 A ACC方法二 取A B的中点P,连结MP, NP, AB，如图,因为M, N分别为AB与B C的中点,所以 MP / AA , PN / A C所以 MP / 平面 A ACC , PN/ 平面 A ACC又MPA NP = P,所以平面 MPN /平面 A ACC(2)解 方法一 连结BN,如图所示,由题意知A N丄B C,所以A N丄平面NBC.1又 A N=尹C = 1,方法11YA MNC = VA NBC VM NBC = Va NBC = T 26y1 = 1,得 n1 = （ 1,1,羽）.Z1 = 7 2,而 MN?平面