流体力学流力34流体运动学

1、3-3 3-3 流体运动的基本概念流体运动的基本概念( , , , )( , , , )( , , , )xx a b c tyy a b c tzz a b c t拉格朗日法迹线的参数方程 欧拉方程出发推导迹线方程 一、迹线一、迹线定义：定义：流体质点在不同时刻的运动轨迹。是流体质点在一段时间内运动的轨迹线。 ),(),(),(tzyxutztzyxutytzyxutxzyxdddddddttzyxudztzyxudytzyxudxzyx ),(),(),(dt表示一段时间，时间间隔。求解上述方程并消去参数t后便可得到迹线方程。迹线的微分方程也可写为：迹线的微分方程也可写为：一、迹线一、迹线

2、1.1.定义：定义：用用欧拉法欧拉法形象地对流场进行几何形象地对流场进行几何描述，引进了流线的概念。描述，引进了流线的概念。是用来描述流场中各点流动方向的曲线，是速度场的矢量线。在某一时刻该曲线上任意一点的速度总是在该点与此曲线相切。此曲线即为流线。流线流线二、二、 流线流线(1)(1)因为在空间每点只能有一个速度方向，所以流线因为在空间每点只能有一个速度方向，所以流线不能不能相交相交。另外，由于流体是连续介质，各运动要素在空间是。另外，由于流体是连续介质，各运动要素在空间是连续的，流线连续的，流线不可能转折不可能转折，只能是光滑曲线。，只能是光滑曲线。(2)(2)对于不稳定流，经过同一点的流

3、线其空间方位和形状对于不稳定流，经过同一点的流线其空间方位和形状是随时间改变的。是随时间改变的。(3)(3)由于稳定流动的速度分布与时间无关，所以流线的形由于稳定流动的速度分布与时间无关，所以流线的形状和位置不随时间变化。同时流体质点只能沿着流线运动，状和位置不随时间变化。同时流体质点只能沿着流线运动，否则将会有一个与流线相垂直的速度分量。所以否则将会有一个与流线相垂直的速度分量。所以稳定流动稳定流动的迹线与流线重合的迹线与流线重合。2.2.流线的性质流线的性质 (5)(5)在流场中，过每一空间点都有一条流在流场中，过每一空间点都有一条流线，所有流线构成流线簇。由流线簇构成线，所有流线构成流线

4、簇。由流线簇构成流谱。流谱不仅能反映速度的方向，而且流谱。流谱不仅能反映速度的方向，而且能反映流速的大小。能反映流速的大小。(4)(4)不稳定流动包含两方面的含义：大小或方向随时间变化。不稳定流动包含两方面的含义：大小或方向随时间变化。不稳定流不稳定流速度大小改变速度大小改变速度方向改变速度方向改变流线的形状和位置不随时间流线的形状和位置不随时间变化，迹线与流线重合。变化，迹线与流线重合。流线的形状和位置随时间变流线的形状和位置随时间变化，迹线不与流线重合。化，迹线不与流线重合。火车的运行轨迹是迹线，而不论火车是否变速，其速度总与火车的运行轨迹是迹线，而不论火车是否变速，其速度总与铁轨相切，因

5、此铁轨为流线，迹线与流线重合。铁轨相切，因此铁轨为流线，迹线与流线重合。 2.2.流线的性质流线的性质3.3.流线方程流线方程 设流线上一点的速度矢量为设流线上一点的速度矢量为u, ,流线上的微元线段矢量流线上的微元线段矢量dr0 rdu由流线定义，矢量表示的微分方程为由流线定义，矢量表示的微分方程为 tzyxudztzyxudytzyxudxzyx, 在直角坐标系中，依矢量运算法则可知在直角坐标系中，依矢量运算法则可知u与与dr成比例，即成比例，即式中的式中的t代表的是同一瞬时，当作常数处理。代表的是同一瞬时，当作常数处理。在不稳定流动中，流线微分方程积分的结果包括时间t，不同时刻有不同的流

6、线形状。有一二元流动流场，速度场为有一二元流动流场，速度场为) 1(, ytutxuyx) 1(, ytdtdyxtdtdx2/22/1221,ttecyecx cyx ) 1(求其迹线和流线求其迹线和流线解解:(1)由迹线微分方程由迹线微分方程积分得积分得x与与y+1相乘可得相乘可得例例cyx ) 1( 流动的迹线方程和流线重合。流动的迹线方程和流线重合。) 1( ytdytxdx(2)由流线微分方程由流线微分方程积分可得积分可得定义：定义：由于流线不能相交，所以各个时刻，由于流线不能相交，所以各个时刻，1 1、流管、流管在流场中取任意封闭曲线在流场中取任意封闭曲线c c，经过曲线，经过曲线

7、c c的每一点的每一点作流线，由这些流线所围成的管称为流管。作流线，由这些流线所围成的管称为流管。c c三、流管、流束和总流三、流管、流束和总流流体质点只能在流管内部或沿流体流体质点只能在流管内部或沿流体表面流动表面流动，而不能穿越流管而不能穿越流管；稳定流动时流管的形状是和位置都稳定流动时流管的形状是和位置都不随时间变化，流管与固体管壁相不随时间变化，流管与固体管壁相似，所不同的是流管由流线组成，似，所不同的是流管由流线组成，而管壁由固体组成；非稳定流动时而管壁由固体组成；非稳定流动时，流管的形状有可能随时间变化。，流管的形状有可能随时间变化。2 2 流束和总流流束和总流无数微小流束的总和称

8、为总流。无数微小流束的总和称为总流。 定义：定义： 1A2A1dA2dA 流束和总流流束和总流充满在流管内部的流体的集合称为流束。充满在流管内部的流体的集合称为流束。流线流线流束流束总流总流断面无穷小的流束称为微小流束，断面无穷小的流束称为微小流束，如图中断面为如图中断面为21,dAdA的流束。的流束。1 1在同一瞬时，位于流线上各个流体质点的速度方向总是在同一瞬时，位于流线上各个流体质点的速度方向总是在该点，与此流线（）在该点，与此流线（）A A相切相切 B B重合重合 C C平行平行 D D相交相交A A2.2.实际水流中存在流线吗？引入流线概念的意义何在？实际水流中存在流线吗？引入流线概

9、念的意义何在？答：不存在。引入流线概念是为了便于分析流体的流动，确答：不存在。引入流线概念是为了便于分析流体的流动，确定流体流动趋势。定流体流动趋势。1 1、 有效断面有效断面 当组成流束的所有流线互相平行时，有效断面是平面；当组成流束的所有流线互相平行时，有效断面是平面；否则，有效断面是曲面。否则，有效断面是曲面。流束或总流上垂直于流线的断面，称为有效断面。流束或总流上垂直于流线的断面，称为有效断面。定义：定义：四、有效断面、流量和平均流速四、有效断面、流量和平均流速2 2、流量、流量定义：定义： 三种表示方法：三种表示方法：以单位时间通过的流体重量表示，称为重量流量，记作以单位时间通过的流

10、体重量表示，称为重量流量，记作)(sNG单位时间内通过有效断面的流体量称为流量。单位时间内通过有效断面的流体量称为流量。对总流而言，体积流量为对总流而言，体积流量为udQ以单位时间通过的流体体积表示，称为体积流量，记作以单位时间通过的流体体积表示，称为体积流量，记作3/QmsLs或以单位时间通过的流体质量表示，称为质量流量，记作以单位时间通过的流体质量表示，称为质量流量，记作mQkgsmGgQQv平均流速的物理意义：平均流速的物理意义：就是假想有效断面上各就是假想有效断面上各点的速度相等，而按平点的速度相等，而按平均流速流过流量正好相均流速流过流量正好相等。所以有等。所以有AudAAvQ或或A

11、QudAAvA1实际流体流动的有效断面上各点处的速度大小都是实际流体流动的有效断面上各点处的速度大小都是不一样的，工程上为简化问题，引入有效断面上速不一样的，工程上为简化问题，引入有效断面上速度的平均值，称为平均流速，以度的平均值，称为平均流速，以v表示。表示。3 3、平均速度、平均速度 由此可以看出，有效断面的平均流速v就是有效断面上各点速度u对面积A的几何平均值。工程上所说的管道中的流速，便是有效断面的平均流速。引入平均流速后可将实际流体的二元流动简化简化为一元流动。3 3、平均速度、平均速度练练3-1 3-1 已知拉格朗日描述为已知拉格朗日描述为 ttbeyaex求：求：( (1)1)迹

12、线；迹线； (2)(2)速度与加速度的欧拉描述；速度与加速度的欧拉描述； (3)(3)流线方程。流线方程。abxy 解解: :(1)(1)将已知条件将已知条件( (x,y) )中的参数中的参数 t 消去便可得到迹线方程消去便可得到迹线方程 ，即将即将x，y相乘可得相乘可得上式便是初始时刻位于上式便是初始时刻位于( (a, ,b) )的流体质点的迹线。的流体质点的迹线。(2) (2) 依题意可得依题意可得txxaetua tybetyu txaetxu tyybetua 再将已知条件代入上述表达式，可得速度和加速度的欧拉描述再将已知条件代入上述表达式，可得速度和加速度的欧拉描述ybeuxaeut

13、ytx ,ybeaxaeatytx ,(3) (3) 将所得的欧拉描述的速度表达式代入流线方程得将所得的欧拉描述的速度表达式代入流线方程得ydyxdx 积分可得流线方程为积分可得流线方程为cxy 初始时刻质点位于空间点初始时刻质点位于空间点( (a, ,b) )上，则上，则 ，可得迹线，可得迹线方程为方程为 ，与得到的迹线方程一致。，与得到的迹线方程一致。abc 1abxy 定义：定义： 确定物质的集合。特点：特点： 始终包含着相同的流体质点； 系统的形状和位置可以随时间变化； 边界上可有力的作用和能量的交换，但不能有质量的交换。1.1.系统系统一一 系统（系统（system,Syssyste

14、m,Sys）与控制体（）与控制体（control volume,CVcontrol volume,CV）（拉格朗日描述）（拉格朗日描述）3-4 3-4 连续性方程连续性方程系统以外的物质称为环境。环境。系统与环境的分界面称为边界。边界。（1 1）控制体内流体质点是不固定的；）控制体内流体质点是不固定的；定义：定义：特点：特点：是指根据需要所选择的具有确定位置和体是指根据需要所选择的具有确定位置和体积形状的流场空间。控制体的表面称为控积形状的流场空间。控制体的表面称为控制面（制面（control surfacecontrol surface）。）。2.2.控制体控制体（2 2）控制体的位置和形状

15、不会随时间变化；）控制体的位置和形状不会随时间变化；（3 3）控制面上不仅可以有力的作用和能量）控制面上不仅可以有力的作用和能量 交换，而且还可以有质量的交换。交换，而且还可以有质量的交换。（欧拉描述）（欧拉描述）二二 输运定理（输运定理（ transport theorem transport theorem ）我们所学过的固体力学，是针对质点进我们所学过的固体力学，是针对质点进行的分析还是针对空间点进行的分析？行的分析还是针对空间点进行的分析？如何将基于系统的基本原理如何将基于系统的基本原理(质量守恒，能量守恒，动量守恒，质量守恒，能量守恒，动量守恒，角动量守恒等角动量守恒等)表达成适用于

16、控制体的形式，这就是输运定理所表达成适用于控制体的形式，这就是输运定理所要解决的问题。要解决的问题。质点质点系统系统拉格朗日描述拉格朗日描述工程上很少用这种方法工程上很少用这种方法欧拉描述欧拉描述空间上的点空间上的点控制体控制体12mmCVqqdtdmIIIIII系统中质量变化率，系统中质量变化率，即即(dm/dt)sys=?0()()( )( )()limIIIIIIIIsystmttmttm tmtdmdtt ()()IIm ttm tt0()() ( )( )()()limIIIIIIIIIItm ttmttm tmtmttm ttt 表示控制体内的质量变化率；表示控制体内的质量变化率；

17、表示输出控制体的质量流量；表示输出控制体的质量流量；表示输入控制体的质量流量。表示输入控制体的质量流量。12mmCVsysqqdtdmdtdm依质量守恒定律，有依质量守恒定律，有(dm/dt)sys=0稳定流动稳定流动不可压缩流体不可压缩流体22211121vAvAqqmm212211QQvAvA三三 一元稳定流动的连续性方程一元稳定流动的连续性方程连续性方程：质量守恒定律在流体力学中的具连续性方程：质量守恒定律在流体力学中的具体表述形式。对于一元稳定不可压缩流动，流体表述形式。对于一元稳定不可压缩流动，流出控制体的体积流量（出控制体的体积流量（+）等于流入控制体的）等于流入控制体的体积流量（

18、体积流量（-）。）。Q为体积流量为体积流量q为质量流量为质量流量1110MNMNiiijjkkijkQAvA vA v24例：某瞬时水流通过具有自由面例：某瞬时水流通过具有自由面A3的蓄水通道，已知通道的蓄水通道，已知通道截面积截面积A1=A2=0.1m2，A3=0.2m2。设流动定常，。设流动定常，A1，A2截截面上流动均匀，面上流动均匀，v1=1m/s，v2=1.2m/s。求该瞬时自由水面。求该瞬时自由水面高度的变化率。高度的变化率。332211AvAvAvv3=-0.1m/s该瞬时自由面该瞬时自由面A3的下降速的下降速度为度为0.1m/s。解：取控制面如图，设自由面上水位变化是均匀的，并

19、设控制面解：取控制面如图，设自由面上水位变化是均匀的，并设控制面A3上流上流体的出流速度为体的出流速度为v3，由不可压缩流体的连续方程可得，由不可压缩流体的连续方程可得25例：如下图所示，逐渐扩张的管道进出口截面面积分别为例：如下图所示，逐渐扩张的管道进出口截面面积分别为Ai，Ae，若其中不可压缩流体的进出口平均流速，若其中不可压缩流体的进出口平均流速Vi，Ve已知，已知，有一导管将部分流体疏导至管外，求单位时间内导管出口有一导管将部分流体疏导至管外，求单位时间内导管出口的流体重量的流体重量Ws？四四 空间运动的连续性方程空间运动的连续性方程zoyx BA CD FE GH1.流入与流出微元六

20、面体的质量x方向棱长为dx,dy,dz的六面体，速度分量为ux,uy,uz。在dt时间内从ABCD流入的质量为：yzxd d u dt在dt时间内从EFGH流出的质量为：()yzxyzxd d u dtd d u dtdxx()()yzxxxyzd d u dtudxd d d dtxx流入与流出微元六面体的质量x方向y方向()yxyzud d d dtyz方向()zxyzud d d dtzdt时间内六面体的净流量为()()()yxzxyzuuxyud d d dtz四四 空间运动的连续性方程空间运动的连续性方程2. 微元六面体内的质量变化率由密度引起xyzd d d dtt3.质量守恒()

21、()()0yxzxyzxyzuuud d d dtd d d dtxyzt()()()0yxzuuuxyzt四四 空间运动的连续性方程空间运动的连续性方程()0yxzxyzuuuuuutxyzxyz0yxzxyzuuuuuuxyzxyzt四四 空间运动的连续性方程空间运动的连续性方程()()()0yxzuuuxyzt0ddivudt流体空间运动的连续性方程，适用于所有的流动。流体空间运动的连续性方程，适用于所有的流动。()0divut()0yxzxyzuuuuuutxyzxyz0yxzxyzuuuuuuxyzxyzt四四 空间运动的连续性方程空间运动的连续性方程()()()0yxzuuuxyz

22、t0ddivudt流体空间运动的连续性方程，适用于所有的流动。流体空间运动的连续性方程，适用于所有的流动。()0divut四四 空间运动的连续性方程空间运动的连续性方程假设稳定流动()0divu()0divut假设不可压缩流体( )0div u0ddivudt0t0ddtcossinrxyuuusincosxyuuuzu110rzr vvtr rrvz柱坐标系中质量柱坐标系中质量守恒微分方程为：守恒微分方程为：例例已知流动速度场为已知流动速度场为 ，试判断流动是否可压缩。试判断流动是否可压缩。236(),2,4xyzuxyuyz uxyz解：根据已知条件可得解：根据已知条件可得120yxzuu

23、udivuxyz0ddt0ddivudt流动为可压缩。流动为可压缩。例：例：不可压缩流场的两个速度分量为不可压缩流场的两个速度分量为222czbyaxufzxeyzdxyv其中，其中，a, b, c, d, e, f为常数，求速度分量为常数，求速度分量w。例：例： 验证不可压缩流场：验证不可压缩流场：是否符合连续性？是否符合连续性？2222,yxyvyxxvyx1.1.连续性方程表示控制体的连续性方程表示控制体的_守恒守恒 (A) (A) 能量能量 (B) (B) 动量动量 (C) (C) 流量流量 (D) (D) 质量质量 2.2.控制体是控制体是_(A) (A) 包含一定质量的系统包含一定

24、质量的系统(B) (B) 位置、形状都变化的空间体位置、形状都变化的空间体(C) (C) 固定的空间体固定的空间体(D) (D) 形状不变，位置移动的空间体形状不变，位置移动的空间体 DC3.3.单位时间内，控制体里面由于密度变化引起的质量增量单位时间内，控制体里面由于密度变化引起的质量增量等于从控制面等于从控制面_。(A)(A)流出的动量流出的动量 (B) (B) 流入的动量流入的动量(C) (C) 流出的质量流出的质量 (D) (D) 流入和流出控制体的质量差流入和流出控制体的质量差D4.4.以下哪些概念属于拉格朗日法以下哪些概念属于拉格朗日法 （）（）流线；流线； 迹线；迹线； 系统；系统； D D控制体；控制体；C CB B4.4.以下哪几种概念属于欧拉法（）以下哪几种概念属于欧拉法（）流线；流线； 迹线；迹线； 液体质点；液体质点； D D控制体；控制体； E E固定空间点。固定空间点。A D E4.4.试判断不列各三维流场的速度分布是否满足不可压缩流体试判断不列各三维流场的速度分布是否满足不可压缩流体连续性条件：连续性条件： （1 1） （2 2）（3 3）（4 4）xyzyxwzyvyxu4,2,2222222222222,2y