亲历美国数学课

1、离表姐家很近，尽管在不同的州，但是距离不到两个小时的车程，所以周末 或者节假口偶尔也去表姐家玩。上个周末礼拜六，我就陪着我那差不多12岁的 侄儿听了一堂初中数学课。这个侄儿还是以前在北京出生的，三岁就随父母來到 了新泽西，所以汉语讲得一点都不好。 美国的公立中小学建筑我自然见了很多， 通常每个学校只有一栋建筑，而且一般不超过坷层。小学（Elementary School） 一般规模较小，通常只有几百人，初中（Middle School）较大一些，高中（High School）更大，一般的高中注册学生大约在一千到两T多人，有的人口稠密的地 区，据说一所高中可以有五千学生（例如在芝加哥）。大家可以

2、想像，两千学生 全部集中在一栋建筑里，那栋建筑肯定是很大的，不熟悉的人进去后有时会觉得 置身于城堡之中，摸不清方向。中小学虽然见得多，但是若论在中小学听课， 我这真还是破天荒第一次。其实別说听课，之前我可连中小学的大门（指教学楼 的大门，不是指校门，因为一般没有校门与I制墙）都没有迈进过。这堂课是数学 课，大约两个小时。出于好奇，我征得那位教师的允许后，也兴致勃勃地和十來 个孩子一起坐在教室里，听完了这堂儿何课。下面我就将这堂课实录下来，供有 兴趣的朋友参考。 可能先得交代儿句，这堂课的学生虽然都只是初一年级（六年级），但是却 是高中课程。事实上那位教师，科林斯女士（也是位博士，只是不知是教育

3、学博 士还是数学博士，我也不好意思去问），是高中教师而不是初中教师。也就是说， 能上这堂课的学生都是学校的“尖子生”，因此这堂课可能并没有什么代表意义， 和通常的课堂可能有比较大的差别。但是我只听过一堂课，所知也只有这些。美 国的中小学义务教育一共是十二年， 有的地方六年级算小学， 有的算初中 （像我 这侄儿， 虽然是六年级， 但是算初中） ；有的地方高中有四年，有的只有三年, 不同的州、不同的县、其至不同的城镇规定都不一样，但是加起来都必须是十二 年，因此高中毕业生通常都是十八岁，和咱们差不多。美国的学校没有什么统编 教材。其实别说什么全国统编教材，即使在同一学校，不同的老师教材也不一样，

4、有的共至压根儿就没有教材（特别是小学）。而且，通常情况下即使有教材，那 教材也是由学校发的。 美国的学校由于人种和文化背景等原因，学生水平相差很大（你看我们人种 和文化其实很单一的，但是学生所学相差也不小，对不对？美国学生的差距就更 大了）。通常美国学生按照人种分为亚裔、高加索血统白人（也就是“传统”的 欧洲血统人，例如盎格鲁-撤克逊、斯拉夫、口尔曼人等)、西班牙血统人、黑人 等，其中亚裔和高加索血统白人的智商明显高于黑人和西班分血统人。因为公立 学校的教育必须立足于中下游学生，所以有些比较聪明的、学有余力的学生就会 觉得学校的课程过于简单，所以基本上每个学区、每个学校都开设有各俱特色的 天才

5、学生培养计划” (Gifted/Talented Programs) o除了丰富多彩的课外活动 外(这些课外活动通常包括体育、艺术、音乐、探险、数学、科学等兴趣小组和 俱乐部)，这些比较聪明的孩子所开设的课程也比普通学生的更难。比如就数学 而言，他们通常初中就学高屮的内容，高中学大学的内容。 美国的中学所开设的课程，如果将杂七杂八的课程都算的话，估计上白门， 但是最主要的课程，还是和我们差不多:数学、阅读(Reading).英语(English, 主要侧重于写作)、 科学(Science,以物理为主)、 社会科学(Social Science, 可能以历史和文化为主)和生物(Biology),

6、其中最重要的是数学和阅读。我这 侄儿的数学、阅读和科学都在“天才班”(其实这没有什么，中国人的孩子一般 都不套的，何况他父母都是早年北大毕业生)。一般情况下，我觉得美国孩子的 阅读、写作学得不算差，生物和科学(以物理为主)也算学得马马虎虎，唯一的 例外就是数学，学得非常差。 去学校之前，我拿了侄儿所在的天才教育班数学教学规划。教学规划上面是 这样写的： 六年级： 七年级： 八年级： 代数 I (Algebra I) 儿何，代数 II (Geometry, Algebra II) 代数 IL 矩阵，统计(Algebra II Matrices, Statistics) 微积分预备课I,微积分预备

7、课II (Pre-calculus I, II) 微积分I,微积分II (Calculus I, II) d一年级：微积分 III (Calculus III),概率统计(Probability & Statistics) 十二年级：常微分方程(Differential Equations),线性代数(Linear Algebra) 侄儿所在的这个学区，6-8年级算初中，9-12年级算高中。大家看到, 对普通的美国学生而 言， 上而所列的6-9年级的课程其实是高中课程，10-12年级的课程其实是 大学课程。学生们在高中学些大学课程其实好处大大的，首先，在高中学这些课 程，特别是声望比较

8、好的高中通过这些课程的考核后，其成绩大学是承认的，所 以这不但节省了时间，而且还节省了钱，因为高中教学是免费的，而大学是要收 学费的，特别地，这些孩子很多都会被名牌大学录取，考虑到名牌大学的不 俗学费，所以节省的钱其实不少；其次，学生如果能在高中通过这些考试，这也 间接地证明了其能力，所以这也给他们申名牌大学提供筹码。我问侄儿，代数I 主要包括些什么。侄儿说，主要是多项式、分解因式、一元一次方程、一元 一次不等式、一元二次方程等。我乂问，按照课程规划，你们不是要到七年级才 学几何吗？为什么现在学几何，而且在周木？表姐给我解释道，因为侄儿念小学 时那所小学开设的儿何过于简单，只会算一些周长和面积

9、，儿何预备知识不足， 所以学校安排给几何有所缺陷的孩子周末补课，因此这不算正式的儿何课。真正 的儿何要下学期开设。 我开车送侄儿去髙中。诺大的停车场几乎是满的，原来许多高中学生周末自 己开车来学校搞体育比赛(美国16岁即可拿驾照开车)，有的家长也来凑热闹， 帮自己的孩子助威。这所高中是州内很好的一所，一千多学生，一栋两层的教学 楼，深红色的砖外表，显得结实而乂古色古香。 转到一个僻静处才找到一个停车 位置， 随侄儿走进教学楼主门。原以为主门处有值班员守候着，不料里面居然没 有，空荡荡的，那份安静和清凉，不经意之间给人带来一丝寒意。进门后拐了儿 个弯，到了指定的教室。走进教室一看，数学教师科林斯

10、女士已经在那里准备着 投影仪，还有一个白人小姑娘，脸颊晒得黑黑的，显然是学生之一，在帮助老师 整理课桌。教室里大约有二十来张座位，显得有些零乱。小姑娘见我这样一个陌 生人來到，似乎略有不适，害羞地说了句嗨，然后继续低头整理课桌。 我给科林斯老师打了个招呼，说我从来没有听过美国中学生的课，您是否介意我 听一堂课。科林斯老师笑道，当然不介意，荣幸之至，You are absolutely welcome, 然后乂问你是不是懂数学(Do you understand math?)我不料科林斯老师会来 如此一问，一怔之下我只得说，我的专业是计算机科学和工程(Computer Science and E

11、ngineering) o科林斯老师哈哈笑道,原來如此，那你肯定懂了, 希望我刚才的问题没有冒犯你 我和侄儿协助那位小女孩三下五除二将课桌摆得整整齐齐。 不一会儿， 上课 开始了，学生也都到齐了。我数了数，包括侄儿在内，一共是十个学生，五个男 孩，五个女孩；四个学生看起來像中国人（其中两个女孩）。我在最后一排捡了 个座位坐下，同时为了表示对老师的尊敬，我装模做样地拿出个笔记本做笔记。 其实我从小就是个喜欢交头接耳的人，哪里学会了作笔记 . 很多时间里其实 我在考虑着给屈原前辈写首七绝，力求心能二用。老师在台上讲她的，我在下面 写诗，花一个小时写首七绝打油，总没有问题吧？ 教材很厚，精装的，很重

12、。美国的教科书就这样，乂简单乂罗嗦，像八股文 境鸭似的手把手教读者，那种谨小慎微，那种苦口婆心，倒似乎生怕读者不会一 个萝卜一个坑会走错脚步从而坠入万丈深渊似的，我一直不誓欢这种罗嗦的风格, 尽管我说话罗嗦。我喜欢简洁简明的教材，例如俄罗斯人编写的，短短儿页能囊 括很多内容。 今天补习的内容是第五章三角形，一开始就尝试用三角形全等（Congruent Triangles） i证明等腰三角形的两个底角相等（Congruent） ,以及其逆定理 （Converse Theorem） o看来上次课他们已经讲述了三角形全等的判定，学生们对 几个判定方法都能对答入流，大家对证明这个定理似乎都没有什么困难

13、（本來很 简单，是不是），但是科林斯老师还是要求每个学生很严格、很详细地写出推导 步骥，说几何的精箭和美就在于其逻辑的严谨。他们的表述和我们以前的不一样， 我们以前的半面儿何证明，通常都是因为.所以.的格式，对不对？他们则 列成两栏，写成如下的格式： Statement （论断） Reason （理由） 证完后科林斯老师乂要求大家用笛卡儿标架（平面解析儿何）去证明结论。 证完后科林斯老师乂要求大家将这个命题的逆命题（Converse）,反命题 仃nverse）以及逆反命题（Contrapositive）,并且引述了很简单的形式逻辑。 总之，就我看來，课程的内容很简单，但是科林斯老师牵涉得很杂，

14、而且她似乎 在刻意传授某种系统而严谨的思维（注：这个天才教育计划的主要冃的就是培养 学生的口学能力）。如此这般大约过去了半个小吋。 随后科林斯老师用投影仪展示了大约和上面这个图差不多的图形，其中 仁 N是所在边的中点，然后要求大家直观猜测所有可能的结论。大家七嘴八舌，三 个臭皮匠顶个诸葛亮似的，自然很快地猜到了 MN/BC, MN = BC*l/2o当然， 大家都知道，这就是很简单的中位线定理。不过呢，有位看起來像中国人的小女 孩也猜了个不对的结论，那就是三角形AMN的面积是三角形ABC的面积的一半。 科林斯老师先感谢这个学生的猜测，问她怎么会猜到这个结论。小姑娘说，因为 MN只有BC的一半，

15、所以对应的三角形的面积也应该只有一半。老师又问，从 图上看，你觉得小三角形的面积有大三角形的面积一半吗？小姑娘说，看起來是 没有，大约只有三分之一，但是因为长度刚好一半，所以我觉得面积也应该有一 半。我在后面看了，暗笑不已。天，要说服这个小姑娘可不容易呢，尽管她也承 认面积看起來没有一半，但是她很依赖门己的理性（尽管这种理性导致的猜测是 错的），几乎到了宁信度无自信也的地步，且看科林斯老师如何说服她。 大家知道小三角形的面积只有大三角形而积的四分之一。要证明这点非常 简单，科林斯老师假设L是BC的中点，连接LM,LN,这样四个小三角形全等， 所以AMN的面积只有ABC的四分之一。小姑娘显然被说

16、服了，但是科林斯老师 并未“罢休”，她先要小姑娘口算1/2 * 1/2是多少。小姑娘似乎有些迷惑， 因为这是小学二年级的算术，对不对，但还是遵照吩咐说了 1/40老师然后 耍这个小姑娘继续说岀三角形的面积公式，小姑娘回答说是底线乘高然后除以2o 科林斯老师笑道，现在好了，小三角形的底线长度是大三角形的儿分之儿？小姑 娘答曰二分之一。那么高呢?小姑娘答曰二分之一。那么，1/2 * 1/2是多少？ 小姑娘羞涩一笑，道，1/4。 随后科林斯老师乂像以前那样要大家给出这个命题的逆命题、反命题、逆反 命题并且从形式逻辑出发判断真伪，然后用解析儿何证明了中位线定理。 休息几分钟后，继续上课。科林斯老师先讲述了什么是中线、垂线、角平分 线和垂直平分线，然后每个人发个作图的工具，要求大家严格作图，分别将三角 行的三条中线、垂线、角平分线和垂直平分线画好，看能得出什么结论。当然， 大家知道，这三条中线、垂线、角平分线和垂直平分线各自相交于一点，分别称 为重心、