第二十三章 矩阵与线性方程组

1、l第一节 矩阵的概念及运算l第二节 逆矩阵l第三节 矩阵的秩与初等变换l第四节 线性方程的矩阵求解l第五节 数字实验七 用Mathematica进行矩阵运算和解线性方程组第十一章 矩阵与线性方程组 矩阵是解线性方程组的一个十分重要的数学工具，是线性代数的一个主要研究对象.1.矩阵的概念1231234,A A AB B B B 在现实生活中 经常看到一些数表,例如将某种物资从三个产地调运到四个销售地的一个调运方案,见表10-1.表23-1 调运方案 /t124231546010产地销 地1B2B3B4B1A2A3A表23-2 物资库存量 /t120315622421040241623366850

2、280423月份品 名1A2A3A4A5A将以上两个表中的实际背景去掉，则抽象出如下数据：1250203212436282341 , 15601668041602244023504 数学上就把的矩形数叫作矩阵.现在给出矩阵的一般定义.,(1,2,;1,2, ),ijPmnaim jnmn 义 数域 中个数按照一定的顺序排成 行 列的数表定1111212122212nnmmmnaaaaaaaaa,(),(1,2,;1,2, )m nijm nPm nAAAaim jn 称为数域 上的矩阵 通常用大写字母记作 或有时也记作,ijaAijmnAnn 式中 称为矩阵 的第 行第 列处的元素.推广地说,

3、矩阵的元素还可以是多项式,函数等,本书主要讨论的是元素为实数的矩阵.当时 称 为 阶矩阵或 阶方阵 其左上角至右下角的对角线上的元素,称为对线主角上的元素.只有一行或一列的矩阵1212( ,),nmbba aab11,.nmnm分别称为和矩阵 又称行矩阵和列矩阵行矩阵用圆括号,行矩阵中的元素之间用逗号分开;列矩阵用方括号,矩阵中元素之间不用逗号.有时称它们为 维行向量和 维列向量;m nmnOO以后还会常看到一些特殊形式的矩阵,所有元素为零的矩阵称为零矩阵,零矩阵记作或形如1122000000nnaaa1122,;1,nnaaaE的方阵 叫作对角方阵 当时 叫作单位矩阵,记为即10001000

4、1E 1,.ijEij用表示只有第 行第 列处元素为 其余元素全为零的方阵二、矩阵的运算根据实际问题的需要，规定矩阵的一些基本运算如下.1.矩阵的相等(),(),ijijAaBbmn义 如果都是矩阵 并且它们对应的元素都相等,即定2,(1,2,;1,2, )ijijabim jn,.ABAB则称为矩阵 和矩阵 相等 记为2.矩阵的加法义 设两个矩阵mn定3111212122212,nnmmmnaaaaaaAaaa111212122212nnmmmnbbbbbbBbbb记111112121121212222221122,nnnnmmmmmnmnababababababCababab,.CABCA

5、B则称 为 与 的和 记为根据定义不难验证，矩阵的加法具有以下性质：(1)ABBA(2)()()ABCABC(3)AOOAA,行数相等 列数也相等的矩阵称为同型矩阵,由加法定义可知,只有对同型矩阵才能求和.(),()ijm nijm naa 若矩阵 而AC,.,CACAABABABAB 则称 为 的负矩阵 记为矩阵 与矩阵的和叫作 与的差,又称 与 的减法,记为即() ABAB3.数与矩阵的乘法k义 给定任意实数 和矩阵定4111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa,kAkAkAAk用 乘矩阵 中每一个元素所得的矩阵叫作 与 的乘积,记为或即111212122212nnmmmnk

6、akakakakakaAkakakak,( ,):k h容易证明 数乘矩阵有以下性质为常数(1) ()ABABkkk(2)();h AAAkkh(3)()()h AhAkk(4)1,( 1).AAAA 3251145 ,24 .:();.26732ABABAB 已知求例1325411()4524226732AB3428311613,22959522325445246732AB2129 .39解4.矩阵与矩阵的乘法,AB先看一个实例 设有甲，乙,丙三种产品,其中2001年,2002两年销售量用矩阵 表示 其成本 销售价用矩阵 表示 分别求两年成本总额和销售总额.20012002100040003

7、000,70035504000A年年甲乙丙33 .544 .466 .8B成本销售价甲乙丙20011000 34000 43000 63700, 年成本总额为20011000 3.54000 4.43000 6.841500;年销售总额为2002700 33550 44000 640300, 年成本总额为2002700 3.53550 4.44000 6.845270.年销售总额为C用矩阵 表达以上计算结果,则为成本总额销售总额2 0 0 12 0 0 23 7 0 0 04 1 5 0 04 0 3 0 04 5 2 7 0C年年,.CijAiBj这里 矩阵 的第 行第 列处的元素是矩阵 的

8、第 行元素与矩阵的第 列的对应元素乘积之和(),(),()ijijijAam sBbs nABC Ccm n义 设为矩阵为矩阵 它们的乘积是一个矩阵,其中定51 1221,(1,2,;1,2, )sijijijissjikkjkca ba ba ba bim jn,.ABAB需要强调的是,只有当 的列数等于 的行数时才有意义031012121130 ,31051412.ABAB 设计算例23 2,AB是矩阵 且03101212113031051412AB 1 00 1( 1) 32 ( 1)1 30 2( 1) 12 2( 1) 0 1 1 3 30 ( 1)( 1) 3 1 23 10 20

9、 05 1( 1) 34 ( 1)0 35 2( 1) 14 2 56102 .217解10( 2,3,5,1)32AB 23510000.691534610210,4 1 1 4,( 2,3,5,1)32A BABABBA 设分别是和矩阵 且计算和 例310( 2,3,5,1)32BA 2 1 3 05 3 1 215. 解1111,.1111ABABBA 设计算和例40000AB22,22BA解,A BABBA 从上例题可以看到 矩阵的乘法运算不满足交换律,这是矩阵代数运算的一个重要特点.矩阵的乘法不满足交换律就一般而言的,并不是说任何给定的两个矩阵就一定有例如3022,0322AB66.

10、66ABBA就有,0,ABBAA BABBAA BABABABBAAB当时 称 , 不可交换,当时 称可交换.在例4中,还可看到矩阵乘法运算中的又一现象, 和 都不是零矩阵 而 与 的乘积这时称 是 的右零因子是 的左零因子 一个非零矩阵的零因子不是惟一的.例如对于111111,111111ABC而言,.AABACO都是 的右零因子 即,.ABACABC由此可见,在一般情况下,当时 不能消法从而得到的结论 这说明 矩阵的乘法不适合消去律不难验证,矩阵的乘法具有以下性质:(1)()()AB CA BC(2) (),();A BCABACBC ABACA(3);AEEAA(4)()()(),().

11、A BABAB为常数 求解矩阵方程.例52112,.1214X为二阶方阵X11122122,xxXxx设解111221222112.1214xxxx由题设11211222112112222+212.2214xxxxxxxx所以由两矩阵相等的定义,可得112111212+1,21xxxx 122212222224xxxx,分别解这两个方程组 得112112221,1,0,2,xxxx 1012所以 X0121:,(2,3, ).kkAnAAE AA AAAAAA kn设 为一个 阶方阵,定义 的幂如下,(),( ,),()kpkpkpkpkkkA AAAAk pA BABA B可以证明为非负整数

12、 当不可交换时,设线性方程组的一般形式为11112211211222221122(11-1)nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xa xa xb , ,m n式中可以相等 也可以不相等 当右端常数项全为零时,即111122121122221122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xa xa x 12,(101).mb bb称之为齐次线性方程组.当不全为零时 则称式为非齐次线性方程组1112111212222212,0nnmmmnnmaaaxbOaaaxbOAXbaaaxbO 令(23-1),(23-2)A称矩阵 为方程组的系数矩阵,则方

13、程组方程组可以分别表示为AXbAXO及而称11121121222212nnmmmnmaaabaaabAaaab 111223.(,),(1,2,).iniAA bia aabim为方程组(-1)的增广矩阵.增广矩阵也可记作这是方程组的一种简单写法.方程组中第 个方程可以用行矩阵表示5.矩阵的转置,(),TAAAA义 把矩阵 的所有行换成相应列所得到矩阵 称为矩阵的转置矩阵,记为或即 定6111212122212,nnmmmnaaaaaaAaaa112111222212mmnnmnaaaaaaAaaa则1704,.3125AA 设求例613710245A解,.ijAm nAn mAijaAji容

14、易看出 若 为矩阵 则为矩阵中第 行第 列处的元素在中则为第 行第 列的元素.转置矩阵具有以下性质(1)();AA(2)()ABAB(3)();AA(4)()ABB A210(1, 1,2),113()421ABABB A 设验证例7210(1, 1,2) 113(9,2, 1),421AB因为9()2 ,1AB所以解214112 ,031B 又112A 2141911212()03121B AAB 所以,.nAAAA如果 阶方阵 与它的转置矩阵相等即则称 为对称矩阵1878027211A例如 .,(),ijijjii jAaaaA就是对称矩阵显然 对于一切 , ,若方阵中有则 是对称矩阵.思

15、考题?1.试说明矩阵与行列式的区别主要是什么答案. 2具有什么特点的两个矩阵才能相乘?答案3.,?设均为矩阵 若必能得到吗A BnnACBCAB答案课堂练习题21.2,.;.设 为2阶方阵,且求下列行列式的值(1) (2) 2 (3) -AAAAA 答案5201202.= 210=250.0011003求矩阵 的积ABAB答案一、方阵的行列式,(),|det.| 0,nAAAAAAA义 设有 阶方阵则 的元素 行列次序不变 所构成的行列式叫作 的行列式 记作或者若则矩阵 叫作非奇异矩阵,否则称为奇异矩阵.定1,A Bn设均为 阶方阵,则有以下运算规律:(1)| |=| |AA(2)|=|();

16、(!|= |?)nAAAA为常数为什么说有问题(3)| |.ABA B(| 0,| 0| 0?)ABAB由能得到或吗二、逆矩阵111,10,1.,aaaaa aa 矩阵的运算中 定义了加法和负矩阵 就可以讨论矩阵加法的逆运算减法,那么定义了矩阵的乘法,是否可以讨论矩阵的除法呢?由于矩阵乘法不满足交换律,因此不能一般地定义矩阵的除法,但是在数的运算中,当时 存在使得仿此 在矩阵运算中也有类似的情况.2323,1212.ABABBAE例如,对于方阵可以找到一个矩阵容易验证,nAnB义 对于一个 阶方阵如果存在一个 阶方阵使得定2ABBAE1,.,.BAAABAAB成立 就说 是 的逆矩阵 并说 是

17、可逆矩阵或者说 是可逆的记为显然也是 的逆矩阵,从定义出发 可以得到以下性质:11(1),();AAA可逆矩阵 的逆矩阵是可逆的 并且有11(2)()() ;AAAA可逆矩阵 的转置矩阵也是可逆的,并且111(3),();nABABABB A阶可逆矩阵 与 的乘积是可逆的 并且有111(4),();kAkAkAkA一个非零常数 与可逆矩阵 的乘积是可逆的 并且有, 显然 并不是所有的方阵都可逆,例如零矩阵就不可逆.除此之外,情况如何呢?下面将讨论矩阵可逆的条件以及逆矩阵的构造.()|,ijijn nijAnAaAa义 设是 阶矩阵的行列式中元素 的代数余子式 称矩阵定31112121222*1

18、2nnnnmnAAAAAAAAAA.A为 的伴随矩阵1*1|0,.|.nAAAAAAA 阶方阵 可逆充要条件是且式中为 的伴随矩阵定理1|,ijijAAa设 为中元素 的代数余子式由行列式性质得证1|,0,nijkjjA ika Aik 从而*|000|0|00|AAAAA EA*|.| 0A AA EA同理当时有*11|AAAAEAA,A所以可逆 且1*1|AAA111,| 1AAAA AEA A反之 若 可逆 有两边取行列式得A 从而| | 0,ABABEBAEAB论 方阵 与 满足或则 与 是可逆矩阵且互为逆矩阵.推,.BAABEBAE这个推论使得验证 是否为 的逆矩阵时 只要证明或任一

19、成立即可22,2,.AAAEOA AE 设方阵 满足方程证明均可逆 并求它们的逆矩阵 例122,()2 .AAEOA AEE由得证1().,2AAEEA即故 可逆11().2AAE且22,AAEO从可得(2 )( -3 )+4AE A EEO1(2 )(3 )4AEAEE即112,(2 )(3 ).4AEAEAE 故可逆 且1111211.123AA 求矩阵的逆矩阵例2112131122232132333| 9,1,5,2,5,2,1,3,3,3.AAAAAAAAAA 证115215219333A则152999521999111333 123123123231220332xxxxxxxxx 用

20、矩阵的方法解线性方程组例3将线性方程化为矩阵形式解123123121201332xxx 1232120,133因为,所以系数矩阵可逆 因此123xxx1123121201332 33111404045132 1411412311,1,44xxx 故即为所求.思考题1.000?000?由能得到或吗 由能得到或吗ABABABAB答案2.,?在矩阵这个集合中 除了奇异矩阵外都是非奇异矩阵该命题错在何处答案3.利用伴随矩阵求逆矩阵关键是什么?答案课堂练习题1,.521.设矩阵求21A=A答案1112.022 ,.003设矩阵的转置矩阵为求A=AAA A答案1.矩阵的秩矩阵的秩是矩阵理论中具有重要意义的

21、概念,它与线性方程组解的结构有着密切关系.为了建立秩的概念,首先给出矩阵的子式的概念.2,.AkkkkAk义 在矩阵 中 位于任意选定的 行列交点处的个元素按原来次序组成的 阶矩阵的行列式 称为 的一个 阶子式 如果子式的值不为零 就称为之为非零子式定112345012340012300012A例如,A 在第1,3行与第2,5列交点处的4个元素按原来的次序组成的25行列式称为 的一个二阶子式 它是一个非零子式.03,( ).,( )0.AkkAkR AkAAR A义 一个矩阵若至少有一个不为零的 阶子式,而所有高于阶的子式都为零 则和矩阵 的秩为记为若 没有不等于零的子式,就称 的秩为零 即定

22、2,( ),;( ),nAR AnAR AnA 对于 阶方阵若则称 为降秩方阵 若则称为满秩方阵.显然可逆方阵是满秩方阵.显然,一个矩阵的秩是惟一确定的.130540107370535260108A 求矩阵的秩.例1A矩阵 中第1行与第4行对应元素成比例,因而任何4阶子式都为零,但有一个3阶子式解50 1300-10705( )3R A 于是2213123.8212124B 求矩阵的秩例2220,-3 12BB有一个二阶子式而 的所有三阶式子式解2213 1230,8-212213 1230,212431238210,212422182102124( )2R B 所以,. 看到按定义来计算一个

23、矩阵的秩 需要计算很多个行列式 显然很麻烦但是有一种矩阵,一眼就能看出它的秩是多少,这就是阶梯形矩阵.()如果一个矩阵中每个非零行的首元素 指该行左起第一个非零元素 出现在上一行首元素的右边,同时元素全为零的行全在下面这样的矩阵称为阶梯形矩阵.例如( )3,3,R AAR(B)容易看也就是 的不全为零的行数 因为它有不全为零的阶梯关的三行,所以一定有一个上三角三阶子式不为零,而大于三阶的子式一定都是零.同理,得出结论,阶梯阵的秩等于不全为零的行数.那么,是否存在一种简单的方法能将一般的矩阵化为阶梯阵而不改变矩阵的秩.若有这将解决矩阵求秩难的问题.下面介绍这种方法.1253400412,0006

24、700000A723460806300500B二、矩阵的初等变换矩阵的初等变换在求矩阵的秩和逆矩阵以及解线性方程组等问题中有着重要的作用.在利用消元法解线性方程组时,经常反复使用以下三种方法:(1);互换两个方程的位置(2)用一个非零的数乘某一方程;(3)用一数乘某一方程后,加到另一方程上去.(1),(2),(3),现在称为互换变换为倍法变换为消去变换这三种变换称为线性方程组的初等变换.显然,线性方程组经过初等变换后其解不变.下面把初等变换的概念引入矩阵.().义 矩阵的初等行 列 变换是指对矩阵进行以下三种变换定3(1) ();,ijijrijci j互换变换 矩阵的两行 列 互换置.用 表

25、示交换第 行和第行 用表示交换第两列.(2) ();.iikrkikcki 倍法变换 用一个不等于零的数乘矩阵某一行 列 的所有元素用表示用 乘第 行 用表示用 乘第 列(3)()();.jijjkckrkijckckij 消去变换 把矩阵某一行 列 所有元素的 倍加到另一行 列的对应元素上去.用表示 乘第 行加到第 行上去 用表示 第 列加到第 列上去,.ABABAB义 矩阵 经过有限次初等变换成为矩阵称矩阵 与矩阵等阶记作定4.有以下的定理,( )( ),.ABR AR B 若则即等价矩阵的秩相同定理.,此定理说明矩阵经初等变换后秩不变因此 可以仅用初等行变换把矩阵变为阶梯形矩阵,其非零行

26、的个数即是矩阵的秩.12102153.11433096AA 设矩阵求 的秩例3213141231210033303330666rrrrrrA ( )2,R AA故即 的秩为2.解324221210033300000000rrrr ,.( ),.,.rm nAEOArOOR ArAnAE任一个矩阵 都可以经过一系列初等变换化为如下的最简形式称为 的标准形其特点是左上角是一个 阶单位阵其也元素均为零特别是当 为 阶可逆方阵的标准形为单位阵,.AA利用矩阵的行的初等变换,可以求可逆矩阵 的逆矩阵 并且还可以判别 是否可逆1,2,AnnA EAA E设 可逆 做矩阵当用左乘得1111AA EA A A

27、 EE A112,.A EnnA EEAAA根据矩阵理论,这相当于对矩阵做初等行变换.当矩阵的左半部分分化为单位方阵 时 右半部分就得到了而当左半部分某一行或几行全变为零时 说明矩阵 不可逆 即不存在1123221.343AA 设矩阵求例4解1231000252100263011232102110025210001111rrrr132325100132020365001111rrrr 213123123 100221 010343 001rrrrA E 2312( 1)13210035010322001111rr 113235322111A 所以,| 0,( ),| 0,.,AAAAR AnA

28、AAAA 已知方阵 可逆的充分必要条件为 是非奇异的 即因此当方阵 的秩时所以方阵 是不可逆的对于这样的方阵 运用初等行变换 必会使得方阵 的某些行全变为零,所以用初等行变换求一个方阵的逆矩阵时,不必先判别这个方阵是否可逆.如果在行变换过程中,发现某一行的所有元素全变为零,就可知道这个方阵 是不可逆的.,( )24,.AR AA如在例3中,对于方阵由于因而方阵 是不可逆的,.AXBXAX BnA利用矩阵初等变换也可用来求解矩阵方程,所求的矩阵方程指含有未知矩阵的方程.如其中 为未知矩阵.这里只讨论都是 阶方阵,且 是可逆矩阵的情形111,.,AXBAXA BA B对于矩阵方程根据前面所掌握的知

29、识 只需求出并且再左乘方程两边可得但是对方阵的阶数较大时 那么计算可能是很困难的,这时若能用如下格式的初等变换求解,会比较方便.为了求对下面形式的矩阵进行初等行变换A BE D 初等行变换1,.AEBDDA B当 化为单位矩阵 时便化为可以证明 就是所要求的,AXB 解矩阵方程其中例5101101210,210325103AB 1.XA B解1011010124120224003231221011010124120021224rrr 10110401241200161221313101101210210325103rrrrA B 13232100511010812001612rrrr 1511

30、812612XA B即思考题12111.0012?0030矩阵是否为阶梯形矩阵 为什么A=答案2.利用初等行变换求逆矩阵是否可以进行列变换?答案3.矩阵的初等变换包括哪几种?答案课堂练习题1.1231.利用初等行变换求矩阵A= 324 的逆矩阵212A答案 1002.220345求矩阵的秩AR A .答案,.,nnn 在第九章中 讨论了中用克莱姆法则解 个 元方程的线性方程组并从中发现了克莱姆法则使用中的不足之外 如除要求方程的个数与未知量的个数相等外,一般还要求方程的系数行列式不等于0,当系数行列式等于0时,尽管指出线性方程组可能无解,也可能有无穷多个解,但终究不能再继续求解.另外,当方程组

31、中方程的个数 很大时 计算行列式的数值工作量很大 使得克莱姆法则不便于应用,因此,需要进一步学习求解一般线性方程组的方法-矩阵求解法.本节主要讨论以下问题.(1),?具备什么条件 线性方程组有解(2),?如果方程组有解 它窨有多个解 怎么样求解(3)线性方程组解的结构.一、高斯消元法,.先看一个例子 并通过该例子说明如何用消元法来解系数行列不等于零的线性方程组1231231223722837xxxxxxxx 解下列线性方组:例12323 方程组的消元过程与方程组对应的增广矩阵的变换过程对照表-3,表-3中方程组的消元过程所用的标记方法与矩阵初等变换的标记方法相同.解表23-3 方程组的消元过程

32、与方程组对应的增广矩阵的变换过程对照方程组的消元过程增广矩阵的变换过程123211233112237222837xxxrrxxxrrxx 21312123721281307rrrr 123232323237546314xxxrrxxxx 231237054601314rr 1233223232375314546xxxrrxxxx 3212375013140546rr 3112371901314001976r 1323123730131430014rrrr 12122325224xxrrxx 121205201020014rr123124xxx 1001010200141231,2,4xxx 由

33、此得方程组解为12332332371193141976xxxrxxx 12313232332373314376xxxrrxxrrx 11 3, 由表可以看出 方程组的消元顺序与增广矩阵的变换顺序完全相同.,nn 一般地,对一个由 个 元方程所组成的方程组 当它的系数行列式不等于零时 只要对方程组的增广矩阵施以适当的初等行变换,使它成为以下形式:12100010001nccc 那么矩阵的最后一列元素就是方程组的解,即1122,nnxc xcxc().Gauss这种消元法称为高斯消元法12312312323923342326xxxxxxxxx3 用高斯消元法解线性方程组例2解123 26231 3

34、4321 39231123123260151804839rrrr 1322241071001518001233rrrr 13321 39231 34123 26rrA 123371711,444xxx所以二、线性方程组的相容性374100170104001114123313( 1)751121071001518001114rrrrrr 线性方程组的一般形式为11112211211222221122(23-3)nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xa xa xb (11-3),.AXb根据式它的矩阵形式为义 若一个线性方程组有解,则称它的相容的;若无解,则称它不相容.

35、定1(min( , ),AAA br rm nArA 若线性方程组(11-3)的系数矩阵 和增广矩阵的秩相等,均为不妨设 的左上角有一个 阶子式不为零.则可将 经行的初等变换化为以下的行最简形.11121121222212nnmmmnmaaabaaabAA baaab 11121121122212100010,0010000000rrnrrnrrrrrnrdddcdddcdddc 行初等变换23即原方程组(-3)化为1111122112211222221122rrrrnnrrrrnnrrrrrrrrnnrxdxdxd xcxdxdxd xcxdxdxd xc(233)不难得到式的解为11111

36、12222211222211221122rrmnn rrrnn rrrrrrrrnn rrrnn rxcdkdkd kxcdkdkd kxcdkdkd kxkxkxk121212,n rrrnrrnk kknrxxxxxx式中为个任意常数,对于任意取一定的一组值 都可求得这线性方程组的相应的一组解,又因为的值可以任取,所以这个方程组有无穷多组解.,rn当时 行最简形为12100010001nccc (233)则式的解为1122,nnxc xcxc,(1,2, )iixcin即方程组有惟一确定的一组解, ( ),( )1,AAR ArR ArA若 与 的秩不等即则 化为如下阶梯形矩阵:11121

37、12122221210001000100000010000000rrnrrnrrrrrnrdddcdddcdddc (233)23(1)0=1, ,23r 原方程组化成的新方程组 与原方程组(-3)同解 的第个方程为显然是矛盾的 说明此时(-3)无解.这样已证得如下的线性方程组相容性的判别定理.23,( )( )AAR AR A 线性方程组(-3)有解的充分必要条件为其系数矩阵与增广矩阵 有相同的秩 即定理123( ),;( ),.R AnR An 若线性方程组(-3)有解.则当时 方程组有无穷多组解 当时 方程组的解是惟一的 定理2(?( );( ).)AXbR AnR An 能否认为线性方

38、程组有无穷多组解的充要条件为有惟一解的充要条件为 判别下列方程是否相容?若相容,试判别有惟一解,还是有无穷多个解?例312312341231234123123412312213524(1);(2)20925416122271258642xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 解111102110165709819 373422849111102110031003012rrrr 43101111021100310002rr 231141392711113524(1)9254 16271258 64rrrrrrA ( )3, ( )4( )( ),;R AR AR AR A由所以因而方程

39、组不相容( )( )34,R AR A由于所以方程组有无穷多个解1031111210112212211031101501000312rr 1221121(2)11210112212rrA 321031111210000312rr 123412342341,323263xxxxaxxxxaxxx 当 取什么值时 方程组例4,有解 并求出它的解.因为解21311111321301263rrAa 111110126301263a23111110126301263rra 321111 10126 30000r ra 121015 20126 30000r ra 0,( )2,( )3,;0,( )(

40、)2,.,aR AR AaR AR A所以当时方程组无解 当时方程组有解这时 对应的方程组xxxxxxxxxx 即434312,xxxc xc式中与 的值可以任取,令则方程组的解为112212314225326xccxccxcxc 12, ,.c c式中为任意常数对于齐次线性方程组11112212112222112200(23-4)0nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xa xa x ( )( ),(234)R AR A 因为与始终相等 所以齐次方程组总是相容并且下述定理.23( )R A 对齐次线性方程组(-4),若其

41、系数矩阵的秩为则当 定理3(1) ( ),(234);R Arn时 方程组只有零解(2) ( ),(23 4)R Arn时 方程组有无穷多个非零解.23,mnA论 对齐次线性方程组(-4),当时 它有非零解的充要条件是系数行列式等于零,即| |=0. 推123412331234123450230.3803970 xxxxxxxxxxxxxxxx 求方程组的解例523411131151112331811397rrrrrrA 11510274027404148解342221151027400000000rrrr 21211517012200000000r12310127012200000000rr

42、 ( )24,R A 因为所以该方程组有非零解.1342343027202xxxxxx相应的同解方程组为13434314223432,.,722xxxx xxc xcxxx 即取为自由变量令则齐次线性方程组的解为112212314232722xccxccxcxc 12,c c式中为任意常数这样形式的解叫作齐次线性方程组的通解.思考题11, ,. 1.设为 阶方程且存在试写出 的表示式A B CnABCE ACB答案2.线性方程组有解的充要条件是什么?答案3.对于-四元线性方程组,若其有解且其系数矩阵的秩为2,问该方程的通解中需引入几个自由未知变量.答案课堂练习题2546.13211.求方阵使等

43、式成立X,X答案123412341212134123422313632.,315351012线性方程组中取何值时方程有唯一解?无穷多解?无解?xxxxxxxxk kxxk xxxxxxk答案一、学习Mathematic命令1.数组与矩阵Mathematica,在中数组用大括号表示,数组中的元素用号分隔,如a=1,2,3,4,5定义了一个5元数组a;矩阵是二维数组,行与行之间用大括号分隔,如b=1,2,3,4,5,6定义了一个2行3列的矩阵.2.矩阵运算+,-,.,.,DetA;InverseA;Tr-ansposeA;RowReduceA.A* BAAAA两个矩阵的和,差,积运算符是注意矩阵的

44、乘积运算符是表示两个同型矩阵 和 对应元素的乘积矩阵表示方阵 的行列式给出方阵 的逆矩阵表示矩阵 的转置矩阵给出用初等行变换将矩阵 化成的行的最简梯形矩阵ABMatrixFormAA.可以用将矩阵 在工作区中以矩阵格式输出3.线性方程求解LinearSolveA,b,.AXb求线性方程组的解SolveAX=b,X,.AXb求线性方程组的解Solve,.方程组变量求代数方程的解二、矩阵运算317237040 计算 12 151-1例1解In1:=a=4,3,1,1,-2,3,5,7,0Out1=4,3,1,1,-2,3,5,7,0In2:=b=7,0,2,1,1,-1Out2=7,0,2,1,1

45、,-1In3:=a bOut3=35,2,6,-5,49,7In4:=MatrixForm%35Out4/MatrixForm=6492 -571311,2.2002ABXAXB 设求矩阵使满足等式3例2解:(3)/2XXAB解出 得In5:=a=1,3,2,0Out5=1,3,2,0In6:=b=1,-1,0,2Out6=1,-1,0,2In7:=x=(3a-b)/2Out7=1,5,3,-1三、矩阵的行列式与逆矩阵121342541A 求矩阵的行列式与逆矩阵.例3解In7:=a=1,2,-1,3,4,-2,5,-4,1Out7=1,2,-1,3,4,-2,5,-4,1In8:=DetaOu

46、t8=2In9:=b=Inversea131Out9= -2,1,0,3, 16,7, 122In10:=MatrixFormb-210131Out10/MatriForm=3221671四、矩阵的秩12304561.2341A 求矩阵 的秩例4解In11:=a=1,2,3,0,4,5,6,1,2,3,4,-1Out11=1,2,3,0,4,5,6,1,2,3,4,-1In12:=MatriFormRowReduceaOut12=10-1 0012 000013A用行初等变换将矩阵化为行最简阶梯形,非零行的行数就是矩阵的秩,因此矩阵 的秩是五、线性方程组求解12345123451234522224.23438xxxxxxxxxxxxxxx 解方程组例5解一,B211 -1 -2 2增广矩阵 1-12 1 -1 42-343-1 8In13:=b=2,1,1,-1,-2,21,-1,2,1,-1,4,2,-3,4,3,-1,8Out13