数列求和知识点总结

1、数列求和1求数列的前 n 项和的方法(1) 公式法等差数列的前 n 项和公式 等比数列的前 n 项和公式(2) 分组求和法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3) 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4) 错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和， 即等比数 列求和公式的推导过程的推广(5) 倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广 2常见的裂项公式1 1 1(1) n(n1) nn11 1 1 1(2) (2n1)(2n 1) 2 2n12n1 .(3) n n

2、1 n1 n.高频考点一 分组转化法求和n2 n*例 1、已知数列 an的前 n 项和 Sn 2 ，nN*.(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 设 bn2an(1)nan，求数列 bn的前 2n 项和感悟提升】 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差， 而求得原数列的和， 这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究， 将数列的通项合理分解 转化特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论【变式探究】已知数列 an的通项公式是an2·3n 1 ( 1) n·(ln2 ln3) (1) n nln3 ，求其前 n 项和 Sn.高频考点二 错位相减法求和例 2

3、、(2015·湖北 )设等差数列 an的公差为 d，前 n项和为 Sn，等比数列 bn的公比为 q，已知 b1 a1，b2 2， q d， S10 100.(1) 求数列 an， bn的通项公式；an(2) 当 d>1时，记 cn ，求数列 cn的前 n 项和 Tn.bn【感悟提升】用错位相减法求和时，应注意：(1) 要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2) 在写出“ Sn ”与“ qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确 写出“ Sn qSn”的表达式；(3) 在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1

4、 两种情况求解【变式探究】已知数列 an满足首项为 a12，an12an(nN*) 设 bn 3log 2an 2( nN*) ，数列 cn满足 cnanbn.(1) 求证：数列 bn 为等差数列；(2) 求数列 cn的前 n 项和 Sn.高频考点三 裂项相消法求和例 3、设各项均为正数的数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn满足 Sn2( n2 n 3) Sn 3( n2 n) 0， nN*.(1) 求 a1 的值；(2) 求数列 an 的通项公式；1 1 1 1(3) 证明：对一切正整数n，有a1?a111?a2?a121?an?an11?<13.记数nk定变式探究】已知函数 f

5、 ( x) xa的图象过点 (4,2) ，令 anf?n1?f?n?，nN*.列 an 的前 n 项和为 Sn，则 S2017感悟提升】 (1) 用裂项相消法求和时， 要对通项进行变换， 如： n n k1 1 1 1 n)，n?n1k?k1(1nn1k)裂项后可以产生连续可以相互抵消的项(2) 抵消后并不 只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项举一反三】在数列 an中， a11，当 n2时，其前 n 项和 Sn满足 S2nan Sn12(1) 求 Sn 的表达式；(2)设bn2nS1，求 bn的前n项和 Tn.练习：n2 13211已知数列 an的通项公式是 an 2n ，

6、其前 n项和 Sn 64 ，则项数 n()A 13B 10C 9D62已知数列 an 满足 a11，an1·an2 (nN)，则 S2 012()2 012 1 006 1 006 1 005A22 0121 B 3·21 006 3 C 3·21 0061 D 3·21 0052213已知函数 f ( x) x2 2bx过(1,2) 点，若数列 f ?n?的前n项和为 Sn，则 S2 012的值为()012, 2 011) 010,2 011) 013 ,2 012) 012 ,2 013)1*4数列 an满足 anan12(nN*)，且 a11， S

7、n是数列 an的前 n项和，则 S21()B 6 C 10 D 115已知函数 f ( n) n2cos( n) ，且 anf(n)f(n1)，则 a1 a2 a3 a100 ()A 100 B 0 C 100 D 10 200?n1?6在数列 an中，已知 a11，an1ansin2，记 Sn为数列 an的前 n项和，则 S2 014()A1 006 B 1 007 C 1 008 D 1 0097在数列 an中，a11，an1(1) ( an 1) ，记 Sn为 an的前 n 项和，则 S2 013 。8等比数列 an的前 n项和 Sn2n1，则 a12a22 a2n。9对于每一个正整数 n，设曲线 y xn1 在点(1,1) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，令 an lg xn，则 a1 a2 a99 。10已知等比数列 an中，首项 a13，公比 q>1，且 3( an2 an) 10an10(nN*) 。(1) 求数列 an 的通项公式。1(2) 设 bn3an 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列 bn的通项公式和前 n 项和 Sn。11设数列 an 的前 n项和为 Sn，已知 2Sn3n3。(1) 求 an的通项公式；(2) 若数列 bn满