函数的单调性

1、函数的单调性理解函数单调性概念， 掌握判断函数单调性的方法， 会证明一些简单函数在某个区间上的单调性。 函数单调性的概念与判断 1. 情境: 第 2.1.1 开头的第三个问题中， =f(t) 2. 问题: 说出气温在哪些时间段内是升高的? 怎样用数学语言刻画“随着时间的增大气温逐步升高” 这一特征? 1: 观察下列函数的图象(如图 1)， 指出图象变化的趋势. 观察得到: 随着 x 值的增大， 函数的函数图象有的呈逐渐上升的趋势， 有的呈逐渐下降的趋势， 有的在一个区间内呈上升的趋势， 在另一区间内呈逐渐下降的趋势. 2: 你能明确说出“图象呈逐渐上升趋势” 的意思吗? 讨论得到: 在某一区间

2、内， 当 x 的值增大时， 函数值 y 也增大Û图象在该区间内呈上升趋势; 当 x 的值增大时， 函数值 y 反而减小Û图象在该区间内呈下降趋势。 函数的这种性质称为函数的单调性。 3如何用数学语言来准确地表述函数的单调性呢? 例如， 怎样表述在区间(0， +¥) 上当 x 的值增大时， 函数 y 的值也增大? 能不能说， 由于 x=1 时， y=3; x=2 时， y=5 就说随着 x 的增大， 函数值 y 也随着增大? 能不能说， 由于 x=1， 2， 3， 4， 5， 时， 相应地 y=3， 5， 7， 9， 就说随着 x 的增大， 函数值 y 也随着增大?

3、 (1) y x O y=2x+1， xR 图 1 (2) yxOy=(x-1)2-1， -11 2 (4) y 10 xO -2 y=f(x)， x0， 241 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 2 4 6 8 yx Oy=1x， x(0,+) 1 (3) 1 答案是否定的。 例如函数 y=(x-1)2-1(xR)， 当 x=1， 2， 3， 4， 5， 时， 相应地 y=-1， 0， 3，8， 15， ， 就不能说随着 x 的增大， 函数值 y 也随着增大. 这是因为 x=-1 时， y=3， 就自变量的值而言， -11， 而相应的函数值却有 3-1， 即 y

4、 不是随着 x 的增大而增大. 通过讨论， 结合图(2) 给出 f(x)在区间 I 上是单调增函数的定义。 从图 1 中可以看出: 函数 y=2x+1(xR) 的单调增区间是(-¥， +¥); 函数 y=(x-1)2-1(xÎR) 的单调增区间是1， + )¥ ; 气温曲线所表示的函数的单调增区间是4， 14。 问题 4: 如何定义单调减函数? (结合图(3) 叙述) (学生讨论回答) 从图 1 中可以看出: 函数 y=(x-1)气温曲线所表示的函数的单调减区间是0， 4， 14， 24。 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数， 那么就说函

5、数 y=f(x)在这个区间上具， 这个区间就叫做函数 y=f(x)的如函数 y=2x+1(xR)的单调区间是(-¥， +¥)， 函数 y=(x-1)2-1(xÎR) 的单调减区间是(-¥， 1; 有。 2-1(xÎR) 的单调区间是(-¥， 1和1， + )¥ ， 气温曲线所表示的函数的单调区间是0， 4， 4， 14， 14， 24。 1 1 作出下列函数的图象， 并写出函数的单调区间. (1) y=-x 2+2; (2) y=1x(x0). 解 (1) 函数 y=-x2+2 的图像如图 4(1) 所示， 单调减区间为(-

6、， 0， 单调减区间为0， +. (2) 函数 y=1x(x0)的图像如图 4(2) 所示， (-， 0)和(0， +)是两个单调减区间. y y=x2 + 12 图 2y y=f(x) f(x1) f(x2) x 图 3 y x y=f(x) f(x1) f(x2) o 1 y x y=x3 图-2 (2)yxOy = 1x (x0)-11图 4 (1) xO 1 1 提问: 能不能说， 函数 y=1x(x0)在定义域(-， 0) U (0， +)上是单调减函数? 引导讨论， 从图象上观察或取特殊值代入验证否定结论。(如取 x1=-1,x2=21). 2观察下列函数的图象(如图 5)， 并指出它们是否为定义域上的增函数: y y=(x-1)2 学生总结: 函数 y=(x-1)2与 y=|x-1|-1 的图象在 x1 时随着 x 值的增大而上升， 在x1 时随着 x 的值的增大而下降. 所以， 这两个函数在定义域上不是增函数. 1-1 在区间(-， 0)上是增函数. 3 证明函数 f(x)=-x证明 设 x1x20， 则 x1-x20 且 x1x20. 因为 f(x1)-f(x2)=(-11x-1) -(-21x-1) =21x-11x=2121xxxx -0， 即 f(x1)f(x2)， 所以， 函数 f(x)=-x1-1 在区间(-，