2012高考理科数学重庆卷试题及答案

1、陕西省西安市附属远程教育学校2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学1. 填空题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分.在每小题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的.（1） 在等差数列中，则的前5项和= （A）7 （B）15 （C）20 （D）25 （2） 不等式的解集为（A） （B） （C） （D） （3） 对任意的实数k，直线y=kx+1与圆 的位置关系一定是（A）相离 （B）相切 （C）相交但直线不过圆心 （D）相交且直线过圆心（4） 的展开式中常数项为 （A） （B） （C） （D）105（5）设是议程的两个根，则的值为（A）-3 （B）-1 （C） 1 （D

2、）3（6）设R，向量且，bc,则（A） （B） （C） （D）10（7）已知是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“为0,1上的增函数”是“为3，4上的减函数”的（A）既不充分也不必要的条件 （B）充分而不必要的条件 （C）必要而不充分的条件 （D）充要条件（8）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A）函数有极大值和极小值 （B）函数有极大值和极小值 （C）函数有极大值和极小值 （D）函数有极大值和极小值（9）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是（A） （B） （C） （D）（10）设平面点集，

3、则所表示的平面图形的面积为（A） （B） （C） （D）二 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案分别填写在答题卡相应位置上.（11）若，其中为虚数单位，则 ；（12） .（13）设的内角的对边分别为，且则 . （14）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则= .（15）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）.三 解答题：本大题共6小题，共75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(16) （本小题满分13分，（）小问6分，（）小问7分.）设其中，曲线在点处

4、的切线垂直于轴.（） 求的值；（） 求函数的极值.（17） （本小题满分13分，（）小问5分，（）小问8分.）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票.约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.（） 求甲获胜的概率；（） 求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望.18. （本小题满分13分（）小问8分（）小问5分）设，其中（）求函数 的值域（）若在区间上为增函数，求 的最大值.19. （本小题满分12分（）小问4分（）小问8分） 如图，在直三棱柱 中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（）求点C到平面 的

5、距离;（）若 求二面角 的平面角的余弦值.20. （本小题满分12分（）小问5分（）小问7分） 如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为，线段 的中点分别为，且 是面积为4的直角三角形.（）求该椭圆的离心率和标准方程；（）过 做直线交椭圆于P，Q两点，使，求直线的方程.（21）（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分.） 设数列的前项和满足，其中. （I）求证：是首项为1的等比数列； （II）若，求证：，并给出等号成立的充要条件.二2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题（理工农医类）答案一.选择题：每小题5分，满分50分. (1)B (

6、2)A (3)C (4)B (5)A (6)B (7)D (8)D (9)A (10)D二填空题：每小题5分，满分25分.（11）4 （12） （13） （14） （15）三.解答题：满分75分（16）（本题13分） 解：（）因，故. 由于曲线在点处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即，从而，解得a=-1.（）由（）知令，解得（因不在定义域内，舍去）.当时，故在（0,1）上为减函数；当时，故在上为增函数.故在处取得极小值.（17）（本题13分）解：设Ak，Bk分别表示第k次投篮投中，则 （）记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知（）的所有可能值

7、为1，2，3.由独立性知，.综上知，有分布列123P从而，(次).（18）（本题13分）解：（）因，所以函数的值域是，.（）因在每个闭区间上为增函数，故在每个闭区间上为增函数.依题意知对某个成立，此时必有k=0，于是解得，故的最大值为.（19）（本题12分）解：（）由AC=BC,D为AB的中点，得CDAB.又CDAA1，故CD面AA1BB1，所以点C到平面AA1BB1的距离为.（）解法一：如答（19）图1，取D1为AB的中点，连结DD1，则DD1 AA1CC1，又由（）知CDA1ABB1，故CDA1D，CDDD1，所以A1DD1为所求的二面角A1-CD-C1的平面角.因A1D为A1C在面A1A

8、BB1上的射影，又已知AB1A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1A1D，从而A1AB1、A1DA都与B1互余，因此A1AB1=A1DA，所以Rt.因此,即，得.从而.所以，在中，（）解法二：如答（19）图2，过D作DD1 AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，易知DB,DC,DD1两两垂直，以D为原点，射线DB,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz.设直三棱柱的高为h，则，从而，由，有.故.设平面的法向量为，则，即取=1，得.设平面的法向量为，则，即取，得，所以.所以二面角A1-CD-C1的平面的余弦值为.（20）（本题12分）解：（）如答（20）图，设所求椭

9、圆的标准方程为，右焦点为.因是直角三角形，因此，故为直角，因此，得.结合得，故，所以离心率.在Rt中，故.由题设条件=4得=4，从而=20.因此所求椭圆的标准方程为：（）由（）知，有题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为：代入椭圆方程得设，则，是上面方程的两根，因此又，所以由，得，即，解得.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为和.（21）（本小题12分）（）证法一：由得即.因，故得.又由题设条件知，两式相减得，即，由，知，因此.综上，对所有成立.从而使首项为1，公比为的等比数列.证法二：用数学归纳法证明.当n=1时，由，得，即，再由，得，所以结论成立.假设n=k时，结论成立，即，那么.这就是说，当n=k+1时，结论也成立.综上可得，对任意，.因此是首项为1，公比为的等比数列.（）证法一：当n=1或2时，显然，等号成立.设且，由（）知，所以要证的不等式化为，即证：.当时，上面的不等式的等号成立.当时，与同为负；当时，与同为正.因此当时，总有，即.上面不等式对r从1到n-1求和得，由此得.综上，当时，有，当且仅当n=1,2或时等号成立.证法二：当n=1或2时，显然，等号成立.当时，等号也成立